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難點6 函數值域及求法
函數的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數的值域解決實際應用問題.
●難點磁場
(★★★★★)設m是實數，記M={mm>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+ ).
(1)證明：當m∈M時，f(x)對所有實數都有意義；反之，若f(x)對所有實數x都有意義，則m∈M.
(2)當m∈M時，求函數f(x)的最小值.
(3)求證：對每個m∈M,函數f(x)的最小值都不小于1.
●案例探究
［例1］設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？如果要求λ∈［ ］，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小？
命題意圖：本題主要考查建立函數關系式和求函數最小值問題，同時考查運用所學知識解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：主要依據函數概念、奇偶性和最小值等基礎知識.
錯解分析：證明S(λ)在區(qū)間［ ］上的單調性容易出錯，其次不易把應用問題轉化為函數的最值問題來解決.
技巧與方法：本題屬于應用問題，關鍵是建立數學模型，并把問題轉化為函數的最值問題來解決.
解：設畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x= 代入上式得：S=5000+44 (8 + ),當8 = ,即λ= <1)時S取得最小值.此時高：x= =88 cm,寬：λx= ×88=55 cm.
如果λ∈［ ］可設 ≤λ1<λ2≤ ,則由S的表達式得：

又 ≥ ,故8－ >0,
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間［ ］內單調遞增.?
從而對于λ∈［ ］,當λ= 時，S(λ)取得最小值.
答：畫面高為88 cm,寬為55 cm時，所用紙張面積最小.如果要求λ∈［ ］,當λ= 時，所用紙張面積最小.
［例2］已知函數f(x)= ,x∈［1,+∞
(1)當a= 時，求函數f(x)的最小值.
(2)若對任意x∈［1,+∞ ,f(x)>0恒成立，試求實數a的取值范圍.
命題意圖：本題主要考查函數的最小值以及單調性問題，著重于學生的綜合分析能力以及運算能力，屬★★★★級題目.
知識依托：本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現了轉化的思想與分類討論的思想.
錯解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉化為函數的最值問題來解決.
技巧與方法：解法一運用轉化思想把f(x)>0轉化為關于x的二次不等式；解法二運用分類討論思想解得.
(1)解：當a= 時，f(x)=x+ +2
∵f(x)在區(qū)間［1，+∞ 上為增函數，
∴f(x)在區(qū)間［1，+∞ 上的最小值為f(1)= .
(2)解法一：在區(qū)間［1，+∞ 上，f(x)= >0恒成立 x2+2x+a>0恒成立.
設y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增，
∴當x=1時，ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>－3.?
解法二：f(x)=x+ +2,x∈［1,+∞
當a≥0時，函數f(x)的值恒為正；
當a<0時，函數f(x)遞增，故當x=1時，f(x)min=3+a,
當且僅當f(x)min=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>－3.
●錦囊妙計
本難點所涉及的問題及解決的方法主要有：
(1)求函數的值域
此類問題主要利用求函數值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數的值域，都必須考慮函數的定義域.
(2)函數的綜合性題目
此類問題主要考查函數值域、單調性、奇偶性、反函數等一些基本知識相結合的題目.
此類問題要求考生具備較高的數學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.
(3)運用函數的值域解決實際問題
此類問題關鍵是把實際問題轉化為函數問題，從而利用所學知識去解決.此類題要求考生具有較強的分析能力和數學建模能力.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)函數y=x2+ (x≤－ )的值域是( )
A.(－∞,－ B.［－ ,+∞
C.［ ,+∞ D.(－∞,－ ］
2.(★★★★)函數y=x+ 的值域是( )
A.(－∞,1 B.(－∞,－1
C.RD.［1,+∞
二、填空題
3.(★★★★★)一批貨物隨17列貨車從A市以V千米/小時勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車間距離不得小于( )2千米 ，那么這批物資全部運到B市，最快需要_________小時(不計貨車的車身長).
4.(★★★★★)設x1、x2為方程4x2－4mx+m+2=0的兩個實根，當m=_________時，x12+x22有最小值_________.
三、解答題
5.(★★★★★)某企業(yè)生產一種產品時，固定成本為5000元，而每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數為R(x)=5x－ x2(萬元)(0≤x≤5),其中x是產品售出的數量(單位：百臺)
(1)把利潤表示為年產量的函數；
(2)年產量多少時，企業(yè)所得的利潤最大？
(3)年產量多少時，企業(yè)才不虧本？
6.(★★★★)已知函數f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］
(1)若f(x)的定義域為(－∞,+∞)，求實數a的取值范圍；
(2)若f(x)的值域為(－∞,+∞),求實數a的取值范圍.
7.(★★★★★)某家電生產企業(yè)根據市場調查分析，決定調整產品生產方案，準備每周(按120個工時計算)生產空調器、彩電、冰箱共360臺，且冰箱至少生產60臺.已知生產家電產品每臺所需工時和每臺產值如下表：
家電名稱空調器彩電冰箱
工時



產值(千元)432
問每周應生產空調器、彩電、冰箱各多少臺，才能使產值最高？最高產值是多少？(以千元為單位)
8.(★★★★)在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB所在直線為軸將△ABC旋轉一周生成兩個圓錐，設這兩個圓錐的側面積之積為S1，△ABC的內切圓面積為S2，記 =x.
(1)求函數f(x)= 的解析式并求f(x)的定義域.
(2)求函數f(x)的最小值.

參考答案
難點磁場
(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+ ］,
當m∈M時，m>1,∴(x－m)2+m+ >0恒成立，故f(x)的定義域為R.
反之，若f(x)對所有實數x都有意義，則只須x2－4mx+4m2+m+ >0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+ )＜0,解得m>1,故m∈M.
(2)解析：設u=x2－4mx+4m2+m+ ,∵y=log3u是增函數，∴當u最小時，f(x)最小.?而u=(x－2m)2+m+ ,顯然，當x=m時，u取最小值為m+ ,此時f(2m)=log3(m+ )為最小值.
(3)證明：當m∈M時，m+ =(m－1)+ +1≥3,當且僅當m=2時等號成立.
∴l(xiāng)og3(m+ )≥log33=1.
殲滅難點訓練
一、1.解析：∵m1=x2在(－∞,－ ）上是減函數，m2= 在(－∞,－ ）上是減函數，
∴y=x2+ 在x∈(－∞,－ )上為減函數,
∴y=x2+ (x≤－ )的值域為［－ ，+∞ .
答案：B
2.解析：令 =t(t≥0),則x= .
∵y= +t=－ (t－1)2+1≤1
∴值域為(－∞,1 .
答案：A
二、3.解析：t= +16×( )2/V= + ≥2 =8.
答案：8
4.解析：由韋達定理知：x1+x2=m,x1x2= ,∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－ =(m－ )2－ ,又x1,x2為實根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－ )2－ 在區(qū)間(－∞,1）上是減函數，在［2，+∞ 上是增函數又拋物線y開口向上且以m= 為對稱軸.故m=1時，
ymin= .
答案：－1
三、5.解：(1）利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)?之差，由題意，當x≤5時，產品能全部售出，當x>5時，只能銷售500臺，所以
y=
(2）在0≤x≤5時，y=－ x2+4.75x－0.5,當x=－ =4.75(百臺）時，ymax=10.78125(萬元），當x>5(百臺）時，y＜12－0.25×5=10.75(萬元），?
所以當生產475臺時，利潤最大.?
(3）要使企業(yè)不虧本，即要求
解得5≥x≥4.75－ ≈0.1(百臺）或5＜x＜48(百臺）時，即企業(yè)年產量在10臺到4800臺之間時，企業(yè)不虧本.
6.解：(1）依題意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0對一切x∈R恒成立，當a2－1≠0時，其充要條件是 ，
∴a＜－1或a> .又a=－1時，f(x)=0滿足題意，a=1時不合題意.故a≤－1或a>為 所求.
(2）依題意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域為R，故有 ,解得1＜a≤ ,又當a2－1=0即a=1時，t=2x+1符合題意而a=－1時不合題意，∴1≤a≤ 為所求.
7.解：設每周生產空調器、彩電、冰箱分別為x臺、y臺、z臺，由題意得：
x+y+z=360?①
②x>0,y>0,z≥60.③?
假定每周總產值為S千元，則S=4x+3y+2z,在限制條件①②③之下，為求目標函數S的最大值，由①②消去z,得y=360－3x.④
將④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30.⑥
再將④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2?2x,即S=－x+1080.由條件⑥及上式知，當x=30時，產值S最大，最大值為S=－30+1080=1050(千元）.得x=30分別代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60.
∴每周應生產空調器30臺，彩電270臺，冰箱60臺，才能使產值最大，最大產值為1050千元.
8.解：(1）如圖所示：設BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊AB上的高h= ,
∴S1=πah+πbh= ,
∴f(x)= ①
又
代入①消c，得f(x)= .
在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜ ,則
x= =sinA+cosA= sin(A+ ).∴1＜x≤ .
(2)f(x)= +6,設t=x－1,則t∈(0, －1),y=2(t+ )+6在(0， －1 上是減函數，∴當x=( －1)+1= 時，f(x)的最小值為6 +8.


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