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難點6 函數(shù)值域及求法
函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數(shù)的值域解決實際應(yīng)用問題.
●難點磁場
(★★★★★)設(shè)m是實數(shù)，記M={mm>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+ ).
(1)證明：當m∈M時，f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則m∈M.
(2)當m∈M時，求函數(shù)f(x)的最小值.
(3)求證：對每個m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.
●案例探究
［例1］設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最��？如果要求λ∈［ ］，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最��？
命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時考查運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識.
錯解分析：證明S(λ)在區(qū)間［ ］上的單調(diào)性容易出錯，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.
技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.
解：設(shè)畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x= 代入上式得：S=5000+44 (8 + ),當8 = ,即λ= <1)時S取得最小值.此時高：x= =88 cm,寬：λx= ×88=55 cm.
如果λ∈［ ］可設(shè) ≤λ1<λ2≤ ,則由S的表達式得：

又 ≥ ,故8－ >0,
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間［ ］內(nèi)單調(diào)遞增.?
從而對于λ∈［ ］,當λ= 時，S(λ)取得最小值.
答：畫面高為88 cm,寬為55 cm時，所用紙張面積最小.如果要求λ∈［ ］,當λ= 時，所用紙張面積最小.
［例2］已知函數(shù)f(x)= ,x∈［1,+∞
(1)當a= 時，求函數(shù)f(x)的最小值.
(2)若對任意x∈［1,+∞ ,f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.
命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運算能力，屬★★★★級題目.
知識依托：本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想.
錯解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.
技巧與方法：解法一運用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運用分類討論思想解得.
(1)解：當a= 時，f(x)=x+ +2
∵f(x)在區(qū)間［1，+∞ 上為增函數(shù)，
∴f(x)在區(qū)間［1，+∞ 上的最小值為f(1)= .
(2)解法一：在區(qū)間［1，+∞ 上，f(x)= >0恒成立 x2+2x+a>0恒成立.
設(shè)y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增，
∴當x=1時，ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.?
解法二：f(x)=x+ +2,x∈［1,+∞
當a≥0時，函數(shù)f(x)的值恒為正；
當a<0時，函數(shù)f(x)遞增，故當x=1時，f(x)min=3+a,
當且僅當f(x)min=3+a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.
●錦囊妙計
本難點所涉及的問題及解決的方法主要有：
(1)求函數(shù)的值域
此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.
(2)函數(shù)的綜合性題目
此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目.
此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.
(3)運用函數(shù)的值域解決實際問題
此類問題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識去解決.此類題要求考生具有較強的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.
●殲滅難點訓(xùn)練
一、選擇題
1.(★★★★)函數(shù)y=x2+ (x≤－ )的值域是( )
A.(－∞,－ B.［－ ,+∞
C.［ ,+∞ D.(－∞,－ ］
2.(★★★★)函數(shù)y=x+ 的值域是( )
A.(－∞,1 B.(－∞,－1
C.RD.［1,+∞
二、填空題
3.(★★★★★)一批貨物隨17列貨車從A市以V千米/小時勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車間距離不得小于( )2千米 ，那么這批物資全部運到B市，最快需要_________小時(不計貨車的車身長).
4.(★★★★★)設(shè)x1、x2為方程4x2－4mx+m+2=0的兩個實根，當m=_________時，x12+x22有最小值_________.
三、解答題
5.(★★★★★)某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100臺產(chǎn)品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為R(x)=5x－ x2(萬元)(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺)
(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
(2)年產(chǎn)量多少時，企業(yè)所得的利潤最大？
(3)年產(chǎn)量多少時，企業(yè)才不虧本？
6.(★★★★)已知函數(shù)f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］
(1)若f(x)的定義域為(－∞,+∞)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若f(x)的值域為(－∞,+∞),求實數(shù)a的取值范圍.
7.(★★★★★)某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準備每周(按120個工時計算)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺，且冰箱至少生產(chǎn)60臺.已知生產(chǎn)家電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如下表：
家電名稱空調(diào)器彩電冰箱
工時



產(chǎn)值(千元)432
問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？(以千元為單位)
8.(★★★★)在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB所在直線為軸將△ABC旋轉(zhuǎn)一周生成兩個圓錐，設(shè)這兩個圓錐的側(cè)面積之積為S1，△ABC的內(nèi)切圓面積為S2，記 =x.
(1)求函數(shù)f(x)= 的解析式并求f(x)的定義域.
(2)求函數(shù)f(x)的最小值.

參考答案
難點磁場
(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+ ］,
當m∈M時，m>1,∴(x－m)2+m+ >0恒成立，故f(x)的定義域為R.
反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則只須x2－4mx+4m2+m+ >0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+ )＜0,解得m>1,故m∈M.
(2)解析：設(shè)u=x2－4mx+4m2+m+ ,∵y=log3u是增函數(shù)，∴當u最小時，f(x)最小.?而u=(x－2m)2+m+ ,顯然，當x=m時，u取最小值為m+ ,此時f(2m)=log3(m+ )為最小值.
(3)證明：當m∈M時，m+ =(m－1)+ +1≥3,當且僅當m=2時等號成立.
∴l(xiāng)og3(m+ )≥log33=1.
殲滅難點訓(xùn)練
一、1.解析：∵m1=x2在(－∞,－ ）上是減函數(shù)，m2= 在(－∞,－ ）上是減函數(shù)，
∴y=x2+ 在x∈(－∞,－ )上為減函數(shù),
∴y=x2+ (x≤－ )的值域為［－ ，+∞ .
答案：B
2.解析：令 =t(t≥0),則x= .
∵y= +t=－ (t－1)2+1≤1
∴值域為(－∞,1 .
答案：A
二、3.解析：t= +16×( )2/V= + ≥2 =8.
答案：8
4.解析：由韋達定理知：x1+x2=m,x1x2= ,∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－ =(m－ )2－ ,又x1,x2為實根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－ )2－ 在區(qū)間(－∞,1）上是減函數(shù)，在［2，+∞ 上是增函數(shù)又拋物線y開口向上且以m= 為對稱軸.故m=1時，
ymin= .
答案：－1
三、5.解：(1）利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)?之差，由題意，當x≤5時，產(chǎn)品能全部售出，當x>5時，只能銷售500臺，所以
y=
(2）在0≤x≤5時，y=－ x2+4.75x－0.5,當x=－ =4.75(百臺）時，ymax=10.78125(萬元），當x>5(百臺）時，y＜12－0.25×5=10.75(萬元），?
所以當生產(chǎn)475臺時，利潤最大.?
(3）要使企業(yè)不虧本，即要求
解得5≥x≥4.75－ ≈0.1(百臺）或5＜x＜48(百臺）時，即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺到4800臺之間時，企業(yè)不虧本.
6.解：(1）依題意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0對一切x∈R恒成立，當a2－1≠0時，其充要條件是 ，
∴a＜－1或a> .又a=－1時，f(x)=0滿足題意，a=1時不合題意.故a≤－1或a>為 所求.
(2）依題意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域為R，故有 ,解得1＜a≤ ,又當a2－1=0即a=1時，t=2x+1符合題意而a=－1時不合題意，∴1≤a≤ 為所求.
7.解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x臺、y臺、z臺，由題意得：
x+y+z=360?①
②x>0,y>0,z≥60.③?
假定每周總產(chǎn)值為S千元，則S=4x+3y+2z,在限制條件①②③之下，為求目標函數(shù)S的最大值，由①②消去z,得y=360－3x.④
將④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30.⑥
再將④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2?2x,即S=－x+1080.由條件⑥及上式知，當x=30時，產(chǎn)值S最大，最大值為S=－30+1080=1050(千元）.得x=30分別代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60.
∴每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30臺，彩電270臺，冰箱60臺，才能使產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值為1050千元.
8.解：(1）如圖所示：設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊AB上的高h= ,
∴S1=πah+πbh= ,
∴f(x)= ①
又
代入①消c，得f(x)= .
在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜ ,則
x= =sinA+cosA= sin(A+ ).∴1＜x≤ .
(2)f(x)= +6,設(shè)t=x－1,則t∈(0, －1),y=2(t+ )+6在(0， －1 上是減函數(shù)，∴當x=( －1)+1= 時，f(x)的最小值為6 +8.


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