7.4 簡單的線性規(guī)劃

●知識梳理
1.二元一次不等式表示平面區(qū)域
在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標平面內(nèi)的點P（x0，y0）.
B＞0時，①Ax0+By0+C＞0，則點P（x0，y0）在直線的上方；②Ax0+By0+C＜0，則點P（x0，y0）在直線的下方.
對于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù).
當B＞0時，①Ax+By+C＞0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；②Ax+By+C＜0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域.
2.線性規(guī)劃
求線性目標函數(shù)在線性約束條下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.
滿足線性約束條的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解.生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題.
線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：
（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y；
（2）找出線性約束條；
（3）確定線性目標函數(shù)z=f（x，y）；
（4）畫出可行域（即各約束條所示區(qū)域的公共區(qū)域）；
（5）利用線性目標函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；
（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案.
●點擊雙基
1.下列命題中正確的是
A.點（0，0）在區(qū)域x+y≥0內(nèi)
B.點（0，0）在區(qū)域x+y+1<0內(nèi)
C.點（1，0）在區(qū)域y>2x內(nèi)
D.點（0，1）在區(qū)域x－y+1>0內(nèi)
解析：將（0，0）代入x+y≥0，成立.
答案：A
2.（2005年海淀區(qū)期末練習題）設(shè)動點坐標（x，y）滿足
（x－y+1）（x+y－4）≥0，
x≥3，
A. B. C. D.10
解析：數(shù)形結(jié)合可知當x=3，y=1時，x2+y2的最小值為10.
答案：D
2x－y+1≥0，
x－2y－1≤0，
x+y≤1
A.正三角形及其內(nèi)部
B.等腰三角形及其內(nèi)部
C.在第一象限內(nèi)的一個無界區(qū)域
D.不包含第一象限內(nèi)的點的一個有界區(qū)域
解析：將（0，0）代入不等式組適合C，不對；將（ ， ）代入不等式組適合D，不對；又知2x－y+1=0與x－2y－1=0關(guān)于y=x對稱且所夾頂角α滿足
tanα= = .
∴α≠ .
答案：B
4.點（－2，t）在直線2x－3y+6=0的上方，則t的取值范圍是________________.
解析：（－2，t）在2x－3y+6=0的上方，則2×（－2）－3t+6＜0，解得t＞ .
答案：t＞
5.不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點）共有____________個.
解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3個.
答案：3
●典例剖析
【例1】 求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面區(qū)域的面積.
剖析：依據(jù)條畫出所表達的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積.
解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化為
x≥1， x≥1， x≤1， x≤1，
y≥1， y≤1， y≥1， y≤1，
x+y ≤4 x－y ≤2 y－x ≤2 x+y≥0.
其平面區(qū)域如圖.

∴面積S= ×4×4=8.
評述：畫平面區(qū)域時作圖要盡量準確，要注意邊界.

深化拓展
若再求：① ；② 的值域，你會做嗎？
答案： ①（－∞，－ ］∪［ ，+∞）；②［1，5］.
【例2】 某人上午7時，乘摩托艇以勻速v n mile/h（4≤v≤20）從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市駛?cè)?應(yīng)該在同一天下午4至9點到達C市.設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h.
（1）作圖表示滿足上述條的x、y范圍；
（2）如果已知所需的經(jīng)費
p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元），
那么v、w分別是多少時走得最經(jīng)濟?此時需花費多少元?
剖析：由p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影響花費的是3x+2y的取值范圍.
解：（1）依題意得v= ，w= ，4≤v≤20，30≤w≤100.
∴3≤x≤10， ≤y≤ . ①
由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應(yīng)在9至14個小時之間，即9≤x+y≤14.②
因此，滿足①②的點（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分（包括邊界）.

（2）∵p=100+3•（5－x）+2•（8－y），
∴3x+2y=131－p.
設(shè)131－p=k，那么當k最大時，p最小.在通過圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界）且斜率為－ 的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點（10，4），即當x=10，y=4時，p最小.
此時，v=12.5，w=30，p的最小值為93元.
評述：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達約束條的不等式.然后分析要求量的幾何意義.
【例3】 某礦車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員.此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次.甲型卡車每輛每天的成本費為252元，乙型卡車每輛每天的成本費為160元.問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?
剖析：弄清題意，明確與運輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條，列出目標函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.
解：設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花成本費為z元，那么
x+y≤9，
10×6x+6×8x≥360，
0≤x≤4，
0≤y≤7.
z=252x+160y，
其中x、y∈N.
作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖.

作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點，且使在y軸上的截距最小.觀察圖形，可見當直線252x+160y=t經(jīng)過點（2，5）時，滿足上述要求.
此時，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時，zmin=252×2+160×5=1304.
答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費最低.
評述：用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系f（x，y）=t的斜率要畫準，可行域內(nèi)的整點要找準，最好使用“網(wǎng)點法”先作出可行域中的各整點.
●闖關(guān)訓練
夯實基礎(chǔ)
1.（x－1）2+（y－1）2=1是｜x－1｜+｜y－1｜≤1的__________條.
A.充分而不必要 B.必要而不充分
C.充分且必要 D.既不充分也不必要
解析：數(shù)形結(jié)合.
答案：B
2.（x+2y+1）（x－y+4）≤0表示的平面區(qū)域為

解析：可轉(zhuǎn)化為
x+2y+1≥0， x+2y+1≤0，
x－y+4≤0 x－y+4≥0.
答案：B
3.（2004年全國卷Ⅱ，14）設(shè)x、y滿足約束條
x≥0，
x≥y，
2x－y≤1，則z=3x+2y的最大值是____________.
解析：如圖，當x=y=1時，zmax=5.

答案：5
x－4y+3≤0，
3x+5y－25≤0，
x≥1，
_________.
解析：作出可行域，如圖.當把z看作常數(shù)時，它表示直線y=zx的斜率，因此，當直線y=zx過點A時，z最大；當直線y=zx過點B時，z最小．

x＝1，
3x＋5y－25＝0，得A（1， ）.
x－4y+3=0，
3x+5y－25=0，
∴zmax＝ ＝ ，zmin＝ ．
答案：
5.畫出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）為頂點的△ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標函數(shù)z=3x－2y的最大值和最小值.
分析：本例含三個問題：①畫指定區(qū)域；②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式——不等式組； ③求以所寫不等式組為約束條的給定目標函數(shù)的最值.
解：如圖，連結(jié)點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求△ABC區(qū)域.

直線AB的方程為x+2y－1=0，BC及CA的直線方程分別為x－y+2=0，2x+y－5=0.
在△ABC內(nèi)取一點P（1，1），分別代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0.
因此所求區(qū)域的不等式組為
x+2y－1≥0，
x－y+2≥0，
2x+y－5≤0.
作平行于直線3x－2y=0的直線系3x－2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y= x，觀察圖形可知：當直線y= x－ t過A（3，－1）時，縱截距－ t最小.此時t最大，tmax=3×3－2× （－1）=11；
當直線y= x－ t經(jīng)過點B（－1，1）時，縱截距－ t最大，此時t有最小值為tmin= 3×（－1）－2×1=－5.
因此，函數(shù)z=3x－2y在約束條
x+2y－1≥0，
x－y+2≥0，
2x+y－5≤0
6.某校伙食長期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質(zhì)6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100 g含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學校要求給學生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學又費用最少?
解：設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克），

所需費用為S=0.5x+0.4y，且x、y滿足
6x+3y≥8，
4x+7y≥10，
x≥0，
y≥0，
由圖可知，直線y=－ x+ S過A（ ， ）時，縱截距 S最小，即S最小.
故每盒盒飯為面食 百克，米食 百克時既科學又費用最少.
培養(yǎng)能力
7.配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，已知配一劑A種藥需甲料3 mg，乙料5 mg；配一劑B種藥需甲料5 mg，乙料4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B兩種藥至少各配一劑，問共有多少種配制方法?
解：設(shè)A、B兩種藥分別配x、y劑（x、y∈N），則
x≥1，
y≥1，
3x+5y≤20，
5x+4y≤25.
上述不等式組的解集是以直線x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區(qū)域，這個區(qū)域內(nèi)的整點為（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法．
8.某公司在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
資 金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應(yīng)量（百元）
空調(diào)機洗衣機
成 本3020300
勞動力（工資）510110
單位利潤68
試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少?
解：設(shè)空調(diào)機、洗衣機的月供應(yīng)量分別是x、y臺，總利潤是P，則P=6x+8y，由題意有

30x+20y≤300，
5x+10y≤110，
x≥0，
y≥0，
x、y均為整數(shù).
由圖知直線y=－ x+ P過（4，9）時，縱截距最大.這時P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）.
故當月供應(yīng)量為空調(diào)機4臺，洗衣機9臺時，可獲得最大利潤9600元.
探究創(chuàng)新
9.實系數(shù)方程f（x）=x2+ax+2b=0的一個根在（0，1）內(nèi)，另一個根在（1，2）內(nèi)，求：
（1） 的值域；
（2）（a－1）2+（b－2）2的值域；
（3）a+b－3的值域.
f（0）＞0
f（1）＜0
f（2）＞0
b＞0，
a+b+1＜0，
a+b+2＞0.
如圖所示. A（－3，1）、B（－2，0）、C（－1，0）.

又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為（1）（ ，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）.
●思悟小結(jié)
簡單的線性規(guī)劃在實際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，主要解決的問題是：在資的限制下，如何使用資完成最多的生產(chǎn)任務(wù)；或是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資完成.如常見的任務(wù)安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，歸結(jié)為線性規(guī)劃，使用圖解法解決.
圖解法解決線性規(guī)劃問題時，根據(jù)約束條畫出可行域是關(guān)鍵的一步.一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的非封閉平面區(qū)域.第二是畫好線性目標函數(shù)對應(yīng)的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準確.通常最優(yōu)解在可行域的頂點（即邊界線的交點）處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點坐標的近似值.它應(yīng)是目標函數(shù)所對應(yīng)的直線平移進入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點的坐標.
●教師下載中心
教學點睛
線性規(guī)劃是新增添的教學內(nèi)容，應(yīng)予以足夠重視.
線性規(guī)劃問題中的可行域，實際上是二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，是解決線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，因為在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點（x，y）實數(shù)Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點（x0，y0）〔若原點不在直線上，則取原點（0，0）最簡便〕，把它的坐標代入Ax+By+C=0，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）表示直線的哪一側(cè).這是教材介紹的方法.
在求線性目標函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設(shè)ax+by=t，則此直線往右（或左）平移時，t值隨之增大（或減�。�，要會在可行域中確定最優(yōu)解.
解線性規(guī)劃應(yīng)用題步驟：（1）設(shè)出決策變量，找出線性約束條和線性目標函數(shù)； （2）利用圖象在線性約束條下找出決策變量，使線性目標函數(shù)達到最大（或最�。�.
拓展題例
【例1】 已知f（x）=px2－q且－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的范圍.
解：∵－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，
p－q≤－1，
p－q≥－4，
4p－q≤5，
4p－q≥－1.
求z=9p－q的最值.

p=0，
q=1，
zmin=－1，
p=3，
q=7，
∴－1≤f（3）≤20.
【例2】 某汽車公司有兩家裝配廠，生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的汽車，若A廠每小時可完成1輛甲型車和2輛乙型車；B廠每小時可完成3輛甲型車和1輛乙型車.今欲制造40輛甲型車和20輛乙型車，問這兩家工廠各工作幾小時，才能使所費的總工作時數(shù)最少？
解：設(shè)A廠工作x h，B廠工作y h，總工作時數(shù)為t h，則t=x+y，且x+3y≥40，2x+y≥20，x≥0，y≥0，可行解區(qū)域如圖.而符合問題的解為此區(qū)域內(nèi)的格子點（縱、橫坐標都是整數(shù)的點稱為格子點），于是問題變?yōu)橐�在此可行解區(qū)域內(nèi)，找出格子點（x，y），使t=x+y的值為最小.

由圖知當直線l：y=－x+t過Q點時，縱、橫截距t最小，但由于符合題意的解必須是格子點，我們還必須看Q點是否是格子點.
x+3y=40，
2x+y=20，
得Q（4，12）為格子點.
故A廠工作4 h，B廠工作12 h，可使所費的總工作時數(shù)最少.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/49350.html

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