j.Co M

第十八章　不等式選講

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.理解絕對值的幾何意義，并能用它證明絕對值三角不等式等較簡單的不等式.①a＋b≤a＋b；
②a－b≤a－c＋c－b.
2.能用絕對值的幾何意義解幾類簡單的絕對值型不等式，如ax＋b≤c或ax＋b≥c，以及x－a＋x－b≥c或x－a＋x－b≤c類型.
3.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法.
4.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用它證明一些簡單不等式及其他問題.
5.了解柯西不等式的幾種不同形式：二維形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式α?β≥α?β、一般形式 ，理解它們的幾何意義.掌握柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用.
6.了解排序不等式的推導(dǎo)及意義并能簡單應(yīng)用.
7.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：

本章重點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)；基本不等式及其應(yīng)用、絕對值型不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應(yīng)用.
本章難點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)――幾何平均不等式及其應(yīng)用；絕對值不等式的解法；用反證法、放縮法證明不等式；運(yùn)用柯西不等式和排序不等式證明不等式.本專題在數(shù)學(xué)必修5“不等式”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)一些重要的不等式，如絕對值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它們的證明，同時(shí)了解證明不等式的一些基本方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等，會(huì)用絕對值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解決一些簡單問題.高考中，只考查上述知識(shí)和方法，不對恒等變形的難度和一些技巧作過高的要求.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)


18.1　絕對值型不等式

典例精析
題型一　解絕對值不等式
【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝x－1＋x－2.
(1)解不等式f(x)＞3；
(2)若f(x)＞a對x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝x－1＋x－2＝
所以當(dāng)x＜1時(shí)，3－2x＞3，解得x＜0；
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)＞3無解；
當(dāng)x＞2時(shí)，2x－3＞3，解得x＞3.
所以不等式f(x)＞3的解集為(－∞，0)∪(3，＋∞).
(2)因?yàn)閒(x)＝ 所以f(x)min＝1.
因?yàn)閒(x)＞a恒成立，
所以a＜1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1).
【變式訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋1＋x－2＋a.
(1)當(dāng)a＝－5時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；
(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，試求a的取值范圍.
【解析】(1)由題設(shè)知x＋1＋x－2－5≥0，如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝x＋1＋x－2和y＝5的圖象，知定義域?yàn)?－∞，－2]∪[3，＋∞).
(2)由題設(shè)知，當(dāng)x∈R時(shí)，恒有x＋1＋x－2＋a≥0，即x＋1＋x－2≥－a，又由(1)知x＋1＋x－2≥3，
所以－a≤3，即a≥－3.
題型二　解絕對值三角不等式
【例2】已知函數(shù)f(x)＝x－1＋x－2，若不等式a＋b＋a－b≥af(x)對a≠0，a、b∈R恒成立，求實(shí)數(shù)x的范圍.
【解析】由a＋b＋a－b≥af(x)且a≠0得a＋b＋a－ba≥f(x).
又因?yàn)閍＋b＋a－ba≥a＋b＋a－ba＝2，則有2≥f(x).
解不等式x－1＋x－2≤2得12≤x≤52.
【變式訓(xùn)練2】(2010深圳)若不等式x＋1＋x－3≥a＋4a對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　.
【解析】(－∞，0)∪{2}.
題型三　利用絕對值不等式求參數(shù)范圍
【例3】(2009遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－1＋x－a.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x－1＋x＋1.
由f(x)≥3得x－1＋x＋1≥3，
①當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式化為1－x－1－x≥3，即－2x≥3，
不等式組 的解集為(－∞，－32]；
②當(dāng)－1＜x≤1時(shí)，不等式化為1－x＋x＋1≥3，不可能成立，
不等式組 的解集為?；
③當(dāng)x＞1時(shí)，不等式化為x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，
不等式組 的解集為[32，＋∞).
綜上得f(x)≥3的解集為(－∞，－32]∪[32，＋∞).
(2)若a＝1，f(x)＝2x－1不滿足題設(shè)條件.
若a＜1，f(x)＝
f(x)的最小值為1－a.由題意有1－a≥2，即a≤－1.
若a＞1，f(x)＝
f(x)的最小值為a－1，由題意有a－1≥2，故a≥3.
綜上可知a的取值范圍為(－∞，－1]∪[3，＋∞).
【變式訓(xùn)練3】關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式x－12(a＋1)2≤12(a－1)2與x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0 (a∈R)的解集分別為A，B.求使A?B的a的取值范圍.
【解析】由不等式x－12(a＋1)2≤12(a－1)2?－12(a－1)2≤x－12(a＋1)2≤12(a－1)2，
解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x2a≤x≤a2＋1}.
由不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0?(x－2)[x－(3a＋1)]≤0，
①當(dāng)3a＋1≥2，即a≥13時(shí)，B＝{x2≤x≤3a＋1}，
因?yàn)锳?B，所以必有 解得1≤a≤3；
②當(dāng)3a＋1＜2，即a＜13時(shí)，B＝{x3a＋1≤x≤2}，
因?yàn)锳?B，所以 解得a＝－1.
綜上使A?B的a的取值范圍是a＝－1或1≤a≤3.
總結(jié)提高
1.“絕對值三角不等式”的理解及記憶要結(jié)合三角形的形狀，運(yùn)用時(shí)注意等號(hào)成立的條件.
2.絕對值不等式的解法中，x＜a的解集是(－a，a)；x＞a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)，它可以推廣到復(fù)合型絕對值不等式ax＋b≤c，ax＋b≥c的解法，還可以推廣到右邊含未知數(shù)x的不等式，如3x＋1≤x－1?1－x≤3x＋1≤x－1.
3.含有兩個(gè)絕對值符號(hào)的不等式，如x－a＋x－b≥c和x－a＋x－b≤c型不等式的解法有三種，幾何解法和代數(shù)解法以及構(gòu)造函數(shù)的解法，其中代數(shù)解法主要是分類討論的思想方法，這也是函數(shù)解法的基礎(chǔ)，這兩種解法都適宜于x前面系數(shù)不為1類型的上述不等式，使用范圍更廣.



18.2　不等式的證明(一)

典例精析
題型一　用綜合法證明不等式
【例1】 若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：
lg a＋b2＋lg b＋c2＋lg a＋c2＞lg a＋lg b＋lg c.
【證明】 由a，b，c為正數(shù)，得
lg a＋b2≥lg ab；lg b＋c2≥lg bc；lg a＋c2≥lg ac.
而a，b，c不全相等，
所以lg a＋b2＋lg b＋c2＋lg a＋c2＞lg ab＋lg bc＋lg ac＝lg a2b2c2＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c.
即lg a＋b2＋lg b＋c2＋lg a＋c2＞lg a＋lg b＋lg c.
【點(diǎn)撥】 本題采用了綜合法證明，其中基本不等式是證明不等式的一個(gè)重要依據(jù)(是一個(gè)定理)，在證明不等式時(shí)要注意結(jié)合運(yùn)用.而在不等式的證明過程中，還要特別注意等號(hào)成立的條件是否滿足.
【變式訓(xùn)練1】已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.求證：ac＋bd≤1.
【證明】因?yàn)閍，b，c，d都是實(shí)數(shù)，
所以ac＋bd≤ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝a2＋b2＋c2＋d22.
又因?yàn)閍2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以ac＋bd≤1.
題型二　用作差法證明不等式
【例2】 設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca).
【證明】a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2－a2－b2－c2
　　 ＝[(a－b)2－c2]＋[(b－c)2－a2]＋[(c－a)2－b2].
而在△ABC中，b－a＜c，所以(a－b)2＜c2，即(a－b)2－c2＜0.
同理(a－c)2－b2＜0，(b－c)2－a2＜0，所以a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＜0.
故a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca).
【點(diǎn)撥】 不等式的證明中，比較法特別是作差比較法是最基本的證明方法，而在牽涉到三角形的三邊時(shí)，要注意運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求證：a2m＋b2n≥(a＋b)2.
【證明】因?yàn)閍2m＋b2n－(a＋b)2＝na2＋mb2mn－nm(a2＋2ab＋b2)mn
＝na2(1－m)＋mb2(1－n)－2mnabmn
＝n2a2＋m2b2－2mnabmn＝(na－mb)2mn≥0，
所以不等式a2m＋b2n≥(a＋b)2成立.
題型三　用分析法證明不等式
【例3】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求證：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).
【證明】因?yàn)閍、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要證原不等式成立，
即證[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]
≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，
也就是證[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①
因?yàn)?a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，
(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，
(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，
三式相乘得①式成立，故原不等式得證.
【點(diǎn)撥】 本題采用的是分析法.從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”.分析法也可以作為尋找證題思路的方法，分析后再用綜合法書寫證題過程.
【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x＞－1，a≥0).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：當(dāng)m＞n＞0時(shí)，(1＋m)n＜(1＋n)m.
【解析】(1)f′(x)＝1－aln(x＋1)－a，
①a＝0時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(－1， －1]上單調(diào)遞增，在[ －1，＋∞)單調(diào)遞減.
(2)證明：要證(1＋m)n＜(1＋n)m，只需證nln(1＋m)＜mln(1＋n)，只需證ln(1＋m)m＜ln(1＋n)n.
設(shè)g(x)＝ln(1＋x)x(x＞0)，則g′(x)＝x1＋x－ln(1＋x)x2＝x－(1＋x)ln(1＋x)x2(1＋x).
由(1)知x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減，
所以x－(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是減函數(shù)，
而m＞n，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立.
總結(jié)提高
1.一般在證明不等式的題目中，首先考慮用比較法，它是最基本的不等式的證明方法.比較法一般有“作差比較法”和“作商比較法”，用得較多的是“作差比較法”，其中在變形過程中往往要用到配方、因式分解、通分等計(jì)算方法.
2.用綜合法證明不等式的過程中，所用到的依據(jù)一般是定義、公理、定理、性質(zhì)等，如基本不等式、絕對值三角不等式等.
3.用分析法證明不等式的關(guān)鍵是對原不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)換，它是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立.
4.所謂“綜合法”、“分析法”其實(shí)是證明題的兩種書寫格式，而不是真正意義上的證明方法，并不像前面所用的比較法及后面要復(fù)習(xí)到的三角代換法、放縮法、判別式法、反證法等是一種具體的證明方法(或者手段)，而只是兩種互逆的證明題的書寫格式.


18.3　不等式的證明(二)

典例精析
題型一　用放縮法、反證法證明不等式
【例1】已知a，b∈R，且a＋b＝1，求證：(a＋2)2＋(b＋2)2≥252.
【證明】 方法一：(放縮法)
因?yàn)閍＋b＝1，
所以左邊＝(a＋2)2＋(b＋2)2≥2[(a＋2)＋(b＋2)2]2＝12[(a＋b)＋4]2＝252＝右邊.
方法二：(反證法)
假設(shè)(a＋2)2＋(b＋2)2＜252，則 a2＋b2＋4(a＋b)＋8＜252.
由a＋b＝1，得b＝1－a，于是有a2＋(1－a)2＋12＜252.
所以(a－12)2＜0，這與(a－12)2≥0矛盾.
故假設(shè)不成立，所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥252.
【點(diǎn)撥】 根據(jù)不等式左邊是平方和及a＋b＝1這個(gè)特點(diǎn)，選用重要不等式a2 ＋ b2≥
2(a ＋ b2)2來證明比較好，它可以將具備a2＋b2形式的式子縮小.
而反證法的思路關(guān)鍵是先假設(shè)命題不成立，結(jié)合條件a＋b＝1，得到關(guān)于a的不等式，最后與數(shù)的平方非負(fù)的性質(zhì)矛盾，從而證明了原不等式.當(dāng)然本題也可以用分析法和作差比較法來證明.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)a0，a1，a2，…，an－1，an滿足a0＝an＝0，且有
a0－2a1＋a2≥0，
a1－2a2＋a3≥0，
…
an－2－2an－1＋an≥0，
求證：a1，a2，…，an－1≤0.
【證明】由題設(shè)a0－2a1＋a2≥0得a2－a1≥a1－a0.
同理，an－an－1≥an－1－an－2≥…≥a2－a1≥a1－a0.
假設(shè)a1，a2，…，an－1中存在大于0的數(shù)，假設(shè)ar是a1，a2，…，an－1中第一個(gè)出現(xiàn)的正數(shù). 即a1≤0，a2≤0，…，ar－1≤0，ar＞0，
則有ar－ar－1＞0，于是有an－an－1≥an－1－an－2≥…≥ar－ar－1＞0.
并由此得an≥an－1≥an－2≥…≥ar＞0.
這與題設(shè)an＝0矛盾.由此證得a1，a2，…，an－1≤0成立.
題型二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
【例2】用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法證明：
設(shè)an＝1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)，n∈N*，求證：n(n＋1)2＜an＜(n＋1)22.
【證明】 方法一：(放縮法)
n2＜n(n＋1)＜n＋(n＋1)2，即n＜n(n＋1)＜2n＋12.
所以1＋2＋…＋n＜an＜12[1＋3＋…＋(2n＋1)].
所以n(n＋1)2＜an＜12?(n＋1)(1＋2n＋1)2，
即n(n＋1)2＜an＜(n＋1)22.
方法二：(數(shù)學(xué)歸納法)
①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.
②假設(shè)n＝k (k≥1)時(shí)，不等式成立，即k(k＋1)2＜ak＜(k＋1)22.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝1×2＋2×3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)，
所以k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)＜ak＋1＜(k＋1)22＋(k＋1)(k＋2).
而k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)＞k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋1)＝k(k＋1)2＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)2，
(k＋1)22＋(k＋1)(k＋2)＜(k＋1)22＋(k＋1)＋(k＋2)2＝k2＋4k＋42＝(k＋2)22.
所以(k＋1)(k＋2)2＜ak＋1＜(k＋2)22.
故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立.
綜合①②知當(dāng)n∈N*，都有n(n＋1)2＜an＜(n＋1)22.
【點(diǎn)撥】 在用放縮法時(shí)，常利用基本不等式n(n＋1)＜n＋(n＋1)2將某個(gè)相乘的的式子進(jìn)行放縮，而在上面的方法二的數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵步驟也要用到這個(gè)公式.在用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要注意根據(jù)目標(biāo)來尋找思路.
【變式訓(xùn)練2】已知數(shù)列8×112×32，8×232×52，…，8n(2n－1)2(2n＋1)2，…，Sn為其前n項(xiàng)和，計(jì)算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，觀察上述結(jié)果推測出計(jì)算Sn的公式且用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
【解析】猜想Sn＝(2n＋1)2－1(2n＋1)2(n∈N＋).
證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝32－132＝89，等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)等式成立，即Sk＝(2k＋1)2－1(2k＋1)2.
則Sk＋1＝Sk＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2＝(2k＋1)2－1(2k＋1)2＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2
＝(2k＋1)2(2k＋3)2－(2k＋1)2(2k＋1)2(2k＋3)2＝[2(k＋1)＋1]2－1[2(k＋1)＋1]2.
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.綜合①②得，對任何n∈N＋，等式都成立.
題型三　用不等式證明方法解決應(yīng)用問題
【例3】某地區(qū)原有森林木材存量為a，且每年增長率為25%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量.
(1)求an的表達(dá)式；
(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年森林木材量應(yīng)不少于79a，如果b＝1972a，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過幾年？(取lg 2＝0.30)
【解析】(1)依題意得a1＝a(1＋14)－b＝54a－b，
a2＝54a1－b＝54(54a－b)－b＝(54)2a－(54＋1)b，
a3＝54a2－b＝(54)3a－[(54)2＋(54＋1)]b，
由此猜測an＝(54)na－[(54)n－1＋(54)n－2＋…＋54＋1]b＝(54)na－4[(54)n－1]b(n∈N＋).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝54a－b，猜測成立.
②假設(shè)n＝k(k≥2)時(shí)猜測成立，即ak＝(54)ka－4[(54)k－1]b成立.
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝54ak－b＝54(54)ka－4[(54)k－1]b－b＝(54)k＋1a－4[(54)k＋1－1]b，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜測仍成立.
由①②知，對任意n∈N＋，猜測成立.
(2)當(dāng)b＝1972a時(shí)，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失，則森林木材存量必須少于79a，
所以(54)na－4[(54)n－1]?1972a＜79a，整理得(54)n＞5，
兩邊取對數(shù)得nlg 54＞lg 5，
所以n＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.
故經(jīng)過8年該地區(qū)就開始水土流失.
【變式訓(xùn)練3】經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/時(shí))與汽車的平均速度v(千米/時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為y＝920vv2＋3v＋1 600(v＞0).
(1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/時(shí))
(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
【解析】(1)依題意，y＝9203＋(v＋1 600v)≤9203＋21 600＝92083，當(dāng)且僅當(dāng)v＝1 600v，即v＝40時(shí)，上式等號(hào)成立，所以ymax＝92083≈11.1(千輛/時(shí)).
(2)由條件得920vv2＋3v＋1 600＞10，整理得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.
答：當(dāng)v＝40千米/時(shí)時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/時(shí)且小于64千米/時(shí).
總結(jié)提高
1.有些不等式，從正面證如果不易說清，可以考慮反證法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定詞的命題適用反證法.在一些客觀題如填空、選擇題之中，也可以用反證法的方法進(jìn)行命題正確與否的判斷.
2.放縮法是證明不等式特有的方法，在證明不等式過程中常常要用到它，放縮要有目標(biāo)，目標(biāo)在結(jié)論和中間結(jié)果中尋找.
常用的放縮方法有：
(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如a2＋1＞a，n(n＋1)＞n；
(2)將分子或分母放大(或縮小)；
(3)利用基本不等式，如n(n＋1)＜n＋(n＋1)2；
(4)利用常用結(jié)論，如
k＋1－k＝1k＋1＋k＜12k，
1k2＜1k(k－1)＝1k－1－1k ；
1k2＞1k(k＋1)＝1k－1k＋1(程度大)；
1k2＜1k2－1＝1(k－1)(k＋1)＝12(1k－1－1k＋1) (程度小).
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明過程與用數(shù)學(xué)歸納法證明其他命題一樣，先要奠基，后進(jìn)行假設(shè)與推理，二者缺一不可.


18.4　柯西不等式和排序不等式

典例精析
題型一　用柯西不等式、排序不等式證明不等式
【例1】設(shè)a1，a2，…，an都為正實(shí)數(shù)，證明：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.
【證明】方法一：由柯西不等式，有
(a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1)(a2＋a3＋…＋an＋a1)≥
(a1a2?a2＋a2a3?a3＋…＋ana1?a1)2＝(a1＋a2＋…＋an)2.
不等式兩邊約去正數(shù)因式a1＋a2＋…＋an即得所證不等式.
方法二：不妨設(shè)a1≤a2≤…≤an，則a21≤a22≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1an.
由排序不等式有
a21?1a2＋a22?1a3＋…＋a2n－1?1an＋a2n?1a1≥a21?1a1＋a22?1a2＋…＋a2n?1an＝a1＋a2＋…＋an，
故不等式成立.
方法三：由均值不等式有
a21a2＋a2≥2a1，a22a3＋a3≥2a2，…，a2na1＋a1≥2an，將這n個(gè)不等式相加得
a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1＋a2＋a3＋…＋an＋a1≥2(a1＋a2＋…＋an)，整理即得所證不等式.
【點(diǎn)撥】 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)形式觀察是否符合柯西不等式、排序不等式的結(jié)構(gòu)形式或有相似之處.將其配成相關(guān)結(jié)構(gòu)形式是解決問題的突破口，有時(shí)往往要進(jìn)行添項(xiàng)、拆項(xiàng)、重組、配方等方法的處理.
【變式訓(xùn)練1】已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正數(shù)，求證：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.
【證明】左邊＝[2(a＋b＋c)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)
＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，
(或左邊＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)
＝3＋a＋bb＋c＋a＋bc＋a＋b＋ca＋b＋b＋cc＋a＋c＋aa＋b＋c＋ab＋c
≥3＋2 ＋2 ＋2 ＝9)
所以2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.
題型二　用柯西不等式求最值
【例2】 若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值.
【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝4
(當(dāng)且僅當(dāng)1＝kx,2＝ky,3＝kz時(shí)等號(hào)成立，
結(jié)合x＋2y＋3z＝2，解得x＝17，y＝27，z＝37)，
所以14(x2＋y2＋z2)≥4.所以x2＋y2＋z2≥27.
故x2＋y2＋z2的最小值為27.
【點(diǎn)撥】 根據(jù)柯西不等式，要求x2＋y2＋z2的最小值，就要給x2＋y2＋z2再配一個(gè)平方和形式的因式，再考慮需要出現(xiàn)定值，就要讓柯西不等式的右邊出現(xiàn)x＋2y＋3z的形式，從而得到解題思路.由此可見，柯西不等式可以應(yīng)用在求代數(shù)式的最值中.
【變式訓(xùn)練2】已知x2＋2y2＋3z2＝1817，求3x＋2y＋z的最小值.
【解析】因?yàn)?x2＋2y2＋3z2)[32＋(2)2＋(13)2]
≥(3x＋2y?2＋3z?13)2≥(3x＋2y＋z)2，
所以(3x＋2y＋z)2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤23，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝－9317，y＝－3317，z＝－317時(shí)，
3x＋2y＋z取最小值，最小值為－23.
題型三　不等式綜合證明與運(yùn)用
【例3】 設(shè)x＞0，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
【證明】(1)當(dāng)x≥1時(shí)，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：順序和≥反序和得
1?1＋x?x＋x2?x2＋…＋xn?xn≥1?xn＋x?xn－1＋…＋xn－1?x＋xn?1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①
又因?yàn)閤，x2，…，xn，1為序列1，x，x2，…，xn的一個(gè)排列，于是再次由排序原理：亂序和≥反序和得1?x＋x?x2＋…＋xn－1?xn＋xn?1≥1?xn＋x?xn－1＋…＋xn－1?x＋xn?1，
即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn，②
將①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③
(2)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1＞x＞x2＞…＞xn.
由①②仍然成立，于是③也成立.
綜合(1)(2)，原不等式成立.
【點(diǎn)撥】 分類討論的目的在于明確兩個(gè)序列的大小順序.
【變式訓(xùn)練3】把長為9 cm的細(xì)鐵線截成三段，各自圍成一個(gè)正三角形，求這三個(gè)正三角形面積和的最小值.
【解析】設(shè)這三個(gè)正三角形的邊長分別為a、b、c，則a＋b＋c＝3，且這三個(gè)正三角形面積和S滿足：
3S＝34(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥34(a＋b＋c)2＝934?S≥334.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，等號(hào)成立.
總結(jié)提高
1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用.教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認(rèn)識(shí)柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用.
2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明.證明排序不等式時(shí)，教科書展示了一個(gè)“探究――猜想――證明――應(yīng)用”的研究過程，目的是引導(dǎo)學(xué)生通過自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)排序不等式的數(shù)學(xué)意義、證明方法和簡單應(yīng)用.
3.利用柯西不等式或排序不等式常常根據(jù)所求解(證)的式子結(jié)構(gòu)入手，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膬山M數(shù)，有難度的逐步調(diào)整去構(gòu)造.對于具體明確的大小順序、數(shù)目相同的兩列數(shù)考慮它們對應(yīng)乘積之和的大小關(guān)系時(shí)，通�？紤]排序不等式.


第十九章　優(yōu)選法

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
　　1.通過分析和解決具體實(shí)際問題，使學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)法、0.618法及其適用范圍，運(yùn)用這些方法解決一些實(shí)際問題，體會(huì)優(yōu)選的思想方法.
2.了解斐波那契數(shù)列{Fn}，理解在試驗(yàn)次數(shù)確定的情況下分?jǐn)?shù)法最佳性的證明，通過連分?jǐn)?shù)知道Fn－1和黃金分割的關(guān)系.
3.知道對分法、盲人爬山法、分批試驗(yàn)法，以及目標(biāo)函數(shù)為多峰情況下的處理方法.　　本章重點(diǎn)：根據(jù)不同的實(shí)際問題選擇恰當(dāng)?shù)膶ふ易罴腰c(diǎn)的方法.
本章難點(diǎn)：比較不同優(yōu)選方法的利弊和適用范圍.　　在生產(chǎn)和科學(xué)試驗(yàn)中，人們?yōu)榱诉_(dá)到優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低耗等目標(biāo)，需要對有關(guān)因素的最佳組合進(jìn)行選擇.在實(shí)踐中的許多情況下，試驗(yàn)結(jié)果與因素之間的關(guān)系要么很難用數(shù)學(xué)形式來表達(dá)，要么表達(dá)式很復(fù)雜.優(yōu)選法是解決這類問題的常用數(shù)學(xué)方法.


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典例精析
題型一　關(guān)于黃金分割法的優(yōu)選法應(yīng)用問題
【例1】煉某種航天材料，需添加某種化學(xué)元素以增加抗氧化強(qiáng)度，加入范圍是1 000~
2 000克，求最佳加入量.
【解析】第一步：先在試驗(yàn)范圍長度的0.618處做第(1)個(gè)試驗(yàn)：
x1＝小＋(大－小)×0.618＝1 000＋(2 000－1 000)×0.618＝1 618克.
第二步：第(2)個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)由公式計(jì)算：
x2＝大＋�。瓁1＝2 000＋1 000－1 618＝1 382克.
第三步：比較(1)與(2)兩點(diǎn)上所做試驗(yàn)的效果，現(xiàn)在假設(shè)第(1)點(diǎn)比較好，就去掉第(2)點(diǎn)，即去掉[1 000,1 382]這一段范圍，留下[1 382,2 000].
而第(3)試點(diǎn)x3＝大＋小－x1＝1 382＋2 000－1 618＝1 764克.
第四步：比較在上次留下的好點(diǎn)，即第(1)處和第(3)處的試驗(yàn)結(jié)果，看哪個(gè)點(diǎn)好，然后就去掉效果差的那個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)以外的那部分范圍，留下包含好點(diǎn)在內(nèi)的那部分范圍作為新的試驗(yàn)范圍，……如此反復(fù)，直到得到較好的試驗(yàn)結(jié)果為止.
【點(diǎn)撥】可以看出每次留下的試驗(yàn)范圍是上一次長度的0.618倍，隨著試驗(yàn)范圍越來越小，試驗(yàn)越趨于最優(yōu)點(diǎn)，直到達(dá)到所需精度即可.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)有一個(gè)優(yōu)選問題，其因素范圍是1 500~2 500，假設(shè)最優(yōu)點(diǎn)在2 300處.
(1)用0.618法進(jìn)行優(yōu)選，寫出第二，第三個(gè)試點(diǎn)的數(shù)值；
(2)若第一試點(diǎn)取2 010，寫出第二，第三，第四個(gè)試點(diǎn)的數(shù)值.
【解析】(1)由0.618法得第一個(gè)試點(diǎn)為x1＝1 500＋0.618×(2 500－1 500)＝2 118.
由“加兩頭，減中間”得x2＝1 500＋2 500－2 118＝1 882.
因?yàn)樽顑?yōu)點(diǎn)在2 300處，所以新的存優(yōu)范圍是[1 882,2 500]，
所以x3＝2 500＋1 882－2 118＝2 264.
同理可知新的存優(yōu)范圍是[2 118,2 500].
(2)因?yàn)閤1＝2 010，則由對稱原理知x2＝1 500＋2 500－2 010＝1 990，因?yàn)樽顑?yōu)點(diǎn)在2 300處，所以x1優(yōu)于x2，新的存優(yōu)范圍是[1 990,2 500].
所以x3＝1 990＋2 500－2 010＝2 480，所以新的存優(yōu)范圍是[2 010,2 500].
所以x4＝2 010＋2 500－2 480＝2 030.
題型二　用分?jǐn)?shù)法解決優(yōu)選法的應(yīng)用問題
【例2】某化工廠準(zhǔn)備對一化工產(chǎn)品進(jìn)行技術(shù)改良，現(xiàn)決定優(yōu)選加工溫度，試驗(yàn)范圍定為60 ℃~81 ℃，精確度要求±1 ℃，現(xiàn)在技術(shù)員用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行優(yōu)選.
(1)如何安排試驗(yàn)？
(2)若最佳點(diǎn)為69 ℃，請列出各試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)值；
(3)要通過多少次試驗(yàn)才可以找出最佳點(diǎn)？
【解析】(1)試驗(yàn)區(qū)間為[60,81]，等分為21段，分點(diǎn)為61,62，…，79,80，所以60＋1321×
(81－60)＝73(℃).故第一試點(diǎn)安排在73 ℃.
由“加兩頭，減中間”的方法得60＋81－73＝68，所以第二試點(diǎn)選在68 ℃.后續(xù)試點(diǎn)也可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.
(2)若最佳點(diǎn)為69 ℃，即從第二次試驗(yàn)開始知69 ℃在存優(yōu)范圍內(nèi)，由(1)知第一、二次試驗(yàn)點(diǎn)的值分別為73,68，因?yàn)?9?[60,68]，故去掉68 ℃以下的部分，則第三次試驗(yàn)點(diǎn)的值為68＋81－73＝76.同理去掉76 ℃以上的部分，第四次試驗(yàn)點(diǎn)的值為68＋76－73＝71，第五次試驗(yàn)點(diǎn)的值為68＋73－71＝70，第六次試驗(yàn)點(diǎn)的值為68＋71－70＝69.即安排了6次試驗(yàn)，各試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)值依次為：73,68,76,71,70,69.
(3)共有20個(gè)分點(diǎn)，由分?jǐn)?shù)法的最優(yōu)性定理可知F7＝21，即通過6次試驗(yàn)可從這20個(gè)分點(diǎn)中找出最佳點(diǎn).
【點(diǎn)撥】用分?jǐn)?shù)法安排試驗(yàn)，一旦用Fn－1Fn確定第一個(gè)試點(diǎn)，后續(xù)的試點(diǎn)可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.
【變式訓(xùn)練2】某國有酒廠發(fā)酵某種酒精時(shí)規(guī)定發(fā)酵溫度為(28±1)℃，發(fā)酵時(shí)間為3 000小時(shí)以上.為提高工廠效益，技術(shù)員老王進(jìn)行縮短發(fā)酵時(shí)間的技術(shù)改造，決定對發(fā)酵溫度進(jìn)行優(yōu)選.試驗(yàn)范圍定為15 ℃~36 ℃，精確度為±1 ℃.請你用分?jǐn)?shù)法幫助老王安排試驗(yàn).
【解析】(1)將試驗(yàn)區(qū)間[15,36]等分為21段，分點(diǎn)為16,17，…，35.
(2)第一試點(diǎn)為15＋(36－15)×13÷21＝28(℃)，
第二試點(diǎn)為15＋(36－15)×8÷21＝23(℃).
(3)以下按分?jǐn)?shù)法順次確定試點(diǎn)，就可以找到最優(yōu)發(fā)酵溫度.
總結(jié)提高
單因素方法包括0.618法(也叫黃金分割法)、分?jǐn)?shù)法、對分法、盲人爬山法、分批試驗(yàn)法.其中0.618法和分?jǐn)?shù)法是優(yōu)選法的重點(diǎn).優(yōu)選法中的難點(diǎn)是理解0.618法和分?jǐn)?shù)法的原理和認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)法的最優(yōu)性.


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