第十六章　幾何證明選講

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
　　1.了解平行線(xiàn)截割定理.
2.會(huì)證明并應(yīng)用直角三角形射影定理.
3.會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理，圓的切線(xiàn)的判定定理及性質(zhì)定理，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算與證明.
4.會(huì)證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四 邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線(xiàn)定理，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行幾何計(jì)算與證明.
5.了解平行投影的含義，通過(guò)圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影；會(huì)證明平面與圓柱面的截線(xiàn)是橢圓(特殊情形是圓).
6.了解下面的定理.
定理：在空間中，取直線(xiàn)l為軸，直線(xiàn)l′與l相交于點(diǎn)O，其夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l′為母線(xiàn)的圓錐面，任取平面π，若它與軸l的交角為β(π與l平行，記β＝0)，則：
①β＞α，平面π與圓錐的交線(xiàn)為橢圓；
②β＝α，平面π與圓錐的交線(xiàn)為拋物線(xiàn)；
③β＜α，平面π與圓錐的交線(xiàn)為雙曲線(xiàn).
7.會(huì)利用丹迪林(Dandelin)雙 球(如圖所示，這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面π的上方，一個(gè)位于平面π的下方，并且與平面π及圓錐面均相切，其切點(diǎn)分別為F，E)證明上述定理①的情形：
當(dāng)β＞α?xí)r，平面π與圓錐的交線(xiàn)為橢圓.
(圖中，上、下兩球與圓錐面相切的切點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，線(xiàn)段BC與平面π相交于點(diǎn)A)
8.會(huì)證明以下結(jié)果：
①在7.中，一個(gè)丹迪林球與圓 錐面的交線(xiàn)為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平行.記這個(gè)圓所在的平面為π′.
②如果平面π與平面π′的交線(xiàn)為m，在6.①中橢圓上任取點(diǎn)A，該丹迪林球與平面π的切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn) A到直線(xiàn)m的距離比是小于1的常數(shù)e(稱(chēng)點(diǎn)F為這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)，直線(xiàn)m為橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)，常數(shù)e為離心率).
9.了解定理6.③中的證明，了解當(dāng)β無(wú)限接近α?xí)r，平面π的極限結(jié)果.　　本章重點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)，與圓有關(guān)的若干定理及其運(yùn)用，并將其運(yùn)用到立體幾何中.
本章難點(diǎn)：對(duì)平面截圓柱、圓錐所得的曲線(xiàn)為圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的證明途徑與方法，它是解立體幾何、平面幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，應(yīng)較好地把握.
　　本專(zhuān)題強(qiáng)調(diào)利用演繹推理證明結(jié)論，通過(guò)推理證明進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，進(jìn)一步提高空間想象能力、幾何直觀能力和綜合運(yùn)用幾何方法解決問(wèn)題的能力.
第一講與第二講是傳統(tǒng)內(nèi)容，高考中主要考查平行線(xiàn)截割定理、直角三角形射影定理以及與圓有關(guān)的性質(zhì)和判定，考查邏輯推理能力.第三講內(nèi)容是新增內(nèi)容，在新課程高考下，要求很低，只作了解.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

16.1　相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

典例精析
題型一　相似三角形的判定與性質(zhì)
【例1】 如圖，已知在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F.
(1)求證：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長(zhǎng).
【解析】(1)因?yàn)镈E⊥BC，D是BC的中點(diǎn)，所以EB＝EC，所以∠B＝∠1.
又因?yàn)锳D＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.
(2)過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M.因?yàn)椤鰽BC∽△FCD，BC＝2CD，所以S△ABCS△FCD＝(BCCD)2＝4，又因?yàn)镾△FCD＝5，所以S△ABC＝20.因?yàn)镾△ABC＝12BC?AM，BC＝10，所以20＝12×10×AM，所以AM＝4.又因?yàn)镈E∥AM，所以DEAM＝BDBM，因?yàn)镈M＝12DC＝52，BM＝BD＋DM，BD＝12BC＝5，所以DE4＝55＋52，所以DE＝83.
【變式訓(xùn)練1】如右圖，在△ABC中，AB＝14 cm，ADBD＝59，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12 cm.求△ADE的面積和周長(zhǎng).
【解析】由AB＝14 cm，CD＝12 cm，CD⊥AB，得S△ABC＝84 cm2.
再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE.由S△ADES△ABC＝(ADAB)2可求得S△ADE＝757 c m2.利用勾股定理求出BC，AC，再由相似三角 形性質(zhì)可得△ADE的周長(zhǎng)為15 cm.
題型二　探求幾何結(jié)論
【例2】如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF∥AD，假設(shè)EF做上下平行移動(dòng).
(1)若AEEB＝12，求證：3EF＝BC＋2AD；
(2)若AEEB＝23，試判斷EF與BC，AD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)請(qǐng)你探究一般結(jié)論，即若AEEB＝mn，那么你可以得到什么結(jié)論？
【解析】 過(guò)點(diǎn)A作AH∥CD分別交EF，BC于點(diǎn)G、H.
(1)因?yàn)锳EEB＝12，所以AEAB＝13，
又EG∥BH，所以EGBH＝AEAB＝13，即3EG＝BH，
又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，從而EF＝13(BC－HC)＋AD，
所以EF＝13BC＋23AD，即3EF＝BC＋2AD.
(2)EF與BC，AD的關(guān)系式為5EF＝2BC＋3AD，理由和(1)類(lèi)似.
(3)因?yàn)锳EEB＝mn，所以AEAB＝mm＋n，
又EG∥BH，所以EGBH＝AEAB，即EG＝mm＋nBH.
EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝mm＋n(BC－AD)＋AD，
所以EF＝mm＋nBC＋nm＋nAD，
即(m＋n)EF＝mBC＋nAD.
【點(diǎn)撥】 在相似三角形中，平行輔助線(xiàn)是常作的輔助線(xiàn)之一；探求幾何結(jié)論可按特殊到一般的思路去獲取，但結(jié)論證明應(yīng)從特殊情況得到啟迪.
【變式訓(xùn)練2】如右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P是CD邊上中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC上，設(shè)BQ＝k，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得以Q，C，P為頂點(diǎn)的三角形與△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】設(shè)存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)k，
則在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，
由Rt△ADP∽R(shí)t△QCP或Rt△ADP∽R(shí)t△PCQ得ADQC＝DPCP或ADPC＝DPCQ，
由此解得CQ＝1或CQ＝14.
從而k＝0或k＝34.
題型三　解決線(xiàn)的位置或數(shù)量關(guān)系
【例3】(2009江蘇)如圖，在四邊形ABCD中，△ABC △BAD，求證：AB∥CD.
【證明】 由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
所以∠CAB＝∠CDB.
再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，
所以∠DBA＝∠CDB，即AB∥CD.
【變式訓(xùn)練3】如圖，AA1與BB1相交于點(diǎn)O，AB∥A1B1且AB＝12A1B1，△AOB的外接圓的直徑為1，則△A1OB1的外接圓的直徑為　　　.
【解析】因?yàn)锳B∥A1B1且AB＝12A1B1，所以△AOB∽△A1OB1
因?yàn)閮扇�角形外接圓的直徑之比等于相似比.
所以△A1OB1的外接圓直徑為2.
總結(jié)提高
1.相似三角形的判定與性質(zhì)這一內(nèi)容是平面幾何知識(shí)的重要組成部分，是解題的工具，同時(shí)它的內(nèi)容滲透了等價(jià)轉(zhuǎn)化、從一般到特殊、分類(lèi)討論等重要的數(shù)學(xué)思想與方法，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)以它們?yōu)橹笇?dǎo).相似三角形的證法有：定義法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.
相似三角形的性質(zhì)主要有對(duì)應(yīng)線(xiàn)的比值相等(邊長(zhǎng)、高線(xiàn)、中線(xiàn)、周長(zhǎng)、內(nèi)切圓半徑等)，對(duì)應(yīng)角相等，面積的比等于相似比的平方.
2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行輔助線(xiàn)是常作的輔助線(xiàn)之一，遇到困難時(shí)應(yīng)常考慮此類(lèi)輔助線(xiàn).



16.2　直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)

典例精析
題型一　切線(xiàn)的判定和性質(zhì)的運(yùn)用
【例1】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線(xiàn)AD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F.
(1)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；
(2) 若ACAB＝25，求AFDF的值.
【解析】(1)證明：連接OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，
所以O(shè)D∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥OD，
又OD為半徑，所以DE是⊙O的切線(xiàn).
(2)過(guò)D作DH⊥AB于H，則有∠DOH＝∠CAB，
OHOD＝cos∠DOH＝cos∠CAB＝ACAB＝25，
設(shè)OD＝5x，則AB＝10x，OH＝2x，所以AH＝7x.
由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x，
又由△AEF∽△DOF可得AF∶DF＝AE∶OD＝75，
所以AFDF＝75.
【變式訓(xùn)練1】已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，連接DO并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，⊙O的切線(xiàn)DF交AC于點(diǎn)F.
(1)求證：AF＝CF；
(2)若ED＝4，sin∠E＝35，求CE的長(zhǎng).
【解析】(1)方法一：設(shè)線(xiàn)段FD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)G，則∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDO＝π2，所以∠ADF＋∠BDO＝π2，又因?yàn)樵凇袿中OD＝OB，∠BDO＝∠OBD，所以∠ADF＋∠OBD＝π2.
在Rt△ABC中，∠A＋∠CBA＝π2，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD.
又在Rt△ABC中，直角邊BC為⊙O的直徑，所以AC為⊙O的切線(xiàn)，
又FD為⊙O的切線(xiàn)，所以FD＝CF.
所以AF＝CF.
方法二：在直角三角形ABC中，直角邊BC為⊙O的直徑，所以AC為⊙O的切線(xiàn)，
又FD為⊙O的切線(xiàn)，所以FD＝CF，且∠FDC＝∠FCD.
又由BC為⊙O的直徑可知，∠ADF＋∠FDC＝π2，∠A＋∠FCD＝π2，
所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF.
所以AF＝CF.
(2)因?yàn)樵谥苯侨�角形FED中，ED＝4，sin∠E＝35，所以cos∠E＝45，所以FE＝5.
又FD＝3＝FC，所以CE＝2.
題型二　圓中有關(guān)定理的綜合應(yīng)用
【例2】如圖所示，已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O 1的切線(xiàn)交⊙O2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作兩圓的割線(xiàn)，分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P.



( 1)求證：AD∥EC；
( 2)若AD是⊙O2的切線(xiàn)，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的長(zhǎng).
【解析】(1)連接AB，因?yàn)锳C是⊙O1的切線(xiàn)，所以∠BAC＝∠D，
又因?yàn)椤螧AC＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥EC.
(2)方法一：因?yàn)镻A是⊙O1的切線(xiàn)，PD是⊙O1的割線(xiàn)，
所以PA2＝PB?PD，所以62＝PB?(PB＋9)，所以PB＝3.
在⊙O2 中，由相交弦定理得PA?PC＝BP?PE，所以PE＝4.
因?yàn)锳D是⊙O2的切線(xiàn)，DE是⊙O2的割線(xiàn)，
所以AD2＝DB?DE＝9×16，所以AD＝12.
方法二：設(shè)BP＝x， PE＝y(tǒng).
因?yàn)镻A＝6，PC＝2，所以由相交弦定理得PA?PC＝BP?PE，即xy＝12.①
因?yàn)锳D∥EC，所以DPPE＝APPC，所以9＋xy＝62.②
由①②可得 或 (舍去)，所以DE＝9＋x＋y＝16.
因?yàn)锳D是⊙O2的切線(xiàn)，DE是⊙O2的割線(xiàn)，所以AD2＝DB?DE＝9×16，所以AD＝12.
【變式訓(xùn)練2】如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)與弦CD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)， ，DE交AB于點(diǎn)F，且AB＝2BP＝4.
(1)求PF的長(zhǎng)度；
(2)若圓F與圓O內(nèi)切，直線(xiàn)PT與圓F切于點(diǎn)T，求線(xiàn)段PT的長(zhǎng)度.
【解析】(1)連接OC，OD，OE，由同弧對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系，結(jié)合題中已知條件可得∠CDE＝∠AOC.
又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，
從而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，所以PFPC＝PDPO.
由割線(xiàn)定理知PC?PD＝PA?PB＝12，故PF＝ ＝124＝3.
(2)若圓F與圓O內(nèi)切，設(shè)圓F的半徑為r，
因?yàn)镺F＝2－r＝1，即r＝1，
所以O(shè)B是 圓F的直徑，且過(guò)點(diǎn)P的圓F的切線(xiàn)為PT，
則PT2＝PB?PO＝2×4＝8，即PT＝22.
題型三　四點(diǎn)共圓問(wèn)題
【例3】如圖，圓O與圓P相交于A、B兩點(diǎn)，圓心P在圓O上，圓O的弦BC切圓P于點(diǎn)B，CP及其延長(zhǎng)線(xiàn)交圓P于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.
(1)求證：B、P、E、F四點(diǎn)共圓；
(2)若CD＝2，CB＝22，求出由B、P、E、F四點(diǎn)所確定的圓的直徑.
【解析】(1)證明：連接PB.因?yàn)锽C切圓P于點(diǎn)B，所以PB⊥BC.
又因?yàn)镋F⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，
所以B，P，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.
(2)因?yàn)锽，P，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圓的直徑就是PF.
因?yàn)锽C切圓P于點(diǎn)B，且CD＝2，CB＝22，
所以由切割線(xiàn)定理CB2＝CD?CE，得CE＝4，DE＝2，BP＝1.
又因?yàn)镽t△CBP∽R(shí)t△CEF，所以EF∶PB＝CE∶CB，得EF＝2.
在Rt△FEP中，PF＝PE2＋EF2＝3，
即由B，P，E，F(xiàn)四點(diǎn)確定的圓的直徑為3.
【變式訓(xùn)練3】如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn).連接OD交圓O于點(diǎn)M.求證：
(1)O，B，D，E四點(diǎn)共圓；
(2)2DE2＝DM?AC＋DM?AB.
【證明】(1)連接BE，則BE⊥EC.
又D是BC的中點(diǎn)，所以DE＝BD.
又OE＝OB，OD＝OD，所以△ODE≌△ODB，
所以∠OBD＝∠OED＝90°，所以D，E，O，B四點(diǎn)共圓.
(2)延長(zhǎng)DO交圓O于點(diǎn)H.
因?yàn)镈E2＝DM?DH＝DM?(DO＋OH)＝DM?DO＋DM?OH＝DM?(12AC)＋DM?(12AB)，
所以2DE2＝DM?AC＋DM?AB.
總結(jié)提高
1.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是一種重要的幾何關(guān)系.
本章在初中平面幾何的基礎(chǔ)上加以深化，使平面幾何知識(shí)趨于完善，同時(shí)為解析幾何、立體幾何提供了多個(gè)理論依據(jù).

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/55475.html

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