教案30 導數(shù)的概念、性質與運算（1）
一、前檢測
1.函數(shù)y＝ax2＋1的圖象與直線y＝x相切，則a＝( B )
A． B． C． D．1

2.若 ，則 答案：

3．在曲線y=x2+1的圖象上取一點(1,2)及鄰近一點(1+△x,2+△y)，則 為（ C ）
A.△x+ +2 B.△x－ －2 C.△x+2 D.2+△x－

4．已知兩曲線 和 都經(jīng)過點P（1,2），且在點P處有公切線，試求a,b,c值。
答案：

二、知識梳理
1.平均變化率：函數(shù) 在 上的平均變化率為 ，若 ，
,則平均變化率可表示為 .
解讀：

2.導數(shù)的概念：設函數(shù) 在區(qū)間 上有定義， 當 無限接近于0時，比值
無限趨近于一個常數(shù) ，則稱 在點 處可導，并稱常數(shù) 為函數(shù) 在 處的 ，記作 .
解讀：

3.導數(shù)的幾何意義：函數(shù) 在點 處的導數(shù) 的幾何意義就是曲線 在點 處的 .

4.常見函數(shù)的導數(shù)：
基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
原函數(shù)導函數(shù)

=

解讀：

5.導數(shù)運算法則
（1） = ；（2） = ；
（3） =
解讀：

6.簡單復合函數(shù)的導數(shù)：
若 ，則 ，即 .
解讀：

三、典型例題分析
例1求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)y=(2x2-1)(3x+1) 答案：

(2) 答案：

(3) 答案：

(4) 答案：

（5）y= 答案：
變式訓練：設 求 . 答案：

小結與拓展：一定要熟記導數(shù)公式及求導法則，它是導數(shù)問題的基礎。

導數(shù)的幾何意義：
例2 已知曲線 。
（1）求曲線在點P（2，4）處的切線方程；（2）求曲線過點P（2，4）的切線方程；
（3）求曲線斜率為4的切線方程。
簡答：在點P（2，4）處的切線與過點P（2，4）的切線的意義是不同的，（1）點P（2，4）是切點，在點P（2，4）處的切線斜率就是函數(shù)在該點處的導數(shù)，由點斜式可得切線方程4x-y-4=0。（2）點P（2，4）可以不是切點，因P（2，4）在曲線上，當然也可以是切點，所以（2）的答案應包含4x-y-4=0，另外過點P（2，4），可能存在的切線可有如下求法：設切點Q ，則切線PQ的斜率 ，所以，由斜率公式得
，整理得 ，為因式分解添加項得 ，即 ，解得除 之外的解 ，于是，k= ，得x-y+2=0.
（3）已知切線斜率為4，即 =4，所以， 或-2，得切點（2，4）和（-2， ），
于是，斜率為4的切線方程為4x-y-4=0和12x-3y+20=0.

變式訓練：曲線 的切線中，求斜率最小的切線方程. 答案：

小結與拓展：本題的各小題都是考查導數(shù)的幾何意義的，導數(shù)的幾何意義是曲線在該點處的切線的斜率.注意“在”與“過”的區(qū)別。

例3 曲線 上有兩點A（4，0）、B（2，4）.求：
（1）割線AB的斜率kAB及AB所在直線的方程；
（2）在曲線AB上是否存在點C，使過C點的切線與AB所在直線平行?若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由.
解：（1）kAB= =－2，
∴y=－2（x－4）.
∴所求割線AB所在直線方程為2x+y－8=0.
（2） =－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3.
∴C點坐標為（3，3），所求切線方程為2x+y－9=0.

變式訓練：已知曲線y=x2－1與y=3－x3在x=x0處的切線互相垂直，求x0. 答案：
解：在x=x0處曲線y=x2－1的切線斜率為2x0，曲線y=3－x3的切線斜率為－3x02.
∵2x0•（－3x02）=－1，∴x0= .

四、歸納與總結（以學生為主，師生共同完成）
1.知識：
2.思想與方法：
3.易錯點：
4.反思（不足并查漏）：

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