2012版高三數(shù)學一輪精品復習學案：第八章 平面解析幾何
第二節(jié) 直線與圓
【高考目標導航】
一、圓的方程
（一）考綱點擊
1、掌握確定圓的幾何要素，掌握確定圓的標準方程與一般方程；
2、初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。
（二）熱點提示
1、圓的標準方程和一般方程以及圓的幾何性質是高考考查的重點；
2、多以選擇、填空的形式出現(xiàn)，屬中低檔題目。
二、直線、圓的位置關系
（一）考綱點擊
1、能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系；
2、能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；
3、初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。
（二）熱點提示
1、直線與圓，圓與圓的位置關系特別是直線與圓相切一直是高考考查的重點和熱點，主要考查：
（1）方程中含有參數(shù)的直線與圓的位置關系的判斷；
（2）利用相切或相交的條件確定參數(shù)的值或取值范圍；
（3）利用相切或相交求圓的切線或弦長。
2、本部分在高考試題中多為選擇、填空題，有時在解答題中考查直線與圓位置關系的綜合問題。
【考綱知識梳理】
一、圓的方程
1．圓的定義
（1）在平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。
（2）確定一個圓的要素是圓心和半徑。
2．圓的方程
圓的標準方程圓的一般方程
方程


圓心坐標（a,b）

半徑r

注：方程 表示圓的充要條件是
3．點與圓的位置關系
已知圓的方程為 ，點 。則：
（1）點在圓上： ；
（2）點在圓外： ；
（3）點在圓內： 。
4．確定圓的方程方法和步驟
確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：
（1）根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；
（2）根據(jù)條件列出關于a,b,r或D、E、F的方程組；
（3）解出a,b,r或D、E、F代入標準方程或一般方程。
注：用待定系數(shù)法求圓的方程時，如何根據(jù)已知條件選擇圓的方程？（當條件中給出的是圓上幾點坐標，較適合用一般方程，通過解三元方程組求相應系數(shù)；當條件中給出的是圓心坐標或圓心在某條直線上、圓的切線方程、圓弦長等條件，適合用標準方程。對于有些題，設哪種形式都可以，這就要求根據(jù)條件具體問題具體分析。）
二、直線、圓的位置關系
1．直線與圓的位置關系
位置關系相離相切相交
公共點個數(shù)0個1個2個
幾何特征（圓心到直線的距離 ，半徑 ）




代數(shù)特征（直線與圓的方程組成的方程組）無實數(shù)解有兩組相同實數(shù)解有兩組不同實數(shù)解
注：在求過一定點的圓的切線方程時，應首先判斷這點與圓的位置關系，若點在圓臺上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線應有兩條，謹防漏解。
2．圓與圓的位置關系
位置關系外離外切相交內切內含
公共點個數(shù)01210
幾何特征（圓心距 ，兩圓半徑 ， ， ）



代數(shù)特征（兩個圓的方程組成的方程組）無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解
【要點名師透析】
一、圓的方程
（一）圓的方程的求法
※相關鏈接※
1．確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法。如果選擇標準方程，即列出關于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心（a,b）和半徑r.
2．如果已知條件中圓心的位置不能確定，則選擇圓的一般方程。圓的一般方程也含有三個獨立的參數(shù)，因此，必須具備三個獨立的條件，才能確定圓的一般方程，其方法仍采用待定系數(shù)法。設所求圓的方程為： 由三個條件得到關于D、E、F的一個三元一次方程組，解方程組確定D、E、F的值。
3．以 為直徑的兩端點的圓的方程為

注：在求圓的方程時，常用到圓的以下必修性質：
（1）圓心在過切點且與切線垂直的直線上；
（2）圓心在任一弦的中垂直上；
（3）兩圓心或外切時，切點與兩圓圓心三點共線。
※例題解析※
〖例〗求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為 的圓的方程。
思路解析：由條件可設圓的標準方程求解，也可設圓的一般方程，但計算較繁瑣。
解答：（方法一） 設所求的圓的方程是 ，
則圓心(a,b)到直線x-y=0的距離為 ，
∴ ,
即 ………………………………………………①
由于所求的圓與x軸相切，∴ ………………………………②
又因為所求圓心在直線3x-y=0上，
∴3a-b=0………………………………………………………………③
聯(lián)立①②③，解得a=1,b=3, =9或a=-1,b=-3, =9.
故所求的圓的方程是：
（方法二）設所求的圓的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，圓心為 ，半徑為 令y=0，得x2+ Dx+ F =0，由圓與x軸相切，得?=0，即D2-4F……④
又圓心 到直線x-y=0的距離為 ,
由已知，得 ,
即 = …………………………………………⑤
又圓心 在直線3x-y=0上，∴3D-E=0…………………………⑥
聯(lián)立④⑤⑥，解得
D=-1，E=-6，F(xiàn)=1或D=2，E=6，F(xiàn)=1。
故所求圓的方程是 =0或
（二）與圓有關的最值問題
※相關鏈接※
1．求與圓有關的最值問題多采用幾何法，就是利用一些代數(shù)式的幾何意義進行轉化。如（1）形如m= 的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；（2）形如t=ax+by的最值問題，可轉化為直線在y軸上的截距的最值問題；（3）形如m= 的最值問題，可轉化為兩點間的距離平方的最值問題。
2．特別要記住下面兩個代數(shù)式的幾何意義：
表示點(x,y)與原點（0，0）連線的直線斜率， 表示點（x,y）與原點的距離。
※例題解析※
〖例〗已知實數(shù) 、 滿足方程 。
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求 - 的最大值和最小值；
（3）求 的最大值和最小值。
思路解析：化 ， 滿足的關系為 理解 ， - ， 的幾何意義 根據(jù)幾何意義分別求之。
解答：（1）原方程可化為 ，表示以（2，0）為圓心， 為半徑的圓， 的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設 = ，即 。當直線 與圓相切時，斜率 取最大值或最小值，此時 ，解得 =± 。
所以 的最大值為 ，最小值為?
（2） - 可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時 ，解得 。所以 - 的最大值為 ，最小值為 。
（3） 表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值。又圓心到原點的距離為 ，所以 的最大值是 ， 的最小值是 。
（三）與圓有關的軌跡問題
※相關鏈接※
1．解決軌跡問題，應注意以下幾點：
（1）求方程前必須建立平面直角坐標系（若題目中有點的坐標，就無需建系），否則曲線就不可轉化為方程。
（2）一般地，設點時，將動點坐標設為（x,y），其他與此相關的點設為 等。
（3）求軌跡與求軌跡方程是不同的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形。
2．求軌跡方程的一般步驟：
（1）建系：設動點坐標為（x,y）；
（2）列出幾何等式；
（3）用坐標表示得到方程；
（4）化簡方程；
（5）除去不合題意的點，作答。
※例題解析※
〖例〗設定點M（-3，4），動點N在圓 上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡。
思路解析：先設出P點、N點坐標，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，用P點坐標表示N點坐標，代入圓的方程可求。
解答：如圖所示，

設P（x,y），N ，則線段OP的中點坐標為 ，線段MN的中點坐標為 。因為平行四邊形的對角線互相平分，故 。N（x+3,y-4）在圓上，故 。因此所求軌跡為圓： ，擔應除去兩點： （點P在OM所在的直線上時的情況）。
（四）有關圓的實際應用
〖例〗有一種大型商品，A、B兩地都有出售，有價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：A地每公里的運費是B地每公里運費的3倍。已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低。求P地居民選擇A地或B地購物總費用相等時，點P所在曲線的形狀，并指出曲線上、曲線內、曲線外的居民應如何選擇購物地點？
思路解析：根據(jù)條件，建立適當坐標系，求出點P的軌跡方程，進而解決相關問題。
解答：如圖，

以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系，∵AB?=10，∴A（-5，0），B（5，0）。設P（x,y）,P到A、B兩地購物的運費分別是3a、a（元/公里）。當由P地到A、B兩地購物總費用相等時，有：價格+A地運費=價格+B地運費，
∴3a? =a? .
化簡整理，得
（1）當P點在以（- ，0）為圓心、 為半徑的圓上時，居民到A地或B地購物總費用相等。
（2）當P點在上述圓內時，

當P點在上述圓外時，

注：在解決實際問題時，關鍵要明確題意，掌握建立數(shù)學基本模型的方法將實際問題轉化為數(shù)學問題解決。
二、直線、圓的位置關系
（一）直線和圓的位置關系
※相關鏈接※
直線和圓的位置關系的判定有兩種方法
（1）第一種方法是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立組成方程組，轉化為一元二次方程，再利用判別式?來討論位置關系，即
?>0 直線與圓相交;
?=0 直線與圓相切;
?<0 直線與圓相離.
（2）第二種方法是幾何的觀點，即將圓心到直線的距離d與半徑r比較來判斷，即
dd>r 直線與圓相切；
d=r 直線與圓相離。
※例題解析※
〖例〗已知圓
（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線上；
（2）與 平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；
（3）求證：任何一條平行于 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等。
思路解析：用配方法將圓的一般方程配成標準方程，求出圓心坐標，消去m就得關于圓心的坐標間的關系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、相切、相離，只需比較圓心到直線的距離d與圓半徑的大小即可；證明弦長相等時，可用幾何法計算弦長。
解答：（1）配方得： 設圓心為(x,y)，則 ，消去m得 則圓心恒在直線 。
（2）設與 平行的直線是： ，

（3）對于任一條平行于 且與圓相交的直線 ： ，由于圓心到直線 的距離
（與m無關）。弦長=
∴任何一條平行于 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等。
（二）圓與圓的位置關系
※相關鏈接※
1．判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數(shù)法；
2．若兩圓相交，則兩圓公式弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 項即可得到；
3．兩圓公切線的條數(shù)（如下圖）

（1）兩圓內含時，公切線條數(shù)為0；
（2）兩圓內切時，公切線條數(shù)為1；
（3）兩圓相交時，公切線條數(shù)為2；
（4）兩圓外切時，公切線條數(shù)為3；
（5）兩圓相離時，公切線條數(shù)為4。
因此求兩圓的公切線條數(shù)主要是判斷兩圓的位置關系，反過來知道兩圓公切線的條數(shù)，也可以判斷出兩圓的位置關系。
※例題解析※
〖例〗求經(jīng)過兩圓 和 的交點，且圓心在直線x－y－4=0上的圓的方程
思路解析：根據(jù)已知，可通過解方程組 得圓上兩點，由圓心在直線x－y－4=0上，三個獨立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程；也可根據(jù)已知，設所求圓的方程為 ，再由圓心在直線x－y－4=0上，定出參數(shù)λ，得圓方程
解答：因為所求的圓經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點，
所以設所求圓的方程為
展開、配方、整理，得 + = +
圓心為 ，代入方程x－y－4=0，得λ=－7
故所求圓的方程為
注：圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圓C1、C2相交，那么過兩圓公共點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過兩圓C1、C2公共點的圓
（三）圓的切線及弦長問題
※相關鏈接※
1．求圓的切線的方法
（1）求圓的切線方程一般有兩種方法：
①代數(shù)法：設切線方程為 與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式?=0進而求得k。
②幾何法：設切線方程為 利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d=r，進而求出k。
兩種方法，一般來說幾何法較為簡潔，可作為首選。
注：在利用點斜式求切線方程時，不要漏掉垂直于x軸的切線，即斜率不存在時的情況。
（2）若點 在圓 上，則M點的圓的切線方程為 。
2．圓的弦長的求法
（1）幾何法：設圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為L，則 。
（2）代數(shù)法：設直線與圓相交于 兩點，解方程組 消y后得關于x的一元二次方程，從而求得 則弦長為
。
（四）直線、圓位置關系的綜合應用
〖例〗如圖，矩形 的兩條對角線相交于點 ， 邊所在直線的方程為 , 點 在 邊所在直線上．

（I）求 邊所在直線的方程；
（II）求矩形 外接圓的方程；
（III）若動圓 過點 ，且與矩形 的外接圓外切，求動圓 的圓心的方程．
解答：（I）因為 邊所在直線的方程為 ，且 與 垂直，
所以直線 的斜率為 ．又因為點 在直線 上，
所以 邊所在直線的方程為 ． ．-----------------3分
（II）由 解得點 的坐標為 ， ------------4分
因為矩形 兩條對角線的交點為 ．
所以 為矩形 外接圓的圓心． -----------------6分
又 ．
從而矩形 外接圓的方程為 ．----------------------9分
（III）因為動圓 過點 ，所以 是該圓的半徑，又因為動圓 與圓 外切，
所以 ，即 ．------------------------11分
故點 的軌跡是以 為焦點，實軸長為 的雙曲線的左支．
因為實半軸長 ，半焦距 ．
所以虛半軸長 ．
從而動圓 的圓心的軌跡方程為 ． -----------------14分
【感悟高考真題】
1．（2011?安徽高考文科?Ｔ4）若直線 過圓 的圓心，則 的值為（�。�
（A）-1 （B） 1 （C）3 （D）-3
【思路點撥】將圓的方程化為標準形式，得到圓心坐標，代入直線方程求出 .
【精講精析】選B.圓的方程 可變形為 ，所以圓心坐標為（-1,2），代入直線方程得 .
2．（2011?江西高考理科?Ｔ9）若曲線 ： ?2 =0與曲線 : 有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是 （ ）
(? ， ） B. （? ，0）∪（0， ）
C. [? ， ] D.( －∞, － )∪( ,+∞)
【思路點撥】先根據(jù)方程y(y-mx-m)=0,得出y=0或y-mx-m=0，再根據(jù)直線與圓的位置關系，易得m的取值范圍.
【精講精析】選B.



3．（2011?江蘇高考?Ｔ14）設集合 , , 若 則實數(shù)m的取值范圍是______________
【思路點撥】本題考查的是直線與圓的位置關系，解題的關鍵是找出集合所代表的幾何意義，然后結合直線與圓的位置關系，求得實數(shù)m的取值范圍.
【精講精析】答案： 由 得， ，所以 或 .當 時， ，且 ，又 ，所以集合A表示的區(qū)域和集合B表示的區(qū)域無公共部分；當 時，只要 或 解得 或 ，所以，實數(shù) 的取值范圍是 .
4．（2011?新課標全國高考文科?Ｔ20）在平面直角坐標系xOy中，曲線 與坐標軸的交點都在圓C上
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線 交于A，B兩點，且 ，求a的值.
【思路點撥】第（1）問，求出曲線 與坐標軸的3個交點，然后通過3個點的坐標建立方程或方程組求得圓C的方程;
第（2）圓，設 ， ，利用直線方程 與圓的方程聯(lián)立，化簡 ，最后利用待定系數(shù)法求得 的值.
【精講精析】（Ⅰ）曲線 與坐標軸的交點為（0,1）（3
故可設圓的圓心坐標為（3， t）則有 +
解得t=1,則圓的半徑為 .
所以圓的方程為 .
（Ⅱ）設A( B( 其坐標滿足方程組



消去y得到方程
由已知可得判別式△=56-16a-4 >0
由韋達定理可得 ， ①
由 可得 又 .所以
2 ②
由①②可得a=-1,滿足△>0，故a=-1.

【考點精題精練】
一、選擇題
1．已知圓 與 軸的兩個交點為 、 ，若圓內的動點 使 、 、 成等比數(shù)列，則 的取值范圍為--------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案:B
2．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關于直線y＝－x對稱，則圓C的方程為（ ）
A.(x＋1)2＋y2＝1　　　 B.x2＋y2＝1
C.x2＋(y＋1)2＝1　　　 D.x2＋(y－1)2＝1
答案:C
3．直線 與圓 相切，則 的值為（ ）
A. 0 B. C.2 D.
答案:A
4．已知 為圓 的兩條互相垂直的弦， 交于點 ，則四邊形 面積的最大值為-----（ ）
A 4 B 5 C 6 D 7
答案:B
5．兩圓 的位置關系是（ ）
A．內切B．外切C．相離D．內含
答案:B
6．直線x+y+1=0與圓 的位置關系是 （ ）
A.相交 B.相離 C.相切 D.不能確定
答案：C提示：圓心 ，
7．已知圓的方程為 ，設圓中過點 的最長弦與最短弦分別為 、 ，則直線 與 的斜率之和為（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案:B
8．經(jīng)過圓 的圓心且斜率為1的直線方程為（ ）
A． B． C. D．
答案:A
9．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點，且∠POQ＝120°(其中O為原點)，則k的值為（ ）
A、±12 B、±32 C、±33 D、±3
答案:A
10．已知點P（x，y）是直線kx + y + 4 = 0（k > 0）上一動點，PA、PB是圓C： 的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（ ）
A．3B． C． D．2
答案：D
11．已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線 相切，則圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案:A

12．如圖，點P(3，4)為圓 上的一點，點E，F(xiàn)為y軸上的兩點，△PEF是以點P為頂點的等腰三角形，直線PE，PF交圓于D，C兩點，直線CD交y軸于點A，則sin∠DAO的值為 ( )

A． B． C． D．
答案:A
二、填空題
13．如圖，點A、B、C是圓O上的點，且AB=4， ，則圓O的面積等于

答案:
14．圓C: （ 為參數(shù)）的圓心坐標是 ；若直線 與圓C相切，則 的值為 .
答案: 0
15．已知直線 與圓 相交于 、 兩點， ，則 ? =
答案:
16．已知實數(shù) 成等差數(shù)列，點 在直線 上的射影是Q，則Q的軌跡方程是________。
答案:
三、解答題
17．已知A是圓 上任一點，AB垂直于x軸，交x軸于點B．以A為圓心、AB為半徑作圓交已知圓于C、D，連結CD交AB于點P.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)若(1)所求得的點P的軌跡為M,過點Q( ,0)作直線l交軌跡M于E、G兩點，O為坐標原點，求△EOG的面積的最大值，并求出此時直線l的傾斜角.
解答:(1)設點A的坐標為A(2cos?，2sin?)，

則以A為圓心、AB為半徑的圓的方程為
(x－2cos?)2 + (y－2sin?)2 = 4sin2?．……………… 1分
聯(lián)立已知圓x2 + y2 = 4的方程，相減，
可得公共弦CD的方程為
xcos? + ysin? = 1+ cos2?． (1) ………………3分
而AB的方程是 x = 2cos?． (2)
所以滿足(1)、(2)的點P的坐標為(2cos?，sin?)，消去?，即得
點P的軌跡方程為x2 + 4y2 = 4． ……………… 5分
說明： 設A(m，n)亦可類似地解決．
(2) △EOG的最大面積為1. ……………… 9分
此時直線l的傾斜角為45或135. ……………… 10分
18．設 、 為坐標平面 上的點，直線 （ 為坐標原點）與拋物線 交于點 (異于 ).
若對任意 ，點 在拋物線 上，試問當 為何值時，點 在某一圓上，并求出該圓方程 ；
若點 在橢圓 上，試問：點 能否在某一雙曲線上，若能，求出該雙曲線方程，若不能，說明理由；
對（1）中點 所在圓方程 ，設 、 是圓 上兩點，且滿足 ，試問：是否存在一個定圓 ，使直線 恒與圓 相切.
解答：（1） ，-------------2分
代入 -非所問------ 4分
當 時，點 在圓 上- --------5分
（2） 在橢圓 上，即
可設 -- -------------------7分
又 ，于是
（令 ）
點 在雙曲線 上 ------------10分
（3） 圓 的方程為
設 由
--------------------------12分
又
， ------------14分
又原點 到直線 距離 ，即原點 到直線 的距離恒為
直線 恒與圓 相切。



本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/68836.html

相關閱讀：2012屆高考數(shù)學第一輪導學案復習：二次函數(shù)