教案67 數(shù)列的綜合應(yīng)用
一、前檢測
1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n個(gè)式子為 。
答案：

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明 ,在驗(yàn)證 成立時(shí),左邊所得的項(xiàng)為( C )
A.1 B.1+ C. D.

二、知識(shí)梳理
1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖等問題，求利率、增長率等問題也常歸結(jié)為數(shù)列建模問題。
⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題. 例如，第一年產(chǎn)量為 ，年增長率為 ，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為 .其中第 年產(chǎn)量為 ，且過 年后總產(chǎn)量為：

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題. 例如：一年中每月初到銀行存 元，利息為 ，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的 元過 個(gè)月后便成為 元. 因此，第二年年初可存款：
= .
注意：“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題
⑴這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.
⑵利率問題：①單利問題：如零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型：若每期存入本金 元,每期利率為 ,則 期后本利和為：
(等差數(shù)列問題）；②復(fù)利問題：按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型：若貸款(向銀行借款) 元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分 期還清.如果每期利率為 （按復(fù)利），那么每期等額還款 元應(yīng)滿足：
(等比數(shù)列問題).

⑶分期付款應(yīng)用題： 為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款全部付清； 為年利率.

2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時(shí)應(yīng)注意：
（1）分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；
（2）分清是求an還是求Sn，特別要準(zhǔn)確地確定項(xiàng)數(shù)n.

3.數(shù)列與其他知識(shí)的綜合也是�？嫉念}型，如：數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何知識(shí)相互聯(lián)系和滲透，都是常見的題型。

4.強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、方程思想的應(yīng)用.

三、典型例題分析
題型1 以等差數(shù)列為模型的問題
例1 由于美伊戰(zhàn)爭的影響，據(jù)估計(jì)，伊拉克將產(chǎn)生60~100萬難民，聯(lián)合國難民署計(jì)劃從4月1日起為伊難 *** 送食品.第一天運(yùn)送1000 t，第二天運(yùn)送1100 t，以后每天都比前一天多運(yùn)送100t，直到達(dá)到運(yùn)送食品的最大量，然后再每天遞減100 t，連續(xù)運(yùn)送15天，總共運(yùn)送21300 t，求在第幾天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.
剖析：本題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)等差數(shù)列的求通項(xiàng)和求和的問題.
解：設(shè)在第n天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.
則前n天每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為1000，公差為100的等差數(shù)列.
an=1000+（n－1）•100=100n+900.
其余每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為100n+800，公差為－100的等差數(shù)列.
依題意，得
1000n+ ×100+（100n+800）（15－n）+ ×（－100）=21300（1≤n≤15）.
整理化簡得n2－31n+198=0.
解得n=9或22（不合題意，舍去）.
答：在第9天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.

變式訓(xùn)練1 數(shù)列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝an－1n＋n＋1(n∈N*，n≥2)，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)an＝________. 答案：(n＋1)(n＋2)
解：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，則ann＋1－an－1n＝1，所以數(shù)列{ann＋1}是以a12＝3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即ann＋1＝n＋2，則an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1時(shí)，此式也成立．

小結(jié)與拓展：對數(shù)列應(yīng)用題要分清是求通項(xiàng)問題還是求和問題。

題型2 以等比數(shù)列為模型的實(shí)際問題
例2 （2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面積1200萬平方米，計(jì)劃從2005年起，每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.
（1）分別求2005年底和2006年底的住房面積；
（2）求2024年底的住房面積.（計(jì)算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0.01）
剖析：本題實(shí)質(zhì)是一個(gè)等比數(shù)列的求和問題.
解:（1）2005年底的住房面積為
1200（1+5%）－20=1240（萬平方米），
2006年底的住房面積為
1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（萬平方米），
∴2005年底的住房面積為1240萬平方米，2006年底的住房面積為1282萬平方米.
（2）2024年底的住房面積為
1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20
=1200（1+5%）20－20×
≈2522.64（萬平方米），
∴2024年底的住房面積約為2522.64萬平方米.
評(píng)述：應(yīng)用題應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)學(xué)知識(shí)解決，然后回到實(shí)際問題，給出答案.

變式訓(xùn)練2 從2002年1月2日起，每年1月2日到銀行存入一萬元定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新一年的定期存款，到2008年1月1日將所有存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)為___ _萬元.
答案： ［（1+p）7－（1+p）］
解：存款從后向前考慮
（1+p）+（1+p）2+…+（1+p）5
= = ［（1+p）7－（1+p）］.
注：2008年不再存款.
小結(jié)與拓展：對數(shù)列應(yīng)用題要分清是求通項(xiàng)問題還是求和問題。

題型3 數(shù)列與函數(shù)、不等式等問題的綜合應(yīng)用
例3 ()在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．
(1)試判斷數(shù)列{1an}是否為等差數(shù)列；(2)設(shè){bn}滿足bn＝1an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)為Sn；
(3)若λan＋1an＋1≥λ，對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得1an－1an－1＝3(n≥2)，故數(shù)列{1an}是等差數(shù)列．
(2)由(1)的結(jié)論可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，
∴Sn＝n(1＋3n－2)2＝n(3n－1)2.
(3)將an＝1bn＝13n－2代入λan＋1an＋1≥λ并整理得λ(1－13n－2)≤3n＋1，
∴λ≤(3n＋1)(3n－2)3n－3，原命題等價(jià)于該式對任意n≥2的整數(shù)恒成立．
設(shè)Cn＝(3n＋1)(3n－2)3n－3，則Cn＋1－Cn＝(3n＋1)(3n－4)3n(n－1)>0，故Cn＋1>Cn，
∴Cn的最小值為C2＝283， ∴λ的取值范圍是(－∞，283]．

變式訓(xùn)練3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對任意n∈N*都有Sn＝23an－13，若1<Sk<9(k∈N*)，則k的值為________．答案：4
解：∵Sn＝23an－13，∴S1＝23a1－13＝a1，a1＝－1.an＝Sn－Sn－1(n>1)，即an＝(23an－13)－(23an－1－13)＝23an－23an－1，整理得：anan－1＝－2，∴{an}是首項(xiàng)為－1，公比為－2的等比數(shù)列，Sk＝a1(1－qk)1－q＝(－2)k－13，∵1<Sk<9，∴1<(－2)k－13<9，即4<(－2)k<28，僅當(dāng)k＝4時(shí)不等式成立．

小結(jié)與拓展：數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系和滲透.

四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）
1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖等問題，求利率、增長率等問題也常歸結(jié)為數(shù)列建模問題. 解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，要加強(qiáng)培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識(shí).
2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時(shí)應(yīng)注意：
（1）分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；
（2）分清是求an還是求Sn，特別要準(zhǔn)確地確定項(xiàng)數(shù)n.
3.數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系和滲透.
4.強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、方程思想的應(yīng)用.

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