2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料
專題五 平面向量（教師版）
【考綱解讀】
1. 理解平面向量的概念與幾何表示、兩個(gè)向量相等的含義;掌握向量加減與數(shù)乘運(yùn)算及其意義;理解兩個(gè)向量共線的含義,了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.
2．了解平面向量的基本定理及其意義;掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算;理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.
3．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;了解平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
高考對(duì)平面向量的考點(diǎn)分為以下兩類:
(1)考查平面向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算,向量概念所含內(nèi)容較多,如單位向量、共線向量、方向向量等基本概念和向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算，高考中或直接考查或用以解決有關(guān)長(zhǎng)度，垂直，夾角，判斷多邊形的形狀等，此類題一般以選擇題形式出現(xiàn)，難度不大.
(2)考查平面向量的綜合應(yīng)用.平面向量常與平面幾何、解析幾何、三角等內(nèi)容交叉滲透，使數(shù)學(xué)問題的情境新穎別致，自然流暢，此類題一般以解答題形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng).
【要點(diǎn)梳理】
1.向量的加法與減法:掌握平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法則，加法的運(yùn)算律;
2.實(shí)數(shù)與向量的乘積及是一個(gè)向量，熟練其含義；
3.兩個(gè)向量共線的條件:平面向量基本定理、向量共線的坐標(biāo)表示；
4.兩個(gè)向量夾角的范圍是: ;
5.向量的數(shù)量積:熟練定義、性質(zhì)及運(yùn)算律，向量的模，兩個(gè)向量垂直的充要條件.
【考點(diǎn)在線】
考點(diǎn)一 　向量概念及運(yùn)算
例1.(2011年高考山東卷理科12)設(shè) ， ， ， 是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若 (λ∈R)， (μ∈R)，且 ,則稱 ， 調(diào)和分割 ， ,已知點(diǎn)C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0，0)，B(1，0)，則下面說法正確的是( )
(A)C可能是線段AB的中點(diǎn)
(B)D可能是線段AB的中點(diǎn)
(C)C，D可能同時(shí)在線段AB上
(D) C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上
【答案】D
考點(diǎn)二 　平面向量的數(shù)量積
例2.（2011年高考海南卷文科13)已知 與 為兩個(gè)不共線的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量 與向量 垂直,則 .
【答案】1
【解析】由題意知 ,即 ,所以 ,因?yàn)?與 不共線,所以 ,即k=1.
【名師點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)向量垂直的充要條件、向量的數(shù)量積.
【備考提示】：熟練向量的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本題的關(guān)鍵.
練習(xí)2: (2011年高考安徽卷文科14)已知向量a，b滿足（a+2b）?（a-b）=－6，且 ， ，則a與b的夾角為 .
【答案】
【解析】 ，則 ，即 ， ，所以 ，所以 .
考點(diǎn)三 　向量與三角函數(shù)等知識(shí)的綜合
例3. （2009年高考江蘇卷第15題）
設(shè)向量
（1）若 與 垂直，求 的值；
（2）求 的最大值;
（3）若 ，求證： ∥ .
【解析】

【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的基本概念，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明得基本能力.
【備考提示】：熟練向量的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本題的關(guān)鍵.
練習(xí)3: （2009年高考廣東卷A文科第16題）
已知向量 與 互相垂直，其中
（1）求 和 的值（2）若 ， ,求 的值
【解析】（１） , ,即
又∵ , ∴ ,即 ,∴
又　 ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴ w
【易錯(cuò)專區(qū)】
1.（2011年高考全國(guó)卷文科3)設(shè)向量 滿足 = =1, ,則 ( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】
故選B
2.（2011年高考遼寧卷文科3)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a?（2a-b）=0，則k=（ ）
（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12
【答案】D
【解析】由題意，得2a-b =（5，2-k），a?（2a-b）=2×5+2-k=0，所以k=12.
3. （2011年高考四川卷文科7)如圖，正六邊形ABCDEF中， =( )

(A)0 (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】 .
4．（ 2010年高考全國(guó)Ⅰ卷文科11）已知圓 的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么 的最小值為( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D

【解析】如圖所示：設(shè)PA=PB= ,∠APO= ,則∠APB= ，PO= ， ，
= = = ，令 ，則 ，即 ，由 是實(shí)數(shù)，所以
， ，解得 或 .故 .此時(shí) .
5．（2010年高考全國(guó)卷Ⅱ文科10）△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分∠ACB，若 = a , = b , = 1 ， = 2, 則 =( )
（A） a + b （B） a + b （C） a + b （D） a + b
【答案】B
【解析】∵ CD為角平分線，∴ ，∵ ，∴ ，∴
6．（2010年高考四川卷文科6）設(shè)點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在直線 外， ， ，則 ( )
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
【答案】C
【解析】由 ＝16，得BC＝4, ＝4
而 ,故 2.
7．（2011年高考江西卷文科11)已知兩個(gè)單位向量 ， 的夾角為 ，若向量 ， ，則 =___.
【答案】-6
【解析】要求 * ，只需將題目已知條件帶入，得： * =（ -2 ）*（3 +4 ）= ,其中 =1， = =1*1* = ， ，帶入，原式=3*1—2* —8*1=—6.
8. （2011年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），則a?b等于_____________.
【答案】1
【解析】因?yàn)橄蛄縜=（1,1），b（-1,2），所以a?b等于1.
9．（2011年高考湖南卷文科13)設(shè)向量 滿足 且 的方向相反，則 的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【解析】由題 ，所以
10.（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 滿足 ，且以向量α、β為鄰邊的平行四邊形的面積為 ，則α和β的夾角θ取值范圍是 .
【答案】
0,解得 .
【高考沖策演練】
一、選擇題：
1.（2010年高考山東卷文科12）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“ ”如下：對(duì)任意的 ， ，令 ，下面說法錯(cuò)誤的是( )
(A)若a與b共線，則
(B)
(C)對(duì)任意的 ，有
(D)
【答案】B
【解析】若 與 共線，則有 ，故A正確；因?yàn)?，而
，所以有 ，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，故選B。
2．（2010年高考天津卷文科9）如圖，在ΔABC中， ， ， ，則 =( )


（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】 =
= ，故選D。
3．（2010年高考福建卷文科8）若向量 ，則“ ”是“ ”的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】由 得 ，所以 ；反之，由 可得 。
4．（2010年高考福建卷文科11）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓 的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則 的最大值為( )
A.2 B.3 C.6 D.8
【答案】C
【解析】由題意，F(xiàn)（-1，0），設(shè)點(diǎn)P ，則有 ,解得 ，
因?yàn)?， ，所以
= = ，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為 ，因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 ，選C。
5．（2010年高考北京卷理科6）a、b為非零向量。“ ”是“函數(shù) 為一次函數(shù)”的( )
（A）充分而不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若 ，則有 不一定是一次函數(shù)（當(dāng) 時(shí)不是一次函數(shù)）；反之，成立，故選B。
6．(2010年高考安徽卷文科3)設(shè)向量 , ,則下列結(jié)論中正確的是( )
(A) (B)
(C) (D) 與 垂直
【答案】D
【解析】 ， ，所以 與 垂直.
7．（2010年高考遼寧卷文科8）平面上 三點(diǎn)不共線，設(shè) ,則 的面積等于 ( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】
8.(2010年高考寧夏卷文科2)a，b為平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），則a，b夾角的余弦值等于( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
解析：由已知得 ，所以
．
9．（2010年高考廣東卷文科5）若向量 =（1,1）， =（2,5）， =(3,x)滿足條件 (8 － 【解析】 ，所以 =6.
11．（2010年高考湖北卷文科8）已知 和點(diǎn)M滿足 .若存在實(shí) 使得 成立，則 =( )

A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】由 知，點(diǎn)M為 的重心，設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，則
= ，所以有 ，故 =3，選B。
12．（2010年高考湖南卷文科6）若非零向量a，b滿足 ，則a與b的夾角為( )
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
【答案】C
二、填空題：
13．(2010年高考江西卷文科13)已知向量 ， 滿足 ， 與 的夾角為60°，則 在 上的投影是 ．
【答案】1
【解析】
14. (2010年高考浙江卷文科13)已知平面向量 則 的值是 。
【答案】
16．（2010年高考陜西卷理科11）已知向量 ，若 ∥ ，則 .
【答案】-1
【解析】∵ ，∴由 ∥ 得 .
三．解答題：
17．（2010年高考江蘇卷試題15）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；
(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足( )? =0，求t的值。
【解析】（1）（方法一）由題設(shè)知 ，則

所以 故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 、 .
（方法二）設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E，則:
E為B、C的中點(diǎn)，E（0，1）
又E（0，1）為A、D的中點(diǎn)，所以D（1，4）
故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為BC= 、AD= ；
（2）由題設(shè)知： =(－2,－1)， 。
由( )? =0，得： ，
從而 所以 。
或者： ，
18．（2010年高考福建卷文科18）設(shè)平頂向量 ＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}.
（I）請(qǐng)列出有序數(shù)組（ m，n ）的所有可能結(jié)果；
（II）記“使得 （ - ）成立的（ m，n ）”為事件A，求事件A發(fā)生的概率。

19．（2009年高考湖北卷理科第17題）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知向量
（Ⅰ）求向量 的長(zhǎng)度的最大值；
（Ⅱ）設(shè) ，且 ，求 的值。
【解析】（1）解法1： 則

，即
解法2：若 ，則 ，又由 ， 得

， ，即
，平方后化簡(jiǎn)得 w
解得 或 ，經(jīng)檢驗(yàn)， 即為所求
20. (山東省煙臺(tái)市2011年1月“十一五”課題調(diào)研卷理科)
如圖，平面上定點(diǎn)F到定直線l的距離FM=2，P為該平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為Q，且
（1）試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線 于點(diǎn)N，已知 為定值.
【解析】（1）方法一：如圖，以線段 的中點(diǎn)為原點(diǎn) ，以線段 所在的直線為 軸建立直角坐標(biāo)系 .則， .…………2分
設(shè)動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，則動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為
， ， ……………3分
由 ? ，得 . ………5分
方法二：由 . ………2分
所以，動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 是拋物線，以線段 的中點(diǎn)
為原點(diǎn) ，以線段 所在的直線為 軸建立直角坐標(biāo)系 ，可得軌跡 的方程為：
. ……………………………………………………………………5分
（2）方法一：如圖，設(shè)直線 的方程為 ， ，……6分
則 . ………………………………………………………………………………7分
聯(lián)立方程組 消去 得，
， ， …………………………………………………8分
故 …………………………………………………………………………9分
由 ， 得，
， ，………………………………………………………10分
整理得， ，
? . …………………12分
方法二：由已知 ， ，得 . …………………………7分
于是， ， ① ………………………………………………8分
如圖，過 、 兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線 的垂線，垂足分別為 、 ，
則有 = = ， ② ………………………………………………10分
由①、②得 . …………………………………………………………………12分


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