第五章　三角函數(shù)

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
　　1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.
2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 ，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y＝sin x， y＝cos x ， y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.
4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在(－ , )上的單調(diào)性.
5.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1 ， ＝tan x.
6.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.
7.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.
8.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).
9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題，能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.本章重點(diǎn)：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用；2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，y＝Asin(ωx＋)
(ω＞0)的性質(zhì)、圖象及變換；3.用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題；4.以和、差、倍角公式為依據(jù)，提高推理、運(yùn)算能力；5.正、余弦定理及應(yīng)用.
本章難點(diǎn)：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系；2.靈活運(yùn)用三角公式化簡、求值、證明； 3.三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，最值的求法；4.探索兩角差的余弦公式；5.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.　　三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)必考的基礎(chǔ)知識(shí)之一.在高考中主要考查對(duì)三角函數(shù)概念的理解；運(yùn)用函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形、化簡、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換、作圖、識(shí)圖等.解三角形的問題往往與其他知識(shí)(如立體幾何、解析幾何、向量等)相聯(lián)系，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體現(xiàn)以能力立意的高考命題原則.



知識(shí)網(wǎng)絡(luò)





5.1　任意角的三角函數(shù)的概念

典例精析
題型一　象限角與終邊相同的角
【例1】若α是第二象限角，試分別確定2α、 的終邊所在的象限.
【解析】因?yàn)棣潦堑诙�象限角�?br>所以k 360°＋90°＜α＜k 360°＋180°(k∈Z).
因?yàn)?k 360°＋180°＜2α＜2k 360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的終邊在y軸的負(fù)半軸上.
因?yàn)閗 180°＋45°＜α2＜k 180°＋90°(k∈Z)，
當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n 360°＋45°＜α2＜n 360°＋90°，
當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，n 360°＋225°＜α2＜n 360°＋270°.
所以α2是第一或第三象限角 .
【點(diǎn)撥】已知角α所在象限，應(yīng)熟練地確定α2所在象限.

如果用α1、α2、α3、α4分別表示第一、二、三、四象限角，則α12、α22、α32、α42分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三 象限角(其余略)，熟記右圖，解有關(guān)問題就方便多了.
【變式訓(xùn)練1】若角2α的終邊在x軸上方，那么角α是(　　)
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
【解析】由題意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＜α＜kπ＋π2，k∈Z.
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，α是第三象限角.
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，α是第一象限角.故選C.
題型二　弧長公式，面積公式的應(yīng)用
【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；
(2)若扇形的周長是一定值C(C＞0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值？并求出這個(gè)最大值.
【解析】(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，
因?yàn)棣粒?0°＝π3，R＝10 cm，所以l＝10π3 cm，
S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm2.
(2)因?yàn)镃＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝C2＋α，
S扇＝12αR2＝12α(C2＋α)2＝C22 αα2＋4α＋4＝C22 1α＋4α＋4≤C216，
當(dāng)且僅當(dāng)α＝4α?xí)r，即α＝2(α＝－2舍去)時(shí)，扇形的面積有最大值為C216.
【點(diǎn)撥】用弧長公式l＝ α R與扇形面積公式S＝12lR＝12R2α?xí)r，α的單位必須是弧度.
【變式訓(xùn)練2】已知一扇形的面積為定值S，當(dāng)圓心角α為多少弧度時(shí)，該扇形的周長C有最小值？并求出最小值.
【解析】因?yàn)镾＝12Rl，所以Rl＝2S，
所以周長C＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S，
當(dāng)且僅當(dāng)l＝2R時(shí)，C＝4S，
所以當(dāng)α＝lR＝2時(shí)，周長C有最小值4S.


題型三　三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應(yīng)用
【例3】(1)已知角α的終邊與函數(shù)y＝2x的圖象重合，求sin α；(2)求滿足sin x≤32的角x的集合.
【解析】(1)由 ?交點(diǎn)為(－55，－255)或(55，255 )，
所以sin α＝±255.
(2)①找終邊：在y軸正半軸上找出點(diǎn)(0，32)，過該點(diǎn)作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點(diǎn)，連接OP1、OP2，則為角x的終邊，并寫出對(duì)應(yīng)的角.
②畫區(qū)域：畫出角x的終邊所在位置的陰影部分.

③寫集合：所求角x的集合是{x2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
【點(diǎn)撥】三角函數(shù)是用角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來定義的，因此，用定義求值，轉(zhuǎn)化為求交點(diǎn)的問題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等式更簡潔、直觀.
【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y＝lg sin x＋cos x－12的定義域?yàn)椤　　　　　　　　　　　?
【解析】

?2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.
所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
總結(jié)提高
1.確定一個(gè)角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號(hào)，還要考慮它的函數(shù)值的大小.
2.在同一個(gè)式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如k?360°＋π3的錯(cuò)誤書寫.
3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙.

　




5.2　同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式

典例精析
題型一　三角函數(shù)式的化簡問題

【點(diǎn)撥】運(yùn)用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號(hào)，前提是將α視為銳角后，再判斷所求角的象限.
【變式訓(xùn)練1】已知f(x)＝1－x，θ∈(3π4，π)，則f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝　　　　.
【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ.
因?yàn)棣取?3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.
所以sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.
題型二　三角函數(shù)式的求值問題
【例2】已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2).
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若a＝b，0＜θ＜π，求 θ的值.
【解析】(1)因?yàn)閍∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.
(2)由a＝b知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
于是sin(2θ＋π4)＝－22.
又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，
所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.
因此θ＝π2或θ＝3π4.
【變式訓(xùn)練2】已知tan α＝12，則2sin αcos α＋cos2α等于(　　)
A.45 B.85 C.65 D.2
【解析】原式＝2sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan α＋11＋tan2α＝85.故選B.
題型三　三角函數(shù)式的簡單應(yīng)用問題
【例3】已知－π2＜x＜0且sin x＋cos x＝15，求：
(1)sin x－cos x的值；
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.
【解析】(1)由已知得2sin xcos x＝－2425，且sin x＜0＜cos x，
所以sin x－cos x＝－(sin x－cos x)2＝－1－2sin xcos x＝－1＋2425＝－75.
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x－sin3x＝(cos x－sin x)(cos2x＋cos xsin x＋sin2x)
＝75×(1－1225)＝91125.
【點(diǎn)撥】求形如sin x±cos x的值，一般先平方后利用基本關(guān)系式，再求sin x±cos x取值符號(hào).
【變式訓(xùn)練3】化簡1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.
【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]
＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.
總結(jié)提高
1.對(duì)于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中“同角”的含義，只要是“同一個(gè)角”，那么基本關(guān)系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.
2.誘導(dǎo)公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對(duì)稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負(fù)為正，化復(fù)雜為簡單.

5.3　兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)

典例精析
題型一　三角函數(shù)式的化簡
【例1】化簡 (0＜θ＜π).
【解析】因?yàn)?＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，
所以原式＝
＝ ＝－cos θ.
【點(diǎn)撥】先從角度統(tǒng)一入手，將θ化成θ2，然后再觀察結(jié)構(gòu)特征，如此題中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ.
【變式訓(xùn)練1】化簡2cos4x－2cos2x＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).
【解析】原式＝12(2cos2x－1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x2sin(π2－2x)＝12cos 2x.
題型二　三角函數(shù)式的求值
【例2】已知sin x2－2cos x2＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.
【解析】(1)由sin x2－2cos x2＝0?tan x2＝2，所以tan x＝ ＝2×21－22＝－43.
(2)原式＝cos2x－sin2x2(22cos x－22sin x)sin x
＝(cos x－sin x)(cos x＋sin x)(cos x－sin x)sin x＝cos x＋sin xsin x＝1tan x＋1＝(－34)＋1＝14.
【變式訓(xùn)練2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝　　　　　.
【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝3.
題型三　已知三角函數(shù)值求解
【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
【解析】因?yàn)閠an 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，
所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，
又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，
因?yàn)棣痢?0，π)，所以0＜α＜π4，
又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.
【點(diǎn)撥】由三角函數(shù)值求角時(shí)，要注意角度范圍，有時(shí)要根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)和大小將角的范圍適當(dāng)縮小.
【變式訓(xùn)練3】若α與β是兩銳角，且sin(α＋β)＝2sin α，則α與β的大小關(guān)系是(　　)
A.α＝βB.α＜β
C.α＞β D.以上都有可能
【解析】方法一：因?yàn)?sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是銳角，所以α≤30°.
又當(dāng)α＝30°，β＝60°時(shí)符合題意，故選B.
方法二：因?yàn)?sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，
所以sin α＜sin β.
又因?yàn)棣�、β是銳角，所以α＜β，故選B.
總結(jié)提高
1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.
(1)它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡題，證明題；
(2)對(duì)公式會(huì)“正用”、“逆用”、“變形使用”；
(3)掌握角的演變規(guī)律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.
2.通過運(yùn)用公式，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求解的目的，在運(yùn)用公式時(shí)，注意公式成立的條件.

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