高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第七章 立體幾何初步
【知識(shí)圖解】

【方法點(diǎn)撥】
立體幾何研究的是現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力�？臻g的元素是點(diǎn)、線、面、體，對(duì)于線線、線面、面面的位置關(guān)系著重研究它們之間的平行與垂直關(guān)系，幾何體著重研究棱柱、棱錐和球。在復(fù)習(xí)時(shí)我們要以下幾點(diǎn)：
1．注意提高空間想象能力。在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注意：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形，并明確已知元素之間的位置關(guān)系及度量關(guān)系；借助圖形來(lái)反映并思考未知的空間形狀與位置關(guān)系；能從復(fù)雜圖形中邏輯的分析出基本圖形和位置關(guān)系，并借助直觀感覺(jué)展開(kāi)聯(lián)想與猜想，進(jìn)行推理與計(jì)算。
2．歸納總結(jié)，分門(mén)別類(lèi)。從知識(shí)上可以分為：平面的基本性質(zhì)、線線、線面、面面的平行與垂直、空間中角與距離的計(jì)算。
3．抓主線，攻重點(diǎn)。針對(duì)一些重點(diǎn)內(nèi)容加以訓(xùn)練，平行和垂直是位置關(guān)系的核心，而線面垂直又是核心的核心，角與距離的計(jì)算已經(jīng)降低要求。
4．復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉。立體幾何中蘊(yùn)含著豐富的思想方法，如：將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面圖形來(lái)解決、線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化、空間位置關(guān)系的判斷及角與距離的求解轉(zhuǎn)化成空間向量的運(yùn)算。


第1課 空間幾何體
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．觀察認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)；
2．能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖；
3．通過(guò)觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫(huà)出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；
4.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．一個(gè)凸多面體有8個(gè)頂點(diǎn)，①如果它是棱錐，那么它有 14 條棱， 8 個(gè)面；②如果它是棱柱，那么它有 12 條棱 6 個(gè)面。
2.（1）如圖，在正四面體A－BCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則△EFG在該正四面體各個(gè)面上的射影所有可能的序號(hào)是 ③④ 。





（2）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖的 ②③ （要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）.


【范例導(dǎo)析】
例1．下列命題中，假命題是 （1）（3） 。（選出所有可能的答案）
（1）有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱
（2）四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形
（3）有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
（4）若一個(gè)幾何體的三視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方體
分析：準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解決概念題的關(guān)鍵。
（1）中將兩個(gè)斜棱柱對(duì)接在一起就是反例。（3）中是不是棱臺(tái)還要看側(cè)棱的延長(zhǎng)線是否交于一點(diǎn)。
例2． 是正△ABC的斜二測(cè)畫(huà)法的水平放置圖形的直觀圖，若 的面積為 ，那么△ABC的面積為_(kāi)______________。
解析： 。
點(diǎn)評(píng)：該題屬于斜二測(cè)畫(huà)法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實(shí)物圖元素與直觀圖元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
例3．（1）畫(huà)出下列幾何體的三視圖




（2）某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀










分析：三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一物體得到的三個(gè)視圖。
解析：（1）這兩個(gè)幾何體的三視圖分別如下：







（2）該幾何體為一個(gè)正四棱錐。
點(diǎn)評(píng)：畫(huà)三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個(gè)合適的主視方向。一般先畫(huà)主視圖，其次畫(huà)俯視圖，最后畫(huà)左視圖。畫(huà)的時(shí)候把輪廓線要畫(huà)出來(lái)，被遮住的輪廓線要畫(huà)成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長(zhǎng)和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長(zhǎng)要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。
【反饋演練】
1．一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是 。
2．如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則 = 。

解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2?r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有 πr3=πR2r。故 。答案為 。
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力。
3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是 。
4．空間四邊形 中， ， ， 分別是 邊上的點(diǎn)，且 為平行四邊形，則四邊形 的周長(zhǎng)的取值范圍是_ _。
5．三棱錐 中， ，其余棱長(zhǎng)均為1。
（1）求證： ；
（2）求三棱錐 的體積的最大值。
解：（1）取 中點(diǎn) ，∵ 與 均為正三角形，
∴ ，
∴ 平面 。
∴
(2)當(dāng) 平面 時(shí)，三棱錐的高為 ，
此時(shí)
6．已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，它被過(guò)底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）為p的拋物線.
（1）求圓錐的母線與底面所成的角；
（2）求圓錐的全面積．
解: （1）設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，
由題意得： ,
即 ,
所以母線和底面所成的角為

(2)設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON，
其中O為截面與AC的交點(diǎn)，則OO1//AB且
在截面MON內(nèi)，以O(shè)O1所在有向直線為y軸，O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，
則O為拋物線的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為x2=－2py，
點(diǎn)N的坐標(biāo)為（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R），
得：R=2p，l=2R=4p.
∴圓錐的全面積為 .
說(shuō)明：將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預(yù)示了高考命題的新動(dòng)向.



第2課 平面的性質(zhì)與直線的位置關(guān)系
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．掌握平面的基本性質(zhì)，能夠畫(huà)出空間兩條直線的各種位置關(guān)系，能夠根據(jù)圖形想象它們之間的位置關(guān)系。
2．掌握兩條直線之間的平行與垂直的有關(guān)問(wèn)題，并能進(jìn)行解決和證明相關(guān)問(wèn)題。
3．理解反證法證明的思路，會(huì)用反證法進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的證明。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1 下面是一些命題的敘述語(yǔ),其中命題和敘述方法都正確的是 （3） 。
（1）∵ ，∴ ． （2）∵ ，∴ ．
（3）∵ ，∴ ． （4）∵ ，∴ ．
2．下列推斷中，錯(cuò)誤的是 （4） 。
（1）
（2） ，A,B,C不共線 重合
（3）
（4）
3．判斷下列命題的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 （ ）
（2）兩個(gè)平面若有不同的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合（ ）
（3）兩條直線可以確定一個(gè)平面（ ）
（4）若四點(diǎn)不共面，那么每三個(gè)點(diǎn)一定不共線（ ）
（5）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面（ ）
（6）三條平行直線可以確定三個(gè)平面（ ）
（7）一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面（ ）
（8）兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面（ ）
⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
4．如右圖，點(diǎn)E是正方體 的棱 的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)E與直線 和 都相交的直線的條數(shù)是： 1 條
5．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點(diǎn)P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc
求證：BD和AE是異面直線
證明：假設(shè)__ 共面于g，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面_ _內(nèi)
QAÎa，DÎa，∴__Ìγ. QPÎa，∴PÎ__.
QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc ∴_ _Ìg， __Ìg，這與____矛盾
∴BD、AE__________
答案：假設(shè)BD、AE共面于g，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面 g 內(nèi)。
∵AÎa，DÎa，∴ a Ìg. ∵PÎa，PÎ g .
∵PÎb，BÎb，PÎc，EÎc. ∴ b Ìg，c Ìg，這與a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是異面直線

【范例導(dǎo)析】
例1．已知 ，從平面 外一點(diǎn) 引向量
，
（1）求證：四點(diǎn) 共面；（2）平面 平面 ．
分析 ：證明四點(diǎn)共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理證明，
也可以轉(zhuǎn)化為直線共面的條件即幾何證法。
解：法一：（1）∵四邊形 是平行四邊形，∴ ，
∵ ，

∴ 共面；
（2）∵ ，又∵ ，
∴
所以，平面 平面 ．
法二：（1）
∴
∴ 同理 又 ∴
∴ 共面；
（2）由（1）知： ，從而可證
同理可證 ，所以，平面 平面 ．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握定理是證明的關(guān)鍵，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。
例2．已知空間四邊形ABCD.
(1)求證：對(duì)角線AC與BD是異面直線;
(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;
(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.
分析：證明兩條直線異面通常采用反證法。
證明：(1)（反證法）假設(shè)AC與BD不是異面直線，則AC與BD共面，
所以A、B、C、D四點(diǎn)共面
這與空間四邊形ABCD的定義矛盾
所以對(duì)角線AC與BD是異面直線
(2)解：∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF//AC,且EF= AC.
同理HG//AC,且HG= AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.
又∵F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.
點(diǎn)評(píng)：在空間四邊形中我們通常會(huì)遇到上述類(lèi)似的問(wèn)題，取中點(diǎn)往往是很有效的方法，特別是遇到等腰三角形的時(shí)候。
例3．如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體 的棱 和棱 上的點(diǎn)，且 ，求證：四邊形 是平行四邊形
簡(jiǎn)證：由 可以證得 ≌
所以 又可以由正方體的性質(zhì)證明
所以四邊形 是平行四邊形
例4：如圖，已知平面 ，且 是垂足．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，試判斷平面 與平面 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以 ．
同理 ．
又 ，故 平面 ．
（Ⅱ）平面 平面 。證明如下：設(shè) 與平面 的交點(diǎn)為 ，
連結(jié) 、 ．因?yàn)?平面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角．
又 ，所以 ，即 ．
在平面四邊形 中， ，
所以 ．故平面 平面 ．
【反饋演練】
1．判斷題（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）
（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（ ）
（2）兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（ ）
（3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對(duì)異面的對(duì)角線所成的角為60（ ）
（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對(duì)邊垂直（ ）
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
2．定點(diǎn)P不在△ABC所在平面內(nèi)，過(guò)P作平面α，使△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到α的距離相等，這樣的平面共有 4 個(gè)。
3．給出以下四個(gè)命題：（1）若空間四點(diǎn)不共面，則其中無(wú)三點(diǎn)共線；（2）若直線上有一點(diǎn)在平面外，則該直線在平面外；（3）若直線a,b,c中，a與b共面且b與c共面，則a與c共面；（4）兩兩相交的三條直線共面。其中所有正確命題的序號(hào)是 (1)(2) 。


4．如圖，已知 （A,B不重合）
過(guò)A在平面α內(nèi)作直線AC，過(guò)B在平面β內(nèi)作直線BD。
求證：AC和BD是異面直線。
證明：（反證法）若AC和BD不是異面直線，
設(shè)確定平面γ，則由題意可知：平面α和γ都過(guò)AC和AC外一點(diǎn)B，所以?xún)善矫嬷睾稀?br>同理可證平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。
這與已知條件平面α和β相交矛盾。
所以AC和BD是異面直線。


第3課 空間中的平行關(guān)系
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．掌握直線和平面平行、兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理。
2．明確定義與定理的不同，定義是可逆的，既是判定也是性質(zhì)，而判定定理與性質(zhì)定理多是不可逆的。
3．要能靈活的對(duì)“線線平行”、“線面平行”和“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．若 為異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是 異面或相交。
2．給出下列四個(gè)命題:
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行. ②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.
③若直線 與同一平面所成的角相等,則 互相平行.
④若直線 是異面直線,則與 都相交的兩條直線是異面直線.
其中假命題的個(gè)數(shù)是 4 個(gè)。
3．對(duì)于任意的直線l與平面a,在平面a內(nèi)必有直線m,使m與l 垂直 。
4. 已知a、b、c是三條不重合的直線，α、β、r是三個(gè)不重合的平面，下面六個(gè)命題：
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥r，b∥r a∥b；③α∥c，β∥c α∥β；
④α∥r，β∥r α∥β；⑤a∥c，α∥c a∥α；⑥a∥r，α∥r a∥α．
其中正確的命題是 ①④ 。
【范例導(dǎo)析】
例1．如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是平行四邊形．
求證：AB∥平面EFG．
證明 ：∵面EFGH是截面．
∴點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在BC，BD，DA，AC上．
∴EH 面ABC，GF 面ABD，
由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．
又 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB
∴EH∥AB．
∴AB∥面EFG．
例2． 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，并且CM=DN.
求證:MN∥平面AA1B1B.
分析：“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”是可以互相轉(zhuǎn)化的。本題可以采用任何一種轉(zhuǎn)化方式。
簡(jiǎn)證：法1：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”。
即在平面ABB1A1內(nèi)找一條直線與MN平行，如圖所示作平行線即可。
法2：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”。連CN并延長(zhǎng)交直線BA于點(diǎn)P，
連B1P，就是所找直線，然后再設(shè)法證明MN∥B1P.
法3：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“面面平行”。
過(guò)M作MQ//BB1交BC于B1，連NQ,則平面MNQ與平面ABB1A1平行，
從而證得MN∥平面ABB1A1.
點(diǎn)評(píng)：證明線面或面面平行的時(shí)候一定要注意相互的轉(zhuǎn)化，非常靈活。
【反饋演練】
1．對(duì)于平面 和共面的直線 、 下列命題中真命題是（3）。
（1）若 則 　　　 �。�2）若 則
（3）若 則 　　 　　 （4）若 、 與 所成的角相等，則
2. 設(shè)a、b是兩條異面直線，那么下列四個(gè)命題中的假命題是 （2） 。
（1）經(jīng)過(guò)直線a有且只有一個(gè)平面平行于直線b
（2）經(jīng)過(guò)直線a有且只有一個(gè)平面垂直于直線b
（3）存在分別經(jīng)過(guò)直線a和b的兩個(gè)互相平行的平面
（4）存在分別經(jīng)過(guò)直線a和b的兩個(gè)互相垂直的平面
3．關(guān)于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（4） 。
（1）若a∥M，b∥M，則a∥b （2）若a∥M，b⊥a，則b⊥M
（3）若a M，b M，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，則M⊥N
4．“任意的 ，均有 ”是“任意 ，均有 ”的 充要條件 。
5.在正方體AC1中，過(guò)A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .
6．在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，經(jīng)過(guò)其對(duì)角線BD1的平面分別與棱AA1,CC1相交于E,F兩點(diǎn)，則四邊形EBFD!的形狀為 平行四邊形 。
7. 已知Ｐ為平行四邊形ＡＢＣＤ所在平面外一點(diǎn)，Ｍ為ＰＢ的中點(diǎn)，
求證：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
證明 連ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，連ＭＯ，
則ＭＯ為△ＰＢＤ的中位線，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ 平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
8．如圖，已知 是平行四邊形 所在平面外一點(diǎn)， 、 分別是 、 的中點(diǎn) （1）求證： 平面 ；（2）若 ， ， 求異面直線 與 所成的角的大小
略證：（1）取PD的中點(diǎn)H，連接AH，

為平行四邊形

(2): 連接AC并取其中點(diǎn)為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以 就是異面直線 與 所成的角，由 ， 得，OM=2，ON=
所以 ，即異面直線 與 成 的角
9．兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE。
證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，
則MP∥AB，NQ∥AB。
∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，
∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形
∴MN∥PQ
∵PQ 平面BCE，MN在平面BCE外，
∴MN∥平面BCE。
證法二：如圖過(guò)M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，
∴
連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得
∴ NH//AF//BE
由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE
∴MN∥平面BCE 。

第4課 空間中的垂直關(guān)系
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明和解決有關(guān)問(wèn)題。
2．線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)互相轉(zhuǎn)化，善于利用轉(zhuǎn)化思想。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．“直線 垂直于平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“ ”的 必要 條件。
2．如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是 平行或相交 。
3．在正方體中，與正方體的一條對(duì)角線垂直的面對(duì)角線的條數(shù)是 6 。
4．兩個(gè)平面互相垂直，一條直線和其中一個(gè)平面平行，則這條直線和另一個(gè)平面的位置關(guān)系是平行、相交或在另一個(gè)平面內(nèi) 。
5．在正方體 中，寫(xiě)出過(guò)頂點(diǎn)A的一個(gè)平面__AB1D1_____，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所有可能的情況)。
【范例導(dǎo)析】
例1．如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.
（1）證明PA//平面EDB； （2）證明PB⊥平面EFD.
解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力.
證明：（1）連結(jié)AC,AC交BD于O,連結(jié)EO.
∵底面ABCD是正方形,∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
在 中,EO是中位線,∴PA // EO
而 平面EDB且 平面EDB,
所以,PA // 平面EDB
（2）∵PD⊥底面ABCD且 底面ABCD,∴
∵PD=DC,可知 是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,
∴ . ①
同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.
而 平面PDC,∴ . ②
由①和②推得 平面PBC. 而 平面PBC,∴
又 且 ,所以PB⊥平面EFD.
例2．如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中點(diǎn)，
求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；
（3）平面DEA ⊥平面ECA。
分析：（1）證明DE ＝DA ，可以通過(guò)圖形分割，證明△DEF ≌△DBA。（2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM ⊥平面ECA。

證明：（1）如圖，取EC 中點(diǎn)F ，連結(jié)DF。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。
∵ BD ∥CE ，BD ＝ CE ＝FC ，
則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。
（2）取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ，
∵ M 是EA 的中點(diǎn)，∴ MN EC。
由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。
∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點(diǎn)，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。
（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，
∴ 平面DEA ⊥平面ECA。
點(diǎn)評(píng)：面面垂直的問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問(wèn)題解決。
例3．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，
∠ACB ＝90°，AA1 ＝ ，D 是A1B1 中點(diǎn)．
（1）求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)，
會(huì)使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。
分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要過(guò)D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點(diǎn)即為所求的F 點(diǎn)位置。
證明：（1）如圖，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。又 D 是A1B1 的中點(diǎn)，
∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延長(zhǎng)DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 ⊥平面C1DF ，點(diǎn)F 即為所求。
∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。
點(diǎn)評(píng)：本題（1）的證明中，證得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是開(kāi)放性探索問(wèn)題，注意采用逆向思維的方法分析問(wèn)題。
【反饋演練】
1．下列命題中錯(cuò)誤的是（3） 。
（1）若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內(nèi)所有直線
（2）若一平面經(jīng)過(guò)另一平面的垂線，則兩個(gè)平面互相垂直
（3）若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則此直線垂直于這一平面
（4）若平面內(nèi)的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直
2．設(shè) 是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若
，且 ”為真命題的是 ①③④ （填所有正確條件的代號(hào)）
①x為直線，y，z為平面②x，y，z為平面
③x，y為直線，z為平面④x，y為平面，z為直線
⑤x，y，z為直線
3．在三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形最多可以有___4__個(gè)。
4．若 的中點(diǎn) 到平面 的距離為 ，點(diǎn) 到平面 的距離為 ，則點(diǎn) 到平面 的距離為_(kāi)2或14________ 。
5．命題A：底面為正三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。
命題A的等價(jià)命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。
答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等……）
6．α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： 。
答案：m⊥α，n⊥β，α⊥β m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β α⊥β
7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D= ，在線段SA上取一點(diǎn)E（不含端點(diǎn)）使EC=AC，截面CDE與SB交于點(diǎn)F。
（1）求證：四邊形EFCD為直角梯形；
（2）設(shè)SB的中點(diǎn)為M，當(dāng) 的值是多少時(shí)，能使△DMC為直角三角形？請(qǐng)給出證明.
解：（1）∵　CD∥AB，AB 平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又 面
∴ 平面SAD，∴ 又
為直角梯形
(2)當(dāng) 時(shí)， 為直角三角形 .
,
平面 平面 .
在 中， 為SB中點(diǎn)， .

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