專題二：三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量

【備考策略】
根據(jù)近幾年高考命題特點和規(guī)律，復(fù)習(xí)本專題時要注意以下幾方面：
1．掌握三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)；熟練掌握同角公式、誘導(dǎo)公式、和角與差角、二倍角公式，且會推導(dǎo)掌握它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。掌握正弦、余弦定理，平面向量及有關(guān)的概念，向量的數(shù)量積以及坐標(biāo)形式的運算。
2．熟練掌握解決以下問題的思想方法
本專題試題以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)，因此復(fù)習(xí)中要重視選擇、填空題的一些特殊方法，如數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)法、代入檢驗法、特殊值法、待定系數(shù)法、排除法等。另外對有些具體問題還要掌握和運用一些基本結(jié)論（如對正弦、余弦函數(shù)的圖象的對稱軸經(jīng)過最高點或最低點，對稱中心為三角函數(shù)值為零的點，應(yīng)熟練的寫出對稱軸的方程及對稱中心的坐標(biāo)；應(yīng)用三角函數(shù)線解三角方程、比較三角函數(shù)值的大小；對三角函數(shù)的角的限制及討論；常數(shù)1的代換等）。
3．特別關(guān)注
（1）與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)有關(guān)的選擇、填空題；
（2）向量、解三角形以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識交匯點命題；
（3）與測量 、距離、角度有關(guān)的解三角形問題。

第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【最新考綱透析】
1．了解任意角、弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化。
2．理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。
3．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。
4．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0， ]的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值以及圖象與x軸的交點等），理解正切函數(shù)在區(qū)間 的單調(diào)性。
5．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：
sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.
6．了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響。
7．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題。
【核心要點突破】
要點考向1：三角函數(shù)的概念、同角誘導(dǎo)公式的簡單應(yīng)用
考情聚焦：1．三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式的簡單應(yīng)用，在近幾年高考中時常出現(xiàn)。
2．該類問題出題背景選擇面廣，易形成知識交匯題。
3．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中、低檔題。
考向鏈接：1．三角函數(shù)的定義是求三角函數(shù)值的基本依據(jù)，如果已知角終邊上的點，則利用三角函數(shù)的定義，可求該角的正弦、余弦、正切值。
2．同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化簡中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式應(yīng)用的條件。
例1：（2010屆?日照五蓮一中高三段檢）如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β（ ） ，它們終邊分別與單位圓相交于點P、Q，已知點P的坐標(biāo)為（ ， ）

（1）求 的值；
（2）若 ? ，求 。
解：（1）由三角函數(shù)定義得 ，
∴原式
?（ ） =
（2） ? ，∴
∴ ，∴

要點考向2：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式、圖象問題
考情聚焦：1．三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與解析式的問題，年看都會在高考中出現(xiàn)。
2．試題背景大多是給出圖象或解析式中某些量滿足的一些條件下，求解析式或另處一些量。多數(shù)考 查周期、頻率、振幅、最值、對稱中心、對稱軸等概念以及圖象的變換。
3．三種題型都有可能出現(xiàn)，屬于中、低檔題。
考向鏈接：1． 已知圖象求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0）的解析式時，常用的方法是待定系數(shù)法。 由圖中的最大、最小值求出A，由周期確定ω，由適合解析式的點的坐標(biāo)來確定φ的值。
2． 將點的坐標(biāo)代入解析式時，要注意選擇的點屬于“五點法”中的哪一個點�！暗谝稽c”（即圖象上升時與x軸的交點）為 ，其他依次類推即可。
例2：已知 是實數(shù)，則函數(shù) 的圖象不可能是 ( )

【解析】選D.對于振幅大于1時，三角函數(shù)的周期為 ，而D不符合要求，
它的振幅大于1，但周期反而大于了 ．
要點考向3：與三角函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的問題
考情聚焦：1．有關(guān)三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及最值問題在歷年高考中都會考查，是高考考查的重點內(nèi)容。
2．試題背景呈現(xiàn)多樣性、選擇面廣，往往與三角恒等變換、圖象性質(zhì)、平面向量等交匯命題。
3．三種題型都有可能出現(xiàn)，屬中、低檔題。
例3：已知函數(shù)
⑴求 的最小正周期及對稱中心；
⑵若 ，求 的最大值和最小值.
【解析】⑴
∴ 的最小正周期為 ，
令 ，則 ，
∴ 的對稱中心為 ；
⑵∵ ∴ ∴ ∴
∴當(dāng) 時， 的最小值為 ；當(dāng) 時， 的最大值為

【高考真題探究】
1．（2010?陜西高考理科?Ｔ3）對于函數(shù) ，下列選項中正確的是（ ）
（A） 在（ ， ）上是遞增的 （B） 的圖像關(guān)于原點對稱
（C） 的最小正周期為2 （D） 的最大值 為2
【命題立意】本題考查倍角公式、三角函數(shù)的基本 性質(zhì)，屬保分題。
【思路點撥】 是奇函數(shù) B
【規(guī)范解答】選B 因為 ，所以 是奇函數(shù)，因而 的圖像關(guān)于原點對稱，故選B
2．（2010?全國卷Ⅰ理科?Ｔ2）記 ,那么
A. B. - C. D. -
【命題立意】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等三角函數(shù)知識，著重考查了三角變換中的弦切互化.
【思路點撥】由 及 求出 ，再利用公式
求出 的值.
【規(guī)范解答】選B.【解析1】 ,
所以
【解析2】 ，
.
3．（2010?重慶高考文科?Ｔ１5）如題（15）圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點P（點P不在C上）且半徑相等。設(shè) 第i段弧所對的圓心角為 （i=1,2,3），則

【命題立意】本小題考查圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
【思路點撥】第i段弧所對的圓心角轉(zhuǎn)化為與它同圓的劣弧所對的圓心角，再根據(jù)三個圓心確定的正三角形求解.
【規(guī)范解答】 作三段圓弧的連心線，連結(jié)一段弧的兩個端點，如圖 所示,△ 是正三角形，點P是其中心，根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)可知 ，第i段弧所對的圓心角為 都是 ，
所以

【方法技巧】利用圓的對稱性等有關(guān)性質(zhì)可以快捷解答.
4．（2010?福建高考文科?Ｔ１0）將函數(shù) 的圖像向左平移 個單位。若所得圖象與原圖象重合，則 的值不可能等于（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
【命題立意】本題考查三角函數(shù)的圖像平移，解三角方程。
【思路點撥】先進行平移后，再比較與原函數(shù)的差異，解三角方程，或采用代入法求解。
【規(guī)范解答】選B，把向左平移 個單位得 ，
又該函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像重合，所以 恒成立， ， ，所以k不可能為6。
【方法技巧】注意應(yīng)把 變?yōu)?而非 。圖像的變換問題，依據(jù)三角函數(shù)的圖像的變換口訣“左加右減，上加下減”即可解決。 一般地，函數(shù) 的圖象，可以看作把曲線 上所有點向左(當(dāng) ＞0時)或向右(當(dāng) ＜0時)平行移動 個單位長度而得到。
5．（2010?廣東高考文科?Ｔ16）設(shè)函數(shù) ， ， ，
且以 為最小正周期．
（1）求 ；
（2）求 的解析式；
（3）已知 ，求 的值．
【命題立意】本題考察三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角變換.
【思路點撥】（2）由已知條件求出 ，從而求出 的解析式；
（3）由
【規(guī)范解答】（1）
（2） ， ，所以 的解析式為：
（3）由 得 ，即
，
【方法技巧】三角函數(shù)的性質(zhì)問題，往往都要先化成 的形式再求解.
6．（2010?湖北高考文科?Ｔ16）已經(jīng)函數(shù)

(Ⅰ)函數(shù) 的圖象可由函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎樣的變化得出？
（Ⅱ）求函數(shù) 的最小值，并求使 取得最小值的 的集合。
【命題立意】本題主要考查三角函數(shù)式的恒等變換、圖象變換以及求三角函數(shù)的最值，同時考查考生的運算求解能力．
【思路點撥】(Ⅰ) 先將函數(shù)解析式等價變形為 的形式，再與 的表達式對照，比較它們的振幅、周期、相位等寫出變化過程。
（Ⅱ）將函數(shù) 變形為 或 的形式再利用正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出最值。
【規(guī)范解答】(Ⅰ) ，所以要得到 的圖象只需把 的圖象向左平移 個單位長度，再將所得的圖象向上平移 個單位長度即可。
（Ⅱ） ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時 取得最小值 ，此時對應(yīng)的 的集合為 。
【方法技巧】1、三角函數(shù)中的圖象變換問題一般要先將表達式化簡到 或 的形式（兩函數(shù)所用三角函數(shù)要同名），然后再通過比較兩函數(shù)的振幅、周期、相位等寫出變化過程。
2、三角函數(shù)中的最值問題一般要先借用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式等化到 或 的形式，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解。

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（本大題共6個小題，每小題6分，總分 36分）
1.已知△ABC中， ，則 （ ）
(A) (B) (C) (D)
2.下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3.已知 ，那么角 是（　�。�
Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角
4．已知函數(shù) ，則要得到其導(dǎo)函數(shù) 的圖象，只需將函數(shù) 的圖象（ ）
（A）向左平移 個單位 （B）向右平移 個單位
（C）向左平移 個單位 （D）向右平移 個單位
5．若將函數(shù) 的圖象向右平移 個單位后得到的圖象關(guān)于點（ ，0）對稱，則 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數(shù) ， 的圖像與直線 的兩個相鄰交點的距離等于 ，則 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( )
（A） （B）
（C） （D）

二、填空題（本大題共3個小題，每小題6分，總分18分）
7．若 ，則 .
8．（2010?蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三調(diào)研）函數(shù) 的最小正周期為 ．
9．函數(shù) （ 為常數(shù)， ）在閉區(qū)間 上的圖象如圖所示，則 = .
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分 ，總分46分）
10． (本小題滿分12分）
已知向量 與 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值.
11．（2010?廣州高三六校聯(lián)考）
已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示.

（1）求函數(shù) 的解析式；
（2）令 ，判斷函數(shù) 的奇偶性，并說明理由.
12．已知向量
（1）若 求x的值；
（2）函數(shù) ，若 恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

參考答案
一、選擇題
1．【解析】選D.由 知A為鈍角，cosA<0排除A和B，再由 選D.

2．【解析】選C.因為 ，由于正弦函數(shù) 在區(qū)間 上為遞增函 數(shù)，因此 ，即 .

3．【解析】選C.

4．【解析】選C .方法1：

方法2 ：

故選C。

5．【解析】選A.將函數(shù) 的圖象向右平移 個單位后得到的函數(shù)為
，
由
令

6．【解析】選C. ，由題設(shè) 的周期為 ，∴ ，
由 得， ，故選C
二、填空題
7．【解析】由題意可知 在第三象限，∴ ，
答案：

8．答案：

9．【解析】因為 ， ，所以 .
答案：3

三、解答題
10．【解析】（1）∵ 與 互相垂直，則 ，即 ，代入 得 ，又 ，∴ .
（2）∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ .

11．【解析】（1）由圖象知
的最小正周期 ,故
將點 代入 的解析式得 ,又 , ∴
故函數(shù) 的解析式為
(2)
，
故 為偶函數(shù).

12．解析：（1）

由

因此
（2）

則 恒成立，得


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