教案18 函數(shù)的單調(diào)性
一、前檢測
1. 下列函數(shù) 中，滿足 “對 ,當(dāng) 時(shí)，都有 ”的是（ B ）
A． B． C． D．

2. 函數(shù) 和 的遞增區(qū)間依次是（ C ）
A． B． C． D．

3. 已知函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)遞減，則 的取值范圍是（ C ）
A． B． C． D．

二、知識梳理
1.函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?，區(qū)間 ，如果對于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ，當(dāng) 時(shí)都有 ，那么就稱函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào) ( )函數(shù)，區(qū)間 稱為 的 ( )區(qū)間.
解讀：

2.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：
（1）定義法： （2）圖象法： （3）導(dǎo)數(shù)法： （4）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：
解讀：

3.關(guān)于函數(shù)單調(diào)性還有以下一些常見結(jié)論：
①兩個(gè)增（減）函數(shù)的和為_____；一個(gè)增（減）函數(shù)與一個(gè)減（增）函數(shù)的差是______；
②奇函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上有_____的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上有_____的單調(diào)性；
③互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義域上有______的單調(diào)性；
解讀：

4.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等
解讀：

三、典型例題分析
例1 求證： 在 上是增函數(shù).
答案：略

變式訓(xùn)練：對于給定的函數(shù) ，有以下四個(gè)結(jié)論：
① 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；② 在定義域上是增函數(shù)；③ 在區(qū)間 上為減函數(shù)，且在 上為增函數(shù)；④ 有最小值2。
其中結(jié)論正確的是 . 答案：①③④

小結(jié)與拓展：對 “對勾函數(shù)”的認(rèn)識。

例2 已知函數(shù) ．滿足對任意的 都有 成立，則 的取值范圍是（ A ）
A． B． C． D．

變式訓(xùn)練：已知函數(shù) ,若 則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
解析： 在 上是增函數(shù)，由題得 ，解得

小結(jié)與拓展：判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法。

例3 （1）函數(shù) 的遞增區(qū)間為___________； 答案：
（2）函數(shù) 的遞減區(qū)間為_________。 答案：

變式訓(xùn)練1：求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
答案：遞增區(qū)間為 ；遞減區(qū)間為
變式訓(xùn)練2：已知 在[0, 1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是＿＿＿＿。
解：題中隱含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是減函數(shù).∴y=logau應(yīng)為增函數(shù)，且u=2－ax在［0，1］上應(yīng)恒大于零.∴
∴1＜a＜2.

小結(jié)與拓展：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性按照“同增異減”的法則判定

例4 函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1.?
（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；?
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.?
解：（1）設(shè)x1,x2∈R，且x1＜x2,?
則x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.
∴f（x2）＞f(x1).?
即f(x)是R上的增函數(shù).
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，?
∴f（2）=3，
∴原不等式可化為f(3m2-m-2)＜f(2),?
∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2-m-2＜2,
解得-1＜m＜ ,故解集為（-1, ）.
小結(jié)與拓展：判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法，關(guān)鍵是根據(jù)條判斷 的符號，需要設(shè)法構(gòu)造出 的因式。

變式訓(xùn)練：已知定義在區(qū)間 上的函數(shù) 滿足 ，且當(dāng) 時(shí)， ，
（1）求 的值；（2）判斷 的單調(diào)性；（3）若 ，解不等式 。
答案：（1）令 可得 ；
（2）任取 且 則 ，
所以， 在區(qū)間 上單調(diào)遞減；
（3）由 ，由 單調(diào)遞減 ，解的： 或

四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）
1.知識：
2.思想與方法：
3.易錯(cuò)點(diǎn)：
4.反思（不足并查漏）：

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