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2012屆高考數(shù)學(xué)第一輪立體幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí) 空間兩條直線的位置關(guān)系
編輯:
逍遙路
關(guān)鍵詞:
高三
來源:
高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
1.2.2 空間兩條直線的位置關(guān)系
【課時(shí)目標(biāo)】 1.會(huì)判斷空間兩直線的位置關(guān)系.2.理解兩異面直線的定義及判定定理,會(huì)求兩異面直線所成的角.3.能用公理4及等角定理解決一些簡單的相關(guān)證明.
1.空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種:________、____________、____________.
2.公理4:平行于同一條直線的兩條直線____________.
3.等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個(gè)角________.
4.異面直線
(1)定義:________________________的兩條直線叫做異面直線.
(2)判定定理:過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是______________.
5.異面直線所成的角:直線a,b是異面直線,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O,作直線a′,b′,使__________,__________,我們把a(bǔ)′與b′所成的________________叫做異面直線a與b所成的角.
如果兩條直線所成的角是________,那么我們就說這兩條異面直線互相垂直,兩條異面直線所成的角α的取值范圍是____________.
一、填空題
1.若空間兩條直線a,b沒有公共點(diǎn),則其位置關(guān)系是____________.
2.若a和b是異面直線,b和c是異面直線,則a和c的位置關(guān)系是______________.
3.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,與對(duì)角線AC1異面的棱共有________條.
4.空間四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直,順次連結(jié)四邊中點(diǎn)的四邊形的形狀是________.
5.給出下列四個(gè)命題:
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行;
②平行于同一直線的兩直線平行;
③若直線a,b,c滿足a∥b,b⊥c,則a⊥c;
④若直線l1,l2是異面直線,則與l1,l2都相交的兩條直線是異面直線.
其中假命題的個(gè)數(shù)是________.
6.有下列命題:
①兩條直線和第三條直線成等角,則這兩條直線平行;
②四條邊相等且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形;
③經(jīng)過直線外一點(diǎn)有無數(shù)條直線和已知直線垂直;
④若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,則OB∥O1B1.
其中正確命題的序號(hào)為________.
7.空間兩個(gè)角α、β,且α與β的兩邊對(duì)應(yīng)平行且α=60°,則β為________.
8.已知正方體ABCD—A′B′C′D′中:
(1)BC′與CD′所成的角為________;
(2)AD與BC′所成的角為________.
9.一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:
①AB⊥EF;
②AB與CM所成的角為60°;
③EF與MN是異面直線;
④MN∥CD.
以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)為________.
二、解答題
10.已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD、AD的中點(diǎn).
求證:(1)四邊形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
11.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AB=CD且AB與CD所成的角為30°,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),求EF與AB所成角的大小.
能力提升
12.如圖所示,G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有________(填序號(hào)).
13.如圖所示,在正方體AC1中,E、F分別是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,則EF和CD所成的角是______.
1.判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義.很多情況下,定義就是一種常用的判定方法.另外,我們解決空間有關(guān)線線問題時(shí),不要忘了我們生活中的模型,比如說教室就是一個(gè)長方體模型,里面的線線關(guān)系非常豐富,我們要好好地利用它,它是我們培養(yǎng)空間想象能力的好工具.
2.在研究異面直線所成角的大小時(shí),通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角.將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化,這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑.需要強(qiáng)調(diào)的是,兩條異面直線所成角α的范圍為0°<α≤90°,解題時(shí)經(jīng)常結(jié)合這一點(diǎn)去求異面直線所成的角的大。
作異面直線所成的角,可通過多種方法平移產(chǎn)生,主要有三種方法:①直接平移法(可利用圖中已有的平行線);②中位線平移法;③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中,補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體,以便找到平行線).
1.2.2 空間兩條直線的位置關(guān)系 答案
知識(shí)梳理
1.相交直線 平行直線 異面直線
2.互相平行 3.相等
4.(1)不同在任何一個(gè)平面內(nèi) (2)異面直線
5.a(chǎn)′∥a b′∥b 銳角(或直角) 直角 0°<α≤90°
作業(yè)設(shè)計(jì)
1.平行或異面
2.相交、平行或異面
解析 異面直線不具有傳遞性,可以以長方體為載體加以說明a、b異面,直線c的位置可如圖所示.
3.6
4.矩形
解析
易證四邊形EFGH為平行四邊形.
又∵E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC,
又FG∥BD,
∴∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角.
而AC與BD所成的角為90°,
∴∠EFG=90°,故四邊形EFGH為矩形.
5.2
解析、佗芫鶠榧倜}.①可舉反例,如a、b、c三線兩兩垂直.
④如圖甲時(shí),c、d與異面直線l1、l2交于四個(gè)點(diǎn),此時(shí)c、d異面,一定不會(huì)平行;
當(dāng)點(diǎn)A在直線a上運(yùn)動(dòng)(其余三點(diǎn)不動(dòng)),會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)A與B重合的情形,如圖乙所示,此時(shí)c、d共面相交.
6.③
7.60°或120°
8.(1)60° (2)45°
解析
連結(jié)BA′,則BA′∥CD′,連結(jié)A′C′,則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角.
由△A′BC′為正三角形,
知∠A′BC′=60°,
由AD∥BC,知AD與BC′所成的角就是∠C′BC.
易知∠C′BC=45°.
9.①③
解析
把正方體平面展開圖還原到原來的正方體,如圖所示,AB⊥EF,EF與MN是異面直線,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正確.
10.
證明 (1)如圖,連結(jié)AC,
在△ACD中,
∵M(jìn)、N分別是CD、AD的中點(diǎn),
∴MN是三角形的中位線,
∴MN∥AC,MN=12AC.
由正方體的性質(zhì)得:AC∥A1C1,AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN=12A1C1,即MN≠A1C1,
∴四邊形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又因?yàn)镹D∥A1D1,
∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ).
而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
11.解 取AC的中點(diǎn)G,
連結(jié)EG、FG,
則EG∥AB,GF∥CD,
且由AB=CD知EG=FG,
∴∠GEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角,∠EGF(或它的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角.
∵AB與CD所成的角為30°,
∴∠EGF=30°或150°.
由EG=FG知△EFG為等腰三角形,當(dāng)∠EGF=30°時(shí),∠GEF=75°;
當(dāng)∠EGF=150°時(shí),
∠GEF=15°.
故EF與AB所成的角為15°或75°.
12.②④
解析、僦蠬G∥MN.
③中GM∥HN且GM≠HN,
∴HG、MN必相交.
13.45°
解析 連結(jié)B1D1,則E為B1D1中點(diǎn),
連結(jié)AB1,EF∥AB1,
又CD∥AB,∴∠B1AB為異面直線EF與CD所成的角,
即∠B1AB=45°.
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