3.三角函數(shù)的圖象
目標(biāo)：了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù) 的簡(jiǎn)圖，理解 的物理意義，掌握由函數(shù) 的圖象到函數(shù) 的圖象的變換原理．
重點(diǎn)：函數(shù) 的圖象到函數(shù) 的圖象的變換方法．
教學(xué)過程：
一、主要知識(shí)：
1．三角函數(shù)線；注：
2．
3．
①用五點(diǎn)法作圖
0
0A0-A0

②圖象變換：平移、伸縮兩個(gè)程序

③A---振幅 ----周期 ----頻率
4．圖象的對(duì)稱性
① 的圖象既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。
② 的圖象是中心對(duì)稱圖形，有無窮多條垂直于x軸的漸近線。
二、主要方法：
1．“五點(diǎn)法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù) 的簡(jiǎn)圖，五個(gè)特殊點(diǎn)通常都是取三個(gè)平衡點(diǎn)，一個(gè)最高、一個(gè)最低點(diǎn)；
2．給出圖象求 的解析式的難點(diǎn)在于 的確定，本質(zhì)為待定系數(shù)法，基本方法是：①尋找特殊點(diǎn)（平衡點(diǎn)、最值點(diǎn)）代入解析式；②圖象變換法，即考察已知圖象可由哪個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過變換得到的，通�？捎善胶恻c(diǎn)或最值點(diǎn)確定周期 ，進(jìn)而確定 ．
三、例題分析：
1．三角函數(shù)線的應(yīng)用
例1：解三角不等式組
思路分析：利用三角函數(shù)線和單調(diào)性求解。
解：如圖：

2．三角函數(shù)圖象的變換
例2．已知函數(shù)
（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合
（2）該函數(shù)的圖象可由 的圖象經(jīng)怎樣的平移和伸縮變換得到？
思路分析：利用三角變換，將 化為 求解。
解：①


②1）將函數(shù) 的圖象向左平移 得函數(shù) 的圖象；
2)將所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),得函數(shù) 的圖象,
3)將所得圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的 倍(橫坐標(biāo)不變),得函數(shù) 的圖象,
4)將所得圖象向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,到得函數(shù) 的圖象,
3．由圖象寫解析式或由解析式作圖
例3如圖為某三角函數(shù)圖象的一段
（1）用函數(shù) 寫出其中一個(gè)解析式；
（2）求與這個(gè)函數(shù)關(guān)于直線 對(duì)稱的函數(shù)解析式，并作出它一個(gè)周期內(nèi)簡(jiǎn)圖。
思路分析：由 ，由最值定A，由特殊值定 ，用五點(diǎn)法作簡(jiǎn)圖。

解：（1）

由圖它過 （為其中一個(gè)值）
（2） 上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱點(diǎn)為
關(guān)于直線 對(duì)稱的函數(shù)解析式是
列表：



0


0-3030

作圖：

4．三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
例4已知函數(shù)f(x)＝ 為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為
（Ⅰ）求f（ ）的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移 個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
解：（Ⅰ）f(x)＝
＝
＝2sin( - )
因?yàn)椤�f(x)為偶函數(shù)，
所以　對(duì)x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，
因此　sin（- - ）＝sin( - ).
即-sin cos( - )+cos sin( - )=sin cos( - )+cos sin( - ),
整理得　sin cos( - )=0.因?yàn)椤?＞0，且x∈R,所以　cos（ - ）＝0.
又因?yàn)椤?＜ ＜π，故　 - ＝ .所以　f(x)＝2sin( + )=2cos .
由題意得　　　
故　　　　f(x)=2cos2x. 因?yàn)椤　　?
（Ⅱ）將f(x)的圖象向右平移個(gè) 個(gè)單位后，得到 的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到 的圖象.
　
當(dāng)　　　　　2kπ≤ ≤2 kπ+ π (k∈Z),
即　　　　　4kπ＋≤ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減.
因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為　 　　　　(k∈Z)
（備選例5）、已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù) 的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程
（Ⅱ）求函數(shù) 在區(qū)間 上的值域
解：（1）



由
函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為
（2）
因?yàn)?在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
所以 當(dāng) 時(shí)， 取最大值 1
又 ，當(dāng) 時(shí)， 取最小值
所以 函數(shù) 在區(qū)間 上的值域?yàn)?

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