●知識梳理
1.充分條件：如果p q，則p叫q的充分條件，原命題（或逆否命題）成立，命題中的條件是充分的，也可稱q是p的必要條件.
2.必要條件：如果q p，則p叫q的必要條件，逆命題（或否命題）成立，命題中的條件為必要的，也可稱q是p的充分條件.
3.充要條件：如果既有p q，又有q p，記作p q，則p叫做q的充分必要條件，簡稱充要條件，原命題和逆命題（或逆否命題和否命題）都成立，命題中的條件是充要的.
4.反證法：當直接證明有困難時，常用反證法.
●點擊雙基
1.ac2＞bc2是a＞b成立的
A.充分而不必要條件B.充要條件
C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件
解析：a＞b ac2＞bc2，如c=0.
答案：A
2.（2004年湖北，理4）已知a、b、c為非零的平面向量.甲：a?b=a?c，乙：b=c，則
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
解析：命題甲:a?b=a?c a?（b－c）=0 a=0或b=c.
命題乙:b=c，因而乙 甲，但甲 乙.
故甲是乙的必要條件但不是充分條件.
答案：B
3.（2004年浙江，8）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞ ”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
解析：在△ABC中，A＞30° 0＜sinA＜1 sinA＞ ，sinA＞ 30°＜A＜150°
A＞30°.∴“A＞30°”是“sinA＞ ”的必要不充分條件.
答案：B
4.若條件p:a＞4，q:5＜a＜6，則p是q的______________.
解析：a＞4 5＜a＜6，如a=7雖然滿足a＞4，但顯然a不滿足5＜a＜6.
答案：必要不充分條件
5.（2005年春季上海，16）若a、b、c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
解析：若a＞0且b2－4ac＜0，則對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，反之，則不一定成立.如a=0，b=0且c＞0時，也有對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0.因此應選A.
答案：A
●典例剖析
【例1】使不等式2x2－5x－3≥0成立的一個充分而不必要條件是
A.x＜0B.x≥0
C.x∈{－1，3，5}D.x≤－ 或x≥3
剖析：∵2x2－5x－3≥0成立的充要條件是x≤－ 或x≥3，∴對于A當x=－ 時 2x2－5x－3≥0.同理其他也可用特殊值驗證.
答案：C
【例2】求證：關于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0.
證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”.
∵x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a?12+b?1+c=0，即a+b+c=0.
（2）充分性，即“若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.
把x=1代入方程的左邊，得a?12+b?1+c=a+b+c.∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根.
綜合（1）（2）知命題成立.
深化拓展
求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一負根的充要條件.
證明：必要性：
（1）方程有一正根和一負根，等價于
a＜0.
（2）方程有兩負根，等價于
0＜a≤1.
綜上可知，原方程至少有一負根的必要條件是a＜0或0＜a≤1.
充分性：由以上推理的可逆性，知當a＜0時方程有異號兩根；當0＜a≤1時，方程有兩負根.故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一負根的充分條件.
答案：a＜0或0＜a≤1.
【例3】下列說法對不對?如果不對，分析錯誤的原因.
（1）x2＝x＋2是x =x2的充分條件；
（2）x2＝x＋2是x =x2的必要條件.
解：（1）x2=x+2是x =x2的充分條件是指x2=x+2 x =x2.
但這里“ ”不成立，因為x=－1時，“ ”左邊為真，但右邊為假.得出錯誤結(jié)論的原因可能是應用了錯誤的推理：x2=x+2 x= x2=x .
這里推理的第一步是錯誤的（請同學補充說明具體錯在哪里）.
（2）x2=x+2是x =x2的必要條件是指x =x2 x2=x+2.
但這里“ ”不成立，因為x=0時，“ ”左邊為真，但右邊為假.得出錯誤結(jié)論的原因可能是用了錯誤的推理:x =x2 =x x+2=x2.
這里推理的第一步是錯誤的（請同學補充說明具體錯在哪里）.
評述：此題的解答比較注重邏輯推理.事實上，也可以從真值集合方面來分析：x2=x+2的真值集合是{－1，2}，x =x2的真值集合是{0，2}，{－1，2} {0，2}，而{0，2} {－1，2}，所以（1）（2）兩個結(jié)論都不對.
●闖關訓練
夯實基礎
1.（2004年重慶，7）已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
解析：依題意有p r，r s，s q，∴p r s q.但由于r p，∴q p.
答案：A
2.（2003年北京高考題）“cos2α=－ ”是“α=kπ+ ，k∈Z”的
A.必要不充分條件B.充分不必要條件
C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件
解析：cos2α=－ 2α=2kπ± α=kπ± .
答案：A
3.（2005年海淀區(qū)第一學期期末練習）在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
解析：在△ABC中，A＞B cosA＜cosB（余弦函數(shù)單調(diào)性）.
答案：C
4.命題A：兩曲線F（x，y）＝0和G（x，y）=0相交于點P（x0，y0），命題B：曲線F（x，y）+λG（x，y）＝0（λ為常數(shù)）過點P（x0，y0），則A是B的__________條件.
答案：充分不必要
5.（2004年北京，5）函數(shù)f（x）=x2－2ax－3在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)的充分必要條件是
A.a∈（－∞，1］B.a∈［2，+∞）
C.α∈［1，2］D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞）
解析：∵f（x）=x2－2ax－3的對稱軸為x=a，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函數(shù)的充要條件為［1，2］ （－∞，a］或［1，2］ ［a，+∞），即a≥2或a≤1.
答案：D
6.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件.
分析：先根據(jù)前n項和公式，導出使{an}為等比數(shù)列的必要條件，再證明其充分條件.
解：當n=1時，a1=S1=p+q；
當n≥2時，an=Sn－Sn－1=（p－1）?pn－1.
由于p≠0，p≠1，∴當n≥2時，{an}是等比數(shù)列.要使{an}（n∈N*）是等比數(shù)列，則 =p，即（p－1）?p=p（p+q），∴q=－1，即{an}是等比數(shù)列的必要條件是p≠0且p≠1且q=－1.
再證充分性：
當p≠0且p≠1且q=－1時，Sn=pn－1，
an=（p－1）?pn－1， =p（n≥2），
∴{an}是等比數(shù)列.
培養(yǎng)能力
7.（2004年湖南，9）設集合U=｛（x，y）｜x∈R，y∈R｝，A=｛（x，y）2x－y+m＞0｝，B=｛（x，y）x+y－n≤0｝，那么點P（2，3）∈A∩（ UB）的充要條件是
A.m＞－1，n＜5B.m＜－1，n＜5
C.m＞－1，n＞5D.m＜－1，n＞5
解析：∵ UB=｛（x，y）｜n＜x+y｝，將P（2，3）分別代入集合A、B取交集即可.∴選A.
答案：A
8.已知關于x的一元二次方程mx2－4x+4=0，①
x2－4mx+4m2－4m－5=0.②
求使方程①②都有實根的充要條件.
解：方程①有實數(shù)根的充要條件是Δ1=（－4）2－16m≥0，即m≤1；
方程②有實數(shù)根的充要條件是Δ2=（4m）2－4（4m2－4m－5）≥0，即m≥－ .
∴方程①②都有實數(shù)根的充要條件是－ ≤m≤1.
9.已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).
求證：三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.
證明：反證法：
假設三個方程中都沒有兩個相異實根，
則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，
（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.①
由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.
∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.
探究創(chuàng)新
10.若x、y、z均為實數(shù)，且a=x2－2y+ ，b=y2－2z+ ，c=z2－2x+ ，則a、b、c中是否至少有一個大于零？請說明理由.
解：假設a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a+b+c≤0.
而a+b+c=x2－2y+ +y2－2z+ +z2－2x+ =（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3，
∵π－3＞0，且無論x、y、z為何實數(shù)，（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0，
∴a+b+c＞0.這與a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一個大于0.
●思悟小結(jié)
1.要注意一些常用的“結(jié)論否定形式”，如“至少有一個”“至多有一個”“都是”的否定形式是“一個也沒有”“至少有兩個”“不都是”.
2.證明充要性要從充分性、必要性兩個方面來證明.
●教師下載中心
點睛
1.掌握常用反證法證題的題型，如含有“至少有一個”“至多有一個”等字眼多用反證法.
2.強調(diào)反證法的第一步，要與否命題分清.
3.要證明充要性應從充分性、必要性兩個方面來證.
拓展題例
【例題】指出下列命題中，p是q的什么條件.
（1）p:0＜x＜3，q:x－1＜2；
（2）p:（x－2）（x－3）=0，q:x=2；
（3）p:c=0，q:拋物線y=ax2+bx+c過原點.
解：（1）p:0＜x＜3，q:－1＜x＜3.p是q的充分但不必要條件.
（2）p q，q p.p是q的必要但不充分條件.
（3）p是q的充要條件.

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