§1．3　空間幾何體的表面積和體積
1．3．1　空間幾何體的表面積

【課時目標】　1．進一步認識柱體、錐體、臺體及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，了解它們的有關概念．2．了解柱體、錐體、臺體的表面積的計算公式．3．會利用柱體、錐體、臺體的表面積公式解決一些簡單的實際問題．


1．常見的幾個特殊多面體的定義
(1)__________________的棱柱叫做直棱柱．
(2)正棱柱是指底面為____________的直棱柱．
(3)如果一個棱錐的底面是____________，并且頂點在底面的正投影是底面中心，我們稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)棱長都相等．
(4)正棱錐被______________的平面所截，______________之間的部分叫做正棱臺．
2．直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積
(1)直棱柱的側(cè)面展開圖是____________(矩形的長等于直棱柱的底面周長c，寬等于直棱柱的高h)，則S直棱柱側(cè)＝______；
(2)正棱錐的側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面均為全等等腰三角形組成的圖形(正棱錐底面周長為c，斜高為h′)，則S正棱錐側(cè)＝__________；
(3)正棱臺的側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面均為全等等腰梯形組成的圖形，(正棱臺的上、下底面周長分別為c′，c，斜高為h′)，則有：S正棱臺側(cè)＝____________．．
3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積
圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是____________、________和________．
S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓錐側(cè)＝12cl＝πrl
S圓臺側(cè)＝12(c＋c′)l＝π(r＋r′)l


一、填空題
1．用長為4、寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個高為2的圓柱，此圓柱的軸截面面積為________．
2．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比為__________．
3．中心角為135°，面積為B的扇形圍成一個圓錐，若圓錐的全面積為A，則A∶B＝__________．
4．三視圖如圖所示的幾何體的表面積是__________．

5．一個長方體的長、寬、高分別為9,8,3，若在上面鉆一個圓柱形孔后其表面積沒有變化，則孔的半徑為________．
6．正六棱錐的高為4 cm，底面最長的對角線為43 cm，則它的側(cè)面積為________ cm2．
7．底面是菱形的直棱柱，且側(cè)棱長為5，它的體對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側(cè)面積是________．
8．一個正四棱柱的體對角線的長是9 cm，全面積等于144 cm2，則這個棱柱的側(cè)面積為________ cm2．
9．如圖(1)所示，已知正方體面對角線長為a，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖(2)所示的幾何體，那么此幾何體的表面積為________．


二、解答題
10．已知正四棱臺(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側(cè)面積．


11．圓臺的上、下底面半徑分別為10 cm和20 cm．它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是多少？(結(jié)果中保留π)


12．有一塔形幾何體由3個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點．已知最底層正方體的棱長為2，求該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)．

能力提升
13．如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9．6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面)．
(1)當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0．01平方米)；
(2)若要制作一個如圖放置的、底面半徑為0．3米的燈籠，請作出用于制作燈籠的三視圖(作圖時，不需考慮骨架等因素)．



1．在解決棱錐、棱臺的側(cè)面積、表面積及體積問題時往往將已知條件歸結(jié)到一個直角三角形中求解，為此在解此類問題時，要注意直角三角形的應用．
2．有關旋轉(zhuǎn)體的表面積的計算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關知識求解．


§1．3　空間幾何體的表面積和體積
1．3．1　空間幾何體的表面積
答案
知識梳理
1．(1)側(cè)棱和底面垂直　(2)正多邊形　(3)正多邊形
(4)平行于底面　截面和底面
2．(1)一個矩形　ch　(2)12ch′　(3)12(c＋c′)h′
3．矩形　扇形　扇環(huán)
作業(yè)設計
1．8π
解析　易知2πr＝4，則2r＝4π，
所以軸截面面積＝4π×2＝8π．
2．1＋2π2π
解析　設底面半徑為r，側(cè)面積＝4π2r2，全面積為＝2πr2＋4π2r2，其比為：1＋2π2π．
3．11∶8
解析　設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，
則2πr＝34πl(wèi)，則l＝83r，所以
A＝83πr2＋πr2＝113πr2，B＝83πr2，
得A∶B＝11∶8．
4．7＋2
解析　圖中的幾何體可看成是一個底面為直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底為1，下底為2，高為1，棱柱的高為1．可求得直角梯形的四條邊的長度為1,1,2，2，表面積S表面＝2S底＋S側(cè)面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．
5．3
解析　由題意知，圓柱側(cè)面積等于圓柱上、下底面和，即2πr×3＝2πr2，所以r＝3．
6．303
解析　由題意知，底面邊長為23 cm，
側(cè)棱長為l＝16＋12＝27 cm，
斜高h′＝28－3＝5 (cm)，
∴S側(cè)＝6?12?23?5＝303 (cm2)．
7．160
解析　設底面邊長是a，底面的兩條對角線分別為l1，l2，而l21＝152－52，l22＝92－52，而l21＋l22＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S側(cè)面積＝ch＝4×8×5＝160．
8．112
解析　設底面邊長、側(cè)棱長分別為a、l，
a2＋a2＋l2＝92a2＋4al＝144，∴a＝4l＝7，
∴S側(cè)＝4?4?7＝112 (cm2)．
9．(2＋2)a2
解析　由已知可得正方體的邊長為22a，新幾何體的表面積為S表＝2×22a×a＋4×22a2
＝(2＋2)a2．
10．

解　如圖，E、E1分別是BC、B1C1的中點，O、O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺的高，則O1O＝12．
連結(jié)OE、O1E1，則OE＝12AB
＝12×12＝6，O1E1＝12A1B1＝3．
過E1作E1H⊥OE，垂足為H，
則E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－O1E1＝6－3＝3．
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32
＝32×42＋32＝32×17，
所以E1E＝317．
所以S側(cè)＝4×12×(B1C1＋BC)×E1E
＝2×(12＋6)×317＝10817．
11．解　

如圖所示，設圓臺的上底面周長為c，因為扇環(huán)的圓心角是180°，
故c＝π?SA＝2π×10，
所以SA＝20，
同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
∴S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)?AB＋πr21＋πr22
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．
故圓臺的表面積為1 100π cm2．
12．解　易知由下向上三個正方體的棱長依次為2，2，1．
考慮該幾何體在水平面的投影，可知其水平面的面積之和為下底面積最大正方體的底面面積的二倍．
∴S表＝2S下＋S側(cè)
＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36．
∴該幾何體的表面積為36．
13．解　由題意可知矩形的高即圓柱的母線長為9.6－8×2r8＝1．2－2r，
∴塑料片面積S＝πr2＋2πr(1．2－2r)＝πr2＋2．4πr－4πr2＝－3πr2＋2．4πr＝－3π(r2－0．8r)＝－3π(r－0．4)2＋0．48π．
∴當r＝0．4時，S有最大值0．48π，約為1．51平方米．
(2)若燈籠底面半徑為0．3米，
則高為1．2－2×0．3＝0．6(米)．
制作燈籠的三視圖如圖．



1．3．2　空間幾何體的體積

【課時目標】　1．了解柱、錐、臺、球的體積公式．2．會利用柱體、錐體、臺體的體積公式解決一些簡單的實際問題．


1．柱體、錐體、臺體的體積
柱體：V＝______，V圓柱＝________．
錐體：V＝________，V圓錐＝________．
臺體：V＝____________，
V圓臺＝13πh(r′2＋r′r＋r2)．
其中S、S′為底面面積，h為高，r、r′為底面半徑．
2．球的表面積和體積
S球＝________，V球＝__________
其中R是球的半徑．


一、填空題
1．把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來的________倍．
2．正方體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為__________．
3．長方體的一個頂點上的三條棱長分別為3,4,5，且它的8個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為________．
4．一個圓錐與一個球的體積相等，圓錐的底面半徑是球半徑的3倍，圓錐的高與球半徑之比為________．
5．設某幾何體的三視圖如下(尺寸的長度單位為m)．

則該幾何體的體積為________m3．
6．棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為________．
7．已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面相切，若這個球的體積是32π3，則這個三棱柱的體積是________．
8．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是______cm3．

9．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是______cm．

二、解答題
10．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別為AB、AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成兩部分，求這兩部分的體積之比．


11．已知正三棱錐V—ABC的主視圖，俯視圖如圖所示，其中VA＝4，AC＝23，求該三棱錐的表面積與體積．

能力提升
12．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度．


13．有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體，第二個球與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比．


1．利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進行相關計算．
2．解決球與其他幾何體的切接問題，通常作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進行相關計算．
3．柱體、錐體、臺體的體積之間的內(nèi)在關系為
V柱體＝Sh??→S′＝SV臺體＝13h(S＋SS′＋S′)??→S′＝0V錐體＝13Sh．
4．“割補”是求體積的一種常用策略，運用時，要注意弄清割補前后幾何體體積之間的數(shù)量關系．


1．3．2　空間幾何體的體積 答案

知識梳理
1．Sh　πr2h　13Sh　13πr2h　13(S′＋S′S＋S)h
2．4πR2　43πR3
作業(yè)設計
1．22
解析　由面積擴大的倍數(shù)可知半徑擴大為原來的2倍，則體積擴大到原來的22倍．
2．1∶33
解析　關鍵要清楚正方體內(nèi)切球的直徑等于棱長a，外接球的直徑等于3a．
兩球體積之比為a3：(3a)3＝1∶33．
3．50π
解析　外接球的直徑2R＝長方體的體對角線
＝a2＋b2＋c2(a、b、c分別是長、寬、高)．
4．4∶9
解析　設球半徑為r，圓錐的高為h，
則13π(3r)2h＝43πr3，可得h∶r＝4∶9．
5．4
解析　由三視圖可知原幾何體是一個三棱錐，且三棱錐的高為2，底面三角形的一邊長為4，且該邊上的高為3，故所求三棱錐的體積為V＝13×12×3×4×2＝4 m3．
6．a(chǎn)36
解析　連結(jié)正方體各面中心構(gòu)成的八面體由兩個棱長為22a的正四棱錐組成，正四棱錐的高為a2，則八面體的體積為V＝2×13×(22a)2?a2＝a36．
7．483
解析　由43πR3＝32π3，得R＝2．
∴正三棱柱的高h＝4．
設其底面邊長為a，則13?32a＝2，∴a＝43．
∴V＝34(43)2?4＝483．
8．144
解析　此幾何體為正四棱臺與正四棱柱的組合體，而V正四棱臺＝13(82＋42＋82×42)×3＝112，V正四棱柱＝4×4×2＝32，故V＝112＋32＝144．
9．4
解析　設球的半徑為r cm，則πr2×8＋43πr3×3
＝πr2×6r．解得r＝4．
10．解　截面EB1C1F將三棱柱分成兩部分，一部分是三棱臺AEF－A1B1C1，另一部分是一個不規(guī)則幾何體，故可以利用棱柱的體積減去棱臺的體積求得．
設棱柱的底面積為S，高為h，則△AEF的面積為14S，由于V1＝VAEF－A1B1C1＝13?h?(S4＋S＋S2)＝712hS，剩余的不規(guī)則幾何體的體積為V2＝V－V1＝hS－712hS＝512hS，所以兩部分的體積之比為V1∶V2＝7∶5．
11．解　

由主視圖與俯視圖可得正三棱錐的直觀圖如圖所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝23，
取BC的中點D，連結(jié)VD，
則VD＝VB2－BD2＝42－?3?2＝13，
∴S△VBC＝12×VD×BC
＝12×13×23＝39，
S△ABC＝12×(23)2×32＝33，
∴三棱錐V—ABC的表面積為
3S△VBC＋S△ABC＝339＋33＝3(39＋3)．
點V在底面ABC上的射影為H，則A，H，D三點共線，VH即為三棱錐V—ABC的高，
VH＝VD2－HD2＝ VD2－13AD2
＝?13?2－12＝23，
∴VV—ABC＝13S△ABC?VH
＝13×33×23＝6，
所以正三棱錐的體積是6．
12．解　由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面．

根據(jù)切線性質(zhì)知，當球在容器內(nèi)時，水深為3r，水面的半徑為3r，則容器內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝13π?(3r)2?3r－43πr3＝53πr3，而將球取出后，設容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為33h，從而容器內(nèi)水的體積是V′＝13π?(33h)2?h＝19πh3，
由V＝V′，得h＝315r．
即容器中水的深度為315r．
13．解　設正方體的棱長為a．如圖所示．
①正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點是正方體六個面的中心，經(jīng)過四個切點及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝a2，
所以S1＝4πr21＝πa2．

②球與正方體的各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，
2r2＝2a，
r2＝22a，所以S2＝4πr22＝2πa2．
③正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，所以有2r3＝3a，
r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2．
綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．

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