專題五：解析幾何

【備考策略】
根據(jù)近幾年高考命題特點(diǎn)和規(guī)律，復(fù)習(xí)本專題時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面：
1．直線的傾斜角、斜率及它們間的關(guān)系。
2．兩直線平行與垂直的充要條件。
3．點(diǎn)到直線的距離、兩平行線間的距離。
4．圓的方程（標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程）。
5．直線與圓的位置關(guān)系。
6．橢圓、雙曲線、拋物線的定義、性質(zhì)。
7．直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，同時(shí)常與平面向量、數(shù)列、不等式結(jié)合，且每年必考。
第一講 直線與圓

【最新考綱透析】
1．直線與方程
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素。
（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。
（3）能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。
（4）掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。
（5）能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。
（6）掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離。
2．圓與方程
（1）掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。
（2）能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系。
（3）能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
（4）初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。
3．空間直角在系
（1）了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置。
（2）會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式。

【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：直線的傾斜角、斜率、距離問(wèn)題
考情聚焦：1．直線的傾斜角、斜率、距離問(wèn)題是最基本問(wèn)題，是高考中�？嫉闹�識(shí)。
2．該類問(wèn)題常與平面向量結(jié)合，體現(xiàn)知識(shí)的交匯。
3．多以選擇題、填空題的形式考查，屬容易題。
考向鏈接：1．直線 的傾斜角和斜率反映了直線的傾斜程度。已知斜率求傾斜角時(shí)，通�？梢越Y(jié)合正切函數(shù)的圖象求解，要注意當(dāng)斜率的取值范圍有正有負(fù)時(shí)，傾斜角是分段的，如直線斜率的范圍是[-1，1]，則傾斜角的取值范圍是 ，而不是
2．對(duì)于距離要熟記有關(guān)公式，并能靈活運(yùn)用。
例1：若直線 被兩平行線 所截得的線段的長(zhǎng)為 ，則 的傾斜角可以是：
① ② ③ ④ ⑤
其中正確答案的序號(hào)是 .（寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào)）
【解析】?jī)善叫芯�間的距離為 ，由圖知直線 與 的夾角為 ， 的傾斜角為 ，所以直線 的傾斜角等于 或 。故填寫(xiě)① ⑤
答案:①⑤
要點(diǎn)考向2：兩直線的位置關(guān)系
考情聚焦：1．兩直線的位置關(guān)系——平行或垂直是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。
2．多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：兩條直線 和 平行充要條件為 且 垂直的充要條件為 0，要熟練掌握這一條件。判定兩直線平行與垂直的關(guān)系時(shí)，如果給出的直線方程中存在字母系數(shù)，不僅要考慮斜率存在的情況，還要考慮斜率不存在的情況。
例2：（2010?安徽高考文科?Ｔ4）過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是
（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0
【命題立意】本題主要考查直線平行問(wèn)題。
【思路點(diǎn)撥】可設(shè)所求直線方程為 ，代入點(diǎn)（1，0）得 值，進(jìn)而得直線方程。
【規(guī)范解答】選A，設(shè)直線方程為 ，又經(jīng)過(guò) ，故 ，所求方程為 ，
要點(diǎn)考向3：圓的方程
聚焦考情：1．圓的方程及求法是很重要的一類問(wèn)題，是高考中的必考內(nèi)容。
2．各種題型均可出現(xiàn)，屬中低檔題。
考向鏈接：求圓的方程一般有兩類方法：（1）幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；（2）代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)。其一般步驟是：
①根據(jù)題意選擇方程的形式：標(biāo)準(zhǔn)形式或一般形式；
②利用條件列出關(guān)于 的方程組；
③解出 ，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。
此外，根據(jù)條件，要盡量減少參數(shù)設(shè)方程，這樣可減少運(yùn)算量。
例3：(2010?廣東高考文科?Ｔ6）若圓心在x軸上、半徑為 的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x+2y=0相切，則圓O的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【命題立意】本題考察直線與圓的位置關(guān)系.
【思路點(diǎn)撥】由切線的性質(zhì)：圓心到切線的距離等于半徑求解.
【規(guī)范解答】選 設(shè)圓心為 ，則 ，解得 ，所以，所求圓的方程為： ，故選 .
要點(diǎn)考向4：直線和圓的位置關(guān)系
聚焦考情：1．直線和圓的位置關(guān)系是每年必考內(nèi)容，有時(shí)和向量相結(jié)合，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯。
2．考查形式可以是選擇題、填空題，也可以是解答題，屬中、低檔題目。
例4：（2010?重慶高考文科?Ｔ8）若直線 與曲線 ，（ ）有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【命題立意】本小題考查直線、圓的方程的基礎(chǔ)知識(shí)，體現(xiàn)了方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想及化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
【思路點(diǎn)撥】先把圓的參數(shù)方程化為普通方程，再與直線方程聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式求解；或數(shù)形結(jié)合法，畫(huà)出圓的圖形，平移直線 觀察計(jì)算.
【規(guī)范解答】選D . （方法一）消去參數(shù) 得 ，與 聯(lián)立方程組，消去 得： ，因?yàn)橹本�與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以 ，即 ，解得 ；
（方法二）把圓的參數(shù)方程代入直線方程得： ，即 ，所以 ，所以 ，
解得 ；
（方法三）如圖所示，直線與圓相切之間的情形
符合題意，計(jì)算圓心（2，0）到直線 的
距離等于圓半徑1，即 ，解得 ，
所以 .
【方法技巧】（1）判別式法:直線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題；（2）利用三角函數(shù)的值域求解；（3）數(shù)形結(jié)合法.
注：直線和圓的位置關(guān)系常用幾何法，即利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d，及半弦長(zhǎng) ，構(gòu)成直角三角形的關(guān)系來(lái)處理。

【高考真題探究】
1．（2010 ?海南寧夏高考?理科T15）過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線 相切于點(diǎn)B(2,1)．則圓C的方程為 .
【命題立意】本題主要考察了圓的相關(guān)知識(shí)，如何靈活轉(zhuǎn)化題目中的條件求解圓的方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
【思路點(diǎn)撥】由題意得出圓心既在點(diǎn) 的中垂線上，又在過(guò)點(diǎn)B(2,1)且與直線 垂直的直線上，進(jìn)而可求出圓心和半徑.
【規(guī)范解答】由題意知，圓心既在過(guò)點(diǎn)B(2,1)且與直線 垂直的直線上，又在點(diǎn) 的中垂線上.可求出過(guò)點(diǎn)B(2,1)且與直線 垂直的直線為 ， 的中垂線為 ，聯(lián)立方程 ，解得 ，即圓心 ，
半徑 ，所以，圓的方程為 .
【答案】
2．（2010?廣東高考理科?Ｔ１2）已知圓心在x軸上，半徑為 的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x+y=0相切，則圓O的方程是
【命題立意】本題考察直線與圓的位置關(guān)系.
【思路點(diǎn)撥】由切線的性質(zhì)：圓心到切線的距離等于半徑求解.
【規(guī)范解答】設(shè)圓心坐標(biāo)為 ，則 ，解得 ，又圓心位于 軸左側(cè)，所以 .故圓O的方程為 .
【答案】
3．（2010?山 東高考理科?Ｔ16）已知圓C過(guò)點(diǎn)（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線 ： 被圓C所截得的弦長(zhǎng)為 ，則過(guò)圓心且與直線 垂直的直線的方程為 ．
【命題立意】本題考查了直線的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的關(guān)系，考查了考生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)弦長(zhǎng)及圓心在x軸的正半軸上求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)垂直關(guān)系可求直線方程.
【規(guī)范解答】由題意，設(shè)所求的直線方程為 ，設(shè)圓心坐標(biāo)為 ，則由題意知： ，解得 或-1，又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，所以 ，故圓心坐標(biāo)為（ 3，0），因?yàn)閳A心（3，0）在所求的直線上，所以有 ，即 ，故所求的直線方程為 .
【答案】
【方法技巧】1、研究直線與圓的位置關(guān)系，要聯(lián)系圓的幾何特性，盡可能的簡(jiǎn)化運(yùn)算.如“垂直于弦的直徑必平分弦”，“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”，“兩圓相交時(shí)連心線必垂直平分其公共弦”等.在解題時(shí)應(yīng)注意靈活運(yùn)用.
2、直線與圓相交是解析幾何中一類重要問(wèn)題，解題時(shí)注意運(yùn)用“設(shè)而不求”的技巧.
4．（2010?山東高考文科?Ｔ１6）已知圓C過(guò)點(diǎn)（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l： 被該圓所截得的弦長(zhǎng)為 ，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【命題立意】本題考查了點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，考查了考生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)弦長(zhǎng)及圓心在x軸的正半軸上求出圓心坐標(biāo)，再求出圓的半徑.
【規(guī)范解答】設(shè)圓心坐標(biāo)為 ，圓的半徑為 ，則由題意知： ，解得 或-1，又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，所以 ，故圓心坐標(biāo)為（3，0）， 故所求圓的方程為 .
【答案】
【方法技巧】1、研究直線與圓的位置關(guān)系，要聯(lián)系圓的幾何特性，盡可能的簡(jiǎn)化運(yùn)算.如“垂直于弦的直徑必平分弦”，“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”，“兩圓相交時(shí)連心線必垂直平分其公共弦”等.在解題時(shí)應(yīng)注意靈活運(yùn)用.
2、直線與圓相交是解析幾何中一類重要問(wèn)題，解題時(shí)注意運(yùn)用“設(shè)而不求”的技巧.
5．（2010? 湖北高考理科?Ｔ9）若直線 與曲線 有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（ ）
A.[ , ]B.[ ,3]
C.[-1, ]D.[ ,3]
【命題立意】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查考生數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的應(yīng)用和運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】將方程 作等價(jià)
變形，然后借助函數(shù)圖像，利用運(yùn)動(dòng)變化的觀
點(diǎn)得到直線 在與曲線
有公共點(diǎn)時(shí)b的取值范圍.
【規(guī)范解答】選D. 由圖可知當(dāng)直線 過(guò)點(diǎn)（0，3）時(shí)b取最大值3；當(dāng)直線 與圓 相切且切點(diǎn)在圓的下半部分時(shí)對(duì)應(yīng)的b取最小值.由 消去y可得 ，由 =0得 或 （舍去）.
6．（2010?江西高考理科?Ｔ８）直線 與圓 相交于M，N兩點(diǎn)，若 ，則 的取值范圍 是( )
A． B．
C． D．
【命題立意】本題主要考查直線與圓位置關(guān)系的判定及利用數(shù)形結(jié)合法解題的能力.
【思路點(diǎn)撥】方法一：數(shù)形結(jié)合，利用圓心到直線的距離進(jìn)行判定.
方法二：聯(lián)立方程組利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求解.
【規(guī)范解答】選A．（方法1）由題意，若使 ，則圓心到直線的距離 ，即 ，解得 .故選A.
（方法2）設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為 ，將直線方程和圓的方程聯(lián)立得方程組 ，消去y得 ，
由根與系數(shù)的關(guān)系得 ，
由弦長(zhǎng)公式知 =
，
, ∴ ，即 ，
∴ ，故選A .

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于( )
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1
2.夾在兩條平行直線l1：3x-4y=0與l2：3x-4y-20=0之間的圓的最大面積為( )
(A)2π (B)4π (C)8π (D)16π
3.已知直線l與直線3x+4y+1=0平行且它們之間的距離為4，如果原點(diǎn)(0，0)位于已知直線與直線l之間，那么l的方程為( )
(A)3x+4y=0(B)3x+4y-5=0
(C)3x+4y-19=0(D)3x+4y+21=0
4.直角坐標(biāo)平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與圓x2+y2=4相切的直線( )
(A)有兩條
(B)有且僅有一條
(C)不存在
(D)不能確定
5.直線l與圓x2+y2+2x-4y+a=0(a＜3)相交于兩點(diǎn)A,B,弦AB的中點(diǎn)為D(0,1),則直線l的方程為( )
(A)x-y+1=0(B)x+y+1=0
(C)x-y-1=0(D)x+y-1=0
6．(2010 漳州模擬) ．一束光線從點(diǎn)A(－1, 1)出 發(fā)經(jīng)x軸反射，到達(dá)圓C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一點(diǎn)的最短路程是（ ）
A．3 －1 B．2 C．5 D．4

二、填空題(每小題6分，共18分)
7. 已知圓O:x 2+y2=5和點(diǎn)A(1,2),則過(guò)A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于_______.
8.一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2),并且與點(diǎn)A(2,3)和B(0,-5)的距離相等,則此直線方程為_(kāi)__________.
9. 過(guò)點(diǎn)A( ,1)的直線l將圓C：x2+(y-2)2=4分成兩段弧,當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí),直線l的斜率k等于_______.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.已知直線l1:mx+8y+n=0和直線l2:2x+my-1=0,分別根據(jù)下列情況求實(shí)數(shù)m與n的取值.
(1)l1與l2平行;
(2)l1與l2垂直.
11．（2010安徽名校聯(lián)考）將圓 向左平移1個(gè)單位，再向上移2個(gè)單位，得到圓O，直線 與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，若圓O上存在點(diǎn)C，使 ，求直線 的方程及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)。
12．已知圓 ： ，設(shè)點(diǎn) 是直線 ： 上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是 ，點(diǎn) 在線段 上，過(guò) 點(diǎn)作圓 的切線 ，切點(diǎn)為 ．
（1）若 ， ，求直線 的方程；
（2）經(jīng)過(guò) 三點(diǎn)的圓的圓心是 ，求線段 長(zhǎng)的最小值 ．
參考答案
1．【解析】選D.方法一:將選項(xiàng)分別代入題干中觀察,易求出D符合要求.故選D.
方法二:∵直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,
∴a?(a+2)=-1.
∴a=-1.

2．【解析】選B.夾在兩條平行線之間的最大的圓的半徑為兩平行線間距離的一半,而兩平行線間的距離

所以 ，則圓的最大面積

3．【解析】選C.與直線3x+4y+1=0平行的直線可設(shè)為3x+4y+m=0，
由兩平行線之間的距離公式可得

即直線方程為3x+4y+21=0或3x+4y-19=0，
原點(diǎn)位于直線l與直線3x+4y+1=0之間，可將點(diǎn)(0，0)代入兩直線解析式，乘積 為負(fù)的即為所求，故應(yīng)選C.

4．【解析】選A.∵22+12＞4,
∴點(diǎn)P在圓外,故過(guò)P作圓的切線可作兩條.

5．【解析】選A.圓心C的坐標(biāo)為(-1,2),AB中點(diǎn)D(0,1)，

∴l(xiāng)的方程為y-1=x-0,
即x-y+1=0,故應(yīng)選A.

6．【解析】選D.因?yàn)辄c(diǎn)A(－1, 1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），圓心坐標(biāo)為（2，3），所以點(diǎn)A(－1, 1)出發(fā)經(jīng)x軸反射，到達(dá)圓C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一點(diǎn)的最短路程為


7．【解析】∵點(diǎn)A(1,2)在⊙O上,∴過(guò)點(diǎn)A且與⊙O相切的直線方程為x+2y=5,

答案：

8．【解析】假設(shè)所求直線的斜率存在,則可設(shè)其方程為y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
由題設(shè)有:

即k-1=7-k,解得k=4.
又所求直線的斜率不存在時(shí),方程為x=1,符合題意.
故所求直線的方程為4x-y-2=0或x=1.
答案：4x-y-2=0或x=1

9．【解析】∵點(diǎn)A( ,1)在圓C:x2+(y-2)2=4的內(nèi)部.
∴當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí),AC⊥l.

答案：

10．【解析】（1）顯然兩直線的斜率都存在，兩條直線的方程可化為

故只需 ，即
即 兩直線平行。
（2）方法一：若兩直線的斜率都存在，則可得兩條直線的斜率分別為 但由于 所以,此時(shí)兩直線不垂直.
若m=0,則兩條直線中一條斜率為0,另一條斜率不存在,于是兩直線垂直.
綜上可知,當(dāng)m=0,且n∈R時(shí),兩直線垂直.
方法二:因?yàn)閮芍本�垂直,所以只需2m+8m=0,
即m=0.故當(dāng)m=0時(shí),兩直線垂直.

11．【解析】已知圓 ，
經(jīng)平移后圓O的方程為
因?yàn)椋?
又
設(shè)直線 的方程是 交于
中并簡(jiǎn)化得

由題意：
所以，
因?yàn)椋?
所以，直線 的方程為 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，2）
或直線 的方程為 對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-2）.

12．【解析】（1）設(shè)

解得 或 （舍去）．
由題意知切線PA的斜率存在，設(shè)斜率為k．
所以直線PA的方程為 ，即
直線PA與圓M相切， ，解得 或
直線PA的方程是 或 ........6分
（2）設(shè)
與圓M相切于點(diǎn)A，
經(jīng)過(guò) 三點(diǎn)的圓的圓心D是線段MP的中點(diǎn)．
的坐標(biāo)是
設(shè)
當(dāng) ，即 時(shí)，
當(dāng) ，即 時(shí)，
當(dāng) ，即 時(shí)

則 .

【備課資源】


2.經(jīng)過(guò)圓C：(x+1)2+(y-2)2=4的圓心且斜率為1的直線方程為( )
(A)x-y+3=0(B)x-y-3=00
(C)x+y-1=0(D)x+y+3=0
【解析】選A.圓C的圓心坐標(biāo)為(-1,2),
故所求直線方程為y-2=1?(x+1)，
即x-y+3=0.
3.直線x+y-2=0上的點(diǎn)和圓(x-6)2+(y-6)2=18上的點(diǎn)的最短距離是________.



5. 已知圓O的方程為x2+y2=1,直線l1過(guò)點(diǎn)A(3,0),且與圓O相切,
(1)求直線l1的方程；
(2)設(shè)圓O與x軸交于P,Q兩點(diǎn),M是圓O上異于P,Q的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為l2,直線PM交直線l2于點(diǎn)P′，直線QM交直線l2于點(diǎn)Q′.
求證:以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】(1)∵直線l1過(guò)點(diǎn)A(3,0),且與圓O:
x2+y2=1相切,由題意設(shè)直線l1的方程為
y=k(x-3),

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