新標(biāo)——回歸教材三角函數(shù)1.角的概念的推廣:平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形.按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角,一條射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí),稱(chēng)它形成一個(gè)零角.射線(xiàn)的起始位置稱(chēng)為始邊,終止位置稱(chēng)為終邊.2.象限角的概念:在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與 軸的非負(fù)半軸重合,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.3. 弧度制:把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.1(rad)= , (rad).弧長(zhǎng)公式: ,扇形面積公式: . 典例:已知扇形 的周長(zhǎng)是6cm,該扇形的中心角是1弧度,求該扇形的面積.(答:2 )4.終邊相同的角的表示: (1) 終邊與 終邊相同( 的終邊在 終邊所在射線(xiàn)上) ,注意:相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等.典例:與角 的終邊相同,且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是 ,合 弧度.(2) 終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為: .典例: 的終邊與 的終邊關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng),則 = .(3)各種角的集合表示名稱(chēng)角度表示形式( )弧度表示形式( )
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
終邊落在x軸上
終邊落在y軸上
終邊落在y=x軸上
終邊落在y=-x軸上
判斷一個(gè)角的終邊在哪個(gè)象限?是第幾象限角?是解決后面一系列問(wèn)題的基礎(chǔ).那么我們是如何判定?通常是把一個(gè)絕對(duì)值很大的角 化成 , 或者是化成 ,這樣只要判定 是第幾象限角就可以了.典例: (1) ,因?yàn)?是第一象限角,所以 的終邊也在第一象限;(2) ,因?yàn)?是第一象限角,所以 的終邊也在第一象限.5. 與 的終邊關(guān)系:由“兩等分各象限、一二三四”確定.如圖,若角 終邊在第一(二、三、四)象限,則角 的終邊位于右圖中標(biāo)有數(shù)字1(2、3、4)區(qū)域.這個(gè)方法叫做等分象限法.典例:若 是第二象限角,則 是第 一、三 象限角.6.任意角的三角函數(shù)的定義:設(shè) 是任意一個(gè)角,P 是 的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),它與原點(diǎn)的距離是 ,那么 , .三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān),而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān).典例:(1)已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,-12),則 的值為 ;(2)設(shè) 是第三、四象限角, ,則 的取值范圍是 ;(3)若 ,試判斷 的符號(hào)(答:負(fù))7.三角函數(shù)線(xiàn)的特征是:正弦線(xiàn)P“站在 軸上(起點(diǎn)在 軸上)”、余弦線(xiàn)O“躺在 軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線(xiàn)AT“與圓 切在點(diǎn) 處(起點(diǎn)是 )”.三角函數(shù)線(xiàn)的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式.典例:(1)若 ,則 的大小關(guān)系為 ;(2)若 為銳角,則 的大小關(guān)系為 ;(3)函數(shù) 的定義域是 8.特殊角的三角函數(shù)值:30°45°60°0°90°180°270°15°75°010-1
10-10
1 002- 2+
1 002+ 2-
9.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:(1)平方關(guān)系: ;(2)商數(shù)關(guān)系: .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是,已知一個(gè)角的三角函數(shù)值,求此角的其它三角函數(shù)值.在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí),要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值,盡可能地壓縮角的范圍,以便進(jìn)行定號(hào);在具體求三角函數(shù)值時(shí),一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào),再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值.解題方法總結(jié)(1)已知一弦值,求正切.通常是利用 、 求另一弦值,然后利用 求正切.要注意 的象限,分象限定符號(hào).(2)已知正切,求正弦、余弦值.方法一是解方程組.方法二是利用一個(gè)推導(dǎo)公式直接求,公式 , ,不過(guò)還是要注意開(kāi)根號(hào)時(shí)的正負(fù)的確定.(3)解題中常用的三種技巧:一、切化弦;二、1的代換;三、分子分母同時(shí)除以 或者 .(4)解題中常用的兩組公式: ;.典例:(1)函數(shù) 的值的符號(hào)為大于0;(2)若 ,則使 成立的 的取值范圍是 ;(3)已知 , ,則 = ;(4)已知 ,則 = ; = ;(5)已知 ,則 等于 B A. B. C. D. ;(6)已知 ,則 的值為 -1 .10.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式( )的本質(zhì)是:奇變偶不變(對(duì) 而言,指 取奇數(shù)或偶數(shù)),符號(hào)看象限(看原函數(shù),同時(shí)可把 看成是銳角).誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值,其一般步驟:“負(fù)化正,大化小,化成銳角再查表”即:(1)負(fù)角變正角,再寫(xiě)成2k + , ;(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù). 典例:(1) 的值為 ;(2)已知 ,則 ,若 為第二象限角,則 .11.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:正: ;逆: ,其中 .正: ;逆: ,其中 .正: ;變: .正: ;變: 正: ;變: (降角升冪公式),逆: (降冪升角公式); (半角正切)典例:(1)下列各式中,值為 的是 C A. B. C. D. (2)命題P: ,命題Q: ,則P是Q的 C 條.A、充要 B、充分不必要 C、必要不充分 D、既不充分也不必要;(3)已知 ,那么 的值為 ;(4) 的值是 4 ;(5)已知 ,求 的值(用 表示)甲求得的結(jié)果是 ,乙求得的結(jié)果是 ,對(duì)甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是 甲、乙都對(duì) .12.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是:一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關(guān)系,注意角的一些常用變式,角的變換是三角函數(shù)變換的核心!第二看函數(shù)名稱(chēng)之間的關(guān)系,通!扒谢摇;第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)通常是分式要因式分解、通分后約分、根號(hào)下配方后開(kāi)方.基本的技巧有:★★★(1)巧變角(已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如: , ,, , 等.典例:(1)已知 , ,那么 的值是 ;(2)已知 ,且 , ,求 的值 ;(3)若 為銳角, ,則 與 的函數(shù)關(guān)系為 .(2)三角函數(shù)名互化(切化弦),典例:(1)求值 = 1 ;(2)已知 ,求 的值 (3)公式變形使用( .典例:(1)已知A、B為銳角,且滿(mǎn)足 ,則 = ;(2) 中, , ,則此三角形是 等邊 三角形.(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式: , 與升冪公式: , ).典例:(1)若 ,化簡(jiǎn) 為 ;(2) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同).典例:(1) = ;(2)求證: ; (3)化簡(jiǎn): = .(6)常值變換主要指“1”的變換( 等)典例:已知 ,求 = .(7)正余弦“三兄妹— ”的內(nèi)存聯(lián)系—“知一求二”.典例:(1)若 ,則 ,特別提醒:這里 ;(2)若 ,求 的值.(答: );(3)已知 ,試用 表示 的值(答: ).13.輔助角公式中輔助角的確定: (其中 角所在的象限由a, b的符號(hào)確定, 角的值由 確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起作用.★★★典例:(1)若方程 有實(shí)數(shù)解,則 的取值范圍是 [-2,2] .;(2)當(dāng)函數(shù) 取得最大值時(shí), 的值是 ;(3)如果 是奇函數(shù),則 = -2 ;(4)求值: 32 .14.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象:
正弦函數(shù) 和余弦函數(shù) 圖象的作圖方法:五點(diǎn)法:先取橫坐標(biāo)分別為0, 的五點(diǎn),再用光滑的曲線(xiàn)把這五點(diǎn)連接起,就得到正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.如右圖所示:15.正弦函數(shù) 、余弦函數(shù)性質(zhì):(1)定義域R.(2)值域 .對(duì) ,當(dāng) 時(shí), 取最大值1;當(dāng) 時(shí), 取最小值-1;對(duì) ,當(dāng) 時(shí), 取最大值1,當(dāng) 時(shí), 取最小值-1.典例:(1)若函數(shù) 的最大值為 ,最小值為 ,則 , ;(2)函數(shù) ( )的值域是 [-1, 2] ;(3)若 ,則 的最大值和最小值分別是 7 、 -5 ;(4) 的最小值是 2 ,此時(shí) = ;(5)己知 ,則 的取值范圍 ;(6)若 ,則 的最大值 1 、最小值 .特別提醒:在解含有正余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí),你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎?例如前面的關(guān)于求值域的一個(gè)運(yùn)用!(3)周期性:① 、 的最小正周期都是2 ;② 和 的最小正周期都是 .典例:(1)若 ,則 = 0 ;(2)函數(shù) 的最小正周期為 ;(3)設(shè) ,若 恒成立,則 = 2 .(4)奇偶性與對(duì)稱(chēng)性:①函數(shù) 是奇函數(shù),對(duì)稱(chēng)中心是 ,對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) ;②函數(shù) 是偶函數(shù),對(duì)稱(chēng)中心是 ,對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) (正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)最值點(diǎn)且垂直于 軸的直線(xiàn),對(duì)稱(chēng)中心為圖象零點(diǎn)所在點(diǎn).)典例:(1)函數(shù) 的奇偶性是 偶函數(shù) ;(2)已知函數(shù) 為常數(shù)),且 ,則 -5 ;(3) 的對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸分別是 、 ;(4)已知 為偶函數(shù),求 的值.(答: )(5)單調(diào)性:上單調(diào)遞增,在 單調(diào)遞減;在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增.16.形如 的函數(shù):(1)幾個(gè)物理量:A?振幅; ?頻率(周期的倒數(shù)); ?相位; ?初相;(2)求 表達(dá)式:A由最值確定; 由周期確定; 由圖象上的特殊點(diǎn)確定.(3)函數(shù) 圖象的畫(huà)法:①“五點(diǎn)法”—設(shè) ,令 =0, 求出相應(yīng)的 值,計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象;②圖象變換法:這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法.(4)函數(shù) 的圖象與 圖象間的關(guān)系:① 的圖象上各點(diǎn)向左( >0)或向右( <0)平移 個(gè)單位得 的圖象;② 圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵?,得到函數(shù) 的圖象;③ 圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵腁倍,得 圖象;④ 圖象上各點(diǎn)向上( )或向下( ),得到 的圖象.特別注意:由 得到 的圖象,則向左或向右平移應(yīng)平移 單位.典例:(1)函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到 的圖象?(答: 向上平移1個(gè)單位得 的圖象,再向左平移 個(gè)單位得 的圖象,橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原的2倍得 的圖象,最后將縱坐標(biāo)縮小到原的 即得 的圖象);(2)要得到函數(shù) 的圖象,只需把函數(shù) 的圖象向 左 平移 個(gè)單位;(3)(現(xiàn)在考綱不作要求)將函數(shù) 圖像,按向量 平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),這樣的向量是否唯一?若唯一,求出 ;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量 );(4)若函數(shù) 的圖象與直線(xiàn) 有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn),則 的取值范圍是 .(5)研究函數(shù) 性質(zhì)的方法:類(lèi)比于研究 的性質(zhì),只需將 中的 看成 中的 ,但在求 的單調(diào)區(qū)間時(shí),要特別注意A和 的符號(hào),通過(guò)誘導(dǎo)公式先將 化正.典例:(1)函數(shù) 的遞減區(qū)間是 ;(2) 的遞減區(qū)間是 ;(3)設(shè)函數(shù) 的圖象關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng),它的周期是 ,則( C )A、 B、 在區(qū)間 上是減函數(shù) C、 D、 的最大值是A;(4)對(duì)于函數(shù) 給出下列結(jié)論, 其中正確結(jié)論是 ②④ .①圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng); ②圖象關(guān)于直線(xiàn) 成軸對(duì)稱(chēng);③圖象可由函數(shù) 的圖像向左平移 個(gè)單位得到;④圖像向左平移 個(gè)單位,即得到函數(shù) 的圖像.(5)已知函數(shù) 圖象與直線(xiàn) 的交點(diǎn)中,距離最近兩點(diǎn)間的距離為 ,那么此函數(shù)的周期是 17.正切函數(shù) 的圖象和性質(zhì):(1)定義域: .有關(guān)正切函數(shù)問(wèn)題時(shí),你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎?(2)值域是R,在上面定義域上無(wú)最大值也無(wú)最小值;(3)周期性: ,它與直線(xiàn) 的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期 .絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響:一般說(shuō),某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方,其周期性是:弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值,其周期性不變,其它不定.(只作了解即可) 典例:(1) , 的周期都是 .(2) 的周期為 .(3) 的周期都是 ;(4) 奇偶性與對(duì)稱(chēng)性:是奇函數(shù),對(duì)稱(chēng)中心是 .特別提醒:正切型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心有兩類(lèi):一類(lèi)是圖象與 軸的交點(diǎn),另一類(lèi)是漸近線(xiàn)與 軸的交點(diǎn),但無(wú)對(duì)稱(chēng)軸,這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處.(5)單調(diào)性:正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)都是增函數(shù).但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性.18.三角形中的有關(guān)公式: (1)內(nèi)角和定理:三角形三角和為 ,這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性,解題可不能忘記!任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ),任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形 三內(nèi)角都是銳角 三內(nèi)角的余弦值為正值 任兩角和都是鈍角 任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理: (R為三角形外接圓的半徑).注意:①正弦定理的一些變式: ; ; ;②已知三角形兩邊一對(duì)角,求解三角形時(shí),若運(yùn)用正弦定理,則務(wù)必注意可能有兩解.(3)余弦定理: 等,常選用余弦定理鑒定三角形形狀.(4)面積公式: (其中 為三角形內(nèi)切圓半徑).海倫-秦九韶公式 ,其中 .典例: 中,若 ,判斷 的形狀(答:直角三角形).特別提醒:(1)求解三角形中的問(wèn)題時(shí),一定要注意 這個(gè)特殊性:所以有,;(2)求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問(wèn)題時(shí),常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化.典例:(1) 中,A、B的對(duì)邊分別是 ,且 ,那么滿(mǎn)足條的 A、 有一個(gè)解 B、有兩個(gè)解 C、無(wú)解 D、不能確定(答:C);(2)在 中,A>B是 成立的 充要 條;(3)在 中, ,則 = ;(4)在 中,若 ,則 = ;(5)在 中,若其面積 ,則 = ;(6)在 中, ,這個(gè)三角形的面積為 ,則 外接圓的直徑是 ;(7)在△ABC中, = , 的最大值為 ;(8)在△ABC中AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是 ;(9)設(shè)O是銳角三角形ABC的外心,若 ,且 的面積滿(mǎn)足關(guān)系式 ,求 (答: ).19.求角的方法:先確定角的范圍,再求出關(guān)于此角的某一個(gè)三角函數(shù)(要注意選擇,其標(biāo)準(zhǔn)有二:一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性;二是根據(jù)條易求出此三角函數(shù)值).特別提示:要盡量利用已知條精確地確定角所在的范圍.典例:(1)若 ,且 、 是方程 的兩根,則求 的值 ;(2) 中, ,則 = ;(3)若 且 , ,求 的值(答: ).
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