第十一章 概率

●網(wǎng)絡(luò)體系總覽

●考點(diǎn)目標(biāo)定位
1.了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合公式計算一些等可能性事件的概率.
2.了解互斥事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式計算一些事件的概率.
3.了解相互獨(dú)立事件的意義，會用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率，會計算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.
●復(fù)習(xí)方略指南
概率是新課程中新增加部分的主要內(nèi)容之一.這一內(nèi)容是在學(xué)習(xí)排列、組合等計數(shù)知識之后學(xué)習(xí)的,主要內(nèi)容為等可能性事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率及相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率.這一內(nèi)容從2000年被列入新課程高考的考試說明.
在2000,2001,2002,2003,2004這五年高考中,新課程試卷每年都有一道概率解答題,并且這五年的命題趨勢是：從分值上看,從10分提高到17分,從題目的位置看,2000年為第（17）題,2001年為第（18）題,2002年為第（19）題,2003年為第（20）題即題目的位置后移,2004年兩題分值增加到17分.從概率在試卷中的分?jǐn)?shù)比與課時比看,在試卷中的分?jǐn)?shù)比（12∶150=1∶12.5）是在數(shù)學(xué)中課時比（約為11∶330=1∶30）的2.4倍.概率試題體現(xiàn)了考試中心提出的“突出應(yīng)用能力考查”以及“突出新增加內(nèi)容的價值和應(yīng)用功能”的指導(dǎo)思想,在命題時,提高了分值,提高了難度,并設(shè)置了靈活的題目情境,如普法考試、串聯(lián)并聯(lián)系統(tǒng)、計算機(jī)上網(wǎng)、產(chǎn)品合格率等,所以在概率復(fù)習(xí)中要注意全面復(fù)習(xí),加強(qiáng)基礎(chǔ),注重應(yīng)用.

11.1 隨機(jī)事件的概率

●知識梳理
1.隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
2.必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件.
3.不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件.
4.事件A的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時,事件A發(fā)生的頻率 總接近于某個常數(shù),在它附近擺動,這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率,記作P（A）.由定義可知0≤P（A）≤1,顯然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.
5.等可能性事件的概率：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件,通常此試驗(yàn)中的某一事件A由幾個基本事件組成.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個,即此試驗(yàn)由n個基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是 .如果某個事件A包含的結(jié)果有m個,那么事件A的概率P（A）= .
6.使用公式P（A）= 計算時,確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在,其計算方法靈活多變,沒有固定的模式,可充分利用排列組合知識中的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理,必須做到不重復(fù)不遺漏.
●點(diǎn)擊雙基
1.從1，2，…，9這九個數(shù)中，隨機(jī)抽取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是
A. B. C. D.
解析：基本事件總數(shù)為C ，設(shè)抽取3個數(shù),和為偶數(shù)為事件A,則A事件數(shù)包括兩類：抽取3個數(shù)全為偶數(shù),或抽取3數(shù)中2個奇數(shù)1個偶數(shù),前者C ,后者C C .
∴A中基本事件數(shù)為C +C C .
∴符合要求的概率為 = .
答案：C
2.某校高三年級舉行的一次演講比賽共有10位同學(xué)參加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采取抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班的3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為
A. B. C. D.
解析：10位同學(xué)總參賽次序A .一班3位同學(xué)恰好排在一起,而二班的2位同學(xué)沒有排在一起的方法數(shù)為先將一班3人捆在一起A ,與另外5人全排列A ,二班2位同學(xué)不排在一起,采用插空法A ,即A A A .
∴所求概率為 = .
答案：B
3.將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是
A. B. C. D.
解析：質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲3次,共有6×6×6種結(jié)果.3次均不出現(xiàn)6點(diǎn)向上的擲法有5×5×5種結(jié)果.由于拋擲的每一種結(jié)果都是等可能出現(xiàn)的,所以不出現(xiàn)6點(diǎn)向上的概率為 = ,由對立事件概率公式,知3次至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是1－ = .
答案：D
4.一盒中裝有20個大小相同的彈子球，其中紅球10個，白球6個，黃球4個，一小孩隨手拿出4個，求至少有3個紅球的概率為________.
解析：恰有3個紅球的概率P1= = .
有4個紅球的概率P2= = .
至少有3個紅球的概率P=P1+P2= .
答案：
5.在兩個袋中各裝有分別寫著0，1，2，3，4，5的6張卡片.今從每個袋中任取一張卡片，則取出的兩張卡片上數(shù)字之和恰為7的概率為________.
解析：P= = .
答案：
●典例剖析
【例1】用數(shù)字1，2，3，4，5組成五位數(shù)，求其中恰有4個相同數(shù)字的概率.
解：五位數(shù)共有55個等可能的結(jié)果.現(xiàn)在求五位數(shù)中恰有4個相同數(shù)字的結(jié)果數(shù)：4個相同數(shù)字的取法有C 種，另一個不同數(shù)字的取法有C 種.而這取出的五個數(shù)字共可排出C 個不同的五位數(shù)，故恰有4個相同數(shù)字的五位數(shù)的結(jié)果有C C C 個，所求概率
P= = .
答：其中恰恰有4個相同數(shù)字的概率是 .
【例2】 從男女生共36人的班中，選出2名代表，每人當(dāng)選的機(jī)會均等.如果選得同性代表的概率是 ，求該班中男女生相差幾名？
解：設(shè)男生有x名，則女生有（36－x）人，選出的2名代表是同性的概率為P= = ,
即 + = ,
解得x=15或21.
所以男女生相差6人.
【例3】把4個不同的球任意投入4個不同的盒子內(nèi)（每盒裝球數(shù)不限），計算：
（1）無空盒的概率；
（2）恰有一個空盒的概率.
解：4個球任意投入4個不同的盒子內(nèi)有44種等可能的結(jié)果.
（1）其中無空盒的結(jié)果有A 種，所求概率
P= = .
答：無空盒的概率是 .
（2）先求恰有一空盒的結(jié)果數(shù)：選定一個空盒有C 種，選兩個球放入一盒有C A 種，其余兩球放入兩盒有A 種.故恰有一個空盒的結(jié)果數(shù)為C C A A ,所求概率P（A）= = .
答：恰有一個空盒的概率是 .
深化拓展
把n+1個不同的球投入n個不同的盒子（n∈N*）.求：
（1）無空盒的概率；（2）恰有一空盒的概率.
解：（1） .
（2） .
【例4】某人有5把鑰匙，一把是房門鑰匙，但忘記了開房門的是哪一把.于是，他逐把不重復(fù)地試開，問：
（1）恰好第三次打開房門鎖的概率是多少？
（2）三次內(nèi)打開的概率是多少？
（3）如果5把內(nèi)有2把房門鑰匙，那么三次內(nèi)打開的概率是多少？
解：5把鑰匙，逐把試開有A 種等可能的結(jié)果.
（1）第三次打開房門的結(jié)果有A 種，因此第三次打開房門的概率P（A）= = .
（2）三次內(nèi)打開房門的結(jié)果有3A 種，因此，所求概率P（A）= = .
（3）方法一：因5把內(nèi)有2把房門鑰匙，故三次內(nèi)打不開的結(jié)果有A A 種，從而三次內(nèi)打開的結(jié)果有A －A A 種，所求概率P（A）= = .
方法二：三次內(nèi)打開的結(jié)果包括：三次內(nèi)恰有一次打開的結(jié)果有C A A A 種；三次內(nèi)恰有2次打開的結(jié)果有A A 種.因此，三次內(nèi)打開的結(jié)果有C A A A +A A 種，所求概率
P（A）= = .
特別提示
1.在上例（1）中,讀者如何解釋下列兩種解法的意義.P（A）= = 或P（A）= ? ? = .
2.仿照1中,你能解例題中的（2）嗎?
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.從分別寫有A、B、C、D、E的5張卡片中，任取2張，這2張上的字母恰好按字母順序相鄰的概率為
A. B. C. D.
解析：P= = .
答案：B
2.甲、乙二人參加法律知識競賽,共有12個不同的題目,其中選擇題8個,判斷題4個.甲、乙二人各依次抽一題,則甲抽到判斷題,乙抽到選擇題的概率是
A. B. C. D.
解析：甲、乙二人依次抽一題有C ?C 種方法,
而甲抽到判斷題,乙抽到選擇題的方法有C C 種.
∴P= = .
答案：C
3.從數(shù)字1、2、3、4、5中，隨機(jī)抽取3個數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為
A. B. C. D.
解析：從數(shù)字1、2、3、4、5中，允許重復(fù)地隨機(jī)抽取3個數(shù)字，這三個數(shù)字和為9的情況為5、2、2；5、3、1；4、3、2；4、4、1；3、3、3.
∴概率為 = .
答案：D
4.一次二期課改經(jīng)驗(yàn)交流會打算交流試點(diǎn)學(xué)校的論文5篇和非試點(diǎn)學(xué)校的論文3篇.若任意排列交流次序，則最先和最后交流的論文都為試點(diǎn)學(xué)校的概率是________.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）
解析：總的排法有A 種.
最先和最后排試點(diǎn)學(xué)校的排法有A A 種.
概率為 = .
答案：
5.甲、乙二人參加普法知識競答，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽一題.
（1）甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？
分析：（1）是等可能性事件，求基本事件總數(shù)和A包含的基本事件數(shù)即可.（2）分類或間接法，先求出對立事件的概率.
解：（1）基本事件總數(shù)甲、乙依次抽一題有C C 種，事件A包含的基本事件數(shù)為C C ，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率為 = .
（2）A包含的基本事件總數(shù)分三類：
甲抽到選擇題,乙抽到判斷題有C C ；
甲抽到選擇題,乙也抽到選擇題有C C ;
甲抽到判斷題,乙抽到選擇題有C C .
共C C +C C +C C .
基本事件總數(shù)C C ，
∴甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為 = 或P（ ）= = ，P（A）=1－P（ ）= .
6.把編號為1到6的六個小球，平均分到三個不同的盒子內(nèi)，求：
（1）每盒各有一個奇數(shù)號球的概率；
（2）有一盒全是偶數(shù)號球的概率.
解：6個球平均分入三盒有C C C 種等可能的結(jié)果.
（1）每盒各有一個奇數(shù)號球的結(jié)果有A A 種，所求概率P（A）= = .
（2）有一盒全是偶數(shù)號球的結(jié)果有（C C ）?C C ，
所求概率P（A）= = .
培養(yǎng)能力
7.已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組，每組4支.求：
（1）A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；
（2）A組中至少有兩支弱隊的概率.
（1）解法一：三支弱隊在同一組的概率為
+ = ，
故有一組恰有兩支弱隊的概率為1－ = .
解法二：有一組恰有兩支弱隊的概率為
+ = .
（2）解法一：A組中至少有兩支弱隊的概率為 + = .
解法二：A、B兩組有一組至少有兩支弱隊的概率為1，由于對A組和B組來說，至少有兩支弱隊的概率是相同的，所以A組中至少有兩支弱隊的概率為 .
8.從1，2,…,10這10個數(shù)字中有放回地抽取3次，每次抽取一個數(shù)字，試求3次抽取中最小數(shù)為3的概率.
解：有放回地抽取3次共有103個結(jié)果，因最小數(shù)為3又可分為：恰有一個3，恰有兩個3，恰有三個3.故最小數(shù)為3的結(jié)果有C ?72+C ?7+C ,
所求概率P（A）= =0.169.
答：最小數(shù)為3的概率為0.169.
探究創(chuàng)新
9.有點(diǎn)難度喲！
將甲、乙兩顆骰子先后各拋一次,a、b分別表示拋擲甲、乙兩顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).
（1）若點(diǎn)P（a,b）落在不等式組 表示的平面區(qū)域的事件記為A,求事件A的概率;
（2）若點(diǎn)P（a,b）落在直線x+y=m（m為常數(shù)）上,且使此事件的概率最大,求m的值.
解：（1）基本事件總數(shù)為6×6=36.

當(dāng)a=1時,b=1,2,3;
當(dāng)a=2時,b=1,2;
當(dāng)a=3時,b=1.
共有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）6個點(diǎn)落在條件區(qū)域內(nèi),
∴P（A）= = .
（2）當(dāng)m=7時,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共有6種,此時P= = 最大.
●思悟小結(jié)
求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步驟：
（1）先確定一次試驗(yàn)是什么,此時一次試驗(yàn)的可能性結(jié)果有多少，即求出A.
（2）再確定所研究的事件A是什么,事件A包括結(jié)果有多少,即求出m.
（3）應(yīng)用等可能性事件概率公式P= 計算.
●教師下載中心
點(diǎn)睛
1.一個隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性（對單次試驗(yàn)）,又存在著統(tǒng)計規(guī)律（對大量重復(fù)試驗(yàn)）,這是偶然性和必然性的對立統(tǒng)一.
2.隨機(jī)事件A的概率P（A）滿足0≤P（A）≤1.
（3）P（A）= 既是等可能性事件的概率的定義,又是計算這種概率的基本方法.
拓展題例
【例1】 某油漆公司發(fā)出10桶油漆，其中白漆5桶，黑漆3桶，紅漆2桶.在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)簽重新貼上，問一個定貨3桶白漆、2桶黑漆和1桶紅漆的顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？
解：P（A）= = .
答：顧客按所定的顏色得到定貨的概率是 .
【例2】 一個口袋里共有2個紅球和8個黃球，從中隨機(jī)地接連取3個球，每次取一個.設(shè){恰有一個紅球}=A，{第三個球是紅球}=B.求在下列條件下事件A、B的概率.
（1）不返回抽樣；
（2）返回抽樣.
解：（1）不返回抽樣,
P（A）= = ,P（B）= = .
（2）返回抽樣,

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