集合與簡易邏輯
內(nèi)容提要
一、集合概念及運算
一、集合的基本概念及運算
1.集合與元素：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集，通常用大寫字母A、B、C…表示.集合中的每一對象叫做集合的一個元素，通常用小寫字母a、b、c…表示
2.集合中元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性
二、集合與集合之間的關(guān)系
子集：如果x∈A，則x∈B，則集合A是集合B的子集
交集：
并集：
補集：設S是一集合，A是S的一子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做集A在全集S中的補集(或余集)，記作CSA.
三、運算性質(zhì)
1.交集的運算性質(zhì)
A∩B＝B∩A,A∩A＝A,A∩Φ＝Φ,A B A∩B＝A
2.并集的運算性質(zhì)
A∪B＝B∪A,A∪A＝A,A∪Φ＝A,A B A∪B＝B
3.補集的運算的性質(zhì)
CS(CSA)=A，CSΦ=S，CS(A∩B)＝(CSA)∪(CSB)，CS(A∪B)＝(CSA)∩(CSB)
四、有限集合的子集個數(shù)公式
設有限集合A中有n個元素，則A的子集個數(shù)有：C0n+C1n+C2n+…+Cnn＝2n個，其中真子集的個數(shù)為2n-1個，非空子集個數(shù)為2n-1個，非空真子集個數(shù)為2n-2個
二、絕對值不等式及一元二次不等式的解法
1、絕對值不等式
①f(x)＜a (a>0)
②f(x)＜g(x)
③f(x)＞g(x)
2、二次不等式解法
三、簡易邏輯、充要條件、反證法
1.命題的判斷
可以判斷真假的語句叫做命題；“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯連結(jié)詞
判斷復合命題的真假依據(jù)真值表
注：常見關(guān)鍵詞的否定



2.四種命題
在兩個命題中，如果第一個命題的條件(或題設)是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題
在兩個命題中，一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個命題叫做互否命題
在兩個命題中，一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題叫做互為逆否命題
3.充要條件
若A=>B，則A是B的充分條件，B是A的必要條件
若A=>B且B=>A，則A是B的充要條件
4.反證法
①反設：假設命題的結(jié)論不成立
②歸謬：從假設出發(fā)，推理，得出矛盾
③結(jié)論：判斷假設不正確,肯定命題正確

基礎(chǔ)訓練
☆1.有n個元素的集合{a1 ,a2 … , an }有___個子集，真子集____個，非空真子集____個

☆2.設全集U=R，集合P={x x≥1}，集合Q={x0＜x＜5＝，則(CUP)∩Q=____
☆3.已知集合A={x x2- 5x+4≤0}，B={x x＜a＝，若A∩B= A ，則a范圍______

☆4.不等式 1< 2x- 5≤ 9 解為___________;不等式 解集為_________

☆5.若B是A的充分不必要條件，則A是B的__________條件，┒B是┒A的_________條件

☆6. 若p： , q : 3x- 4 ＞ 2，則┒ p是┒q 的 ( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

☆7.方程 至少有一個負根，則( )
A、0 C、m<1 D、m≤1

☆8. 如圖,I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）
A.（M∩P）∩SB.（M∩P）∪S
C.（M∩P）∩ ISD.（M∩P）∪ IS



☆9.“ ”是“x<1或x>4”的（ ）
A、充分不必要條件 B、必要不充分條件
C、充要條件 D、既不充分也不必要條件

☆10.設集合A= {5,log2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},則A∪B= _________

☆11.設集合 ， ， 則集合 中元素的個數(shù)為（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4


典例評析


2、已知集合A = {a,a＋b,a＋2b}，B = {a,ac,ac2}．若A = B，求c的值分析：要解決c的求值問題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學思想，此題應根據(jù)相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關(guān)系式



3、已知集合A={xx2－3x－10≤0}，集合B={xp＋1≤x≤2p－1}．若B A，求實數(shù)p的取值范圍
注：空集是一個特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

變式1、已知集合 ， ，
， ，且 ，求實數(shù) 的取值范圍


變式2、已知集合 ，B={x-k

4、有下列四個命題：
①、命題“若 ，則 ， 互為倒數(shù)”的逆命題；
②、命題“面積相等的三角形全等”的否命題；
③、命題“若 ≤1，則 有實根”的逆否命題；
④、命題“若 ∩ = ，則 ”的逆否命題
其中是真命題的是


5、命題p：若a、b∈R，則a+b>1是a+b>1的充要條件；命題q：函數(shù)y= 的定義域是 .則（ ）
A．“p或q”為假 B．“p且q”為真 C．p真q假 D．p假q真

6、關(guān)于x的不等式 ax2 - 2ax + a2 - 2＞0，
（1）不等式的解集為R, 試求a的取值范圍；
（2）若解集為Φ,試求a的取值范圍


7、解下列關(guān)于x的不等式：① ②


變式：解不等式組


9、若p: ; q: x2-2x+1- m 2≤0(m >0),若┒ p是┒q的充分非必要條件,求m 范圍


10、用反證法證明：若 、 、 ，且 ， ， ，則 、 、 中至少有一個不小于0



11、．設全集U=R（1）解關(guān)于x的不等式 （2）記A為（1）中不等式的解集，集合 ，若 恰有3個元素，求a的取值范圍




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