第3講　隨機變量及其概率分布
(推薦時間：60分鐘)
一、填空題
1．甲、乙兩人進行圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為23，則甲以3∶1的比分獲勝的概率為________．
2．如果ξ～B15，14，則使P(ξ＝k)取最大值的k值為________．
3．從編號為1,2，…，10的10個大小相同的球中任取4個，則所取4個球的最大號碼是6的概率為________．
4．(2010?福建)某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為________．
5．(2011?上海)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布如下：
x123
P(ξ＝x)？��？
請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________.
6．甲射擊命中目標的概率是12，乙命中目標的概率是13，丙命中目標的概率是14.現(xiàn)在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為________．
7．在日前舉行的全國大學(xué)生智能汽車總決賽中，某高校學(xué)生開發(fā)的智能汽車在一個標注了平面直角坐標系的平面上從坐標原點出發(fā)，每次只能移動一個單位，沿x軸正方向移動的概率是23，沿y軸正方向移動的概率為13，則該機器人移動6次恰好移動到點(3,3)的概率為________．
8．設(shè)隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝59，則P(Y≥1)＝________.
9．在4次獨立重復(fù)試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在1次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是______．
10．在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率為________．
11．設(shè)l為平面上過點(0,1)的直線，l的斜率等可能地�。�22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐標原點到l的距離，則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________.
12．(2010?安徽)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號)．
①P(B)＝25；②P(BA1)＝511；③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P(B)的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中究竟哪一個發(fā)生有關(guān)．
二、解答題
13．某汽車駕駛學(xué)校在學(xué)員結(jié)業(yè)前對其駕駛技術(shù)進行4次考核，規(guī)定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需要參加下次考核．若小李參加每次考核合格的概率依次組成一個公差為18的等差數(shù)列，他參加第一次考核合格的概率超過12，且他直到參加第二次考核才合格的概率為932.
(1)求小李第一次參加考核就合格的概率P1；
(2)求小李參加考核的次數(shù)X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)．
14.在2011年5月某電視臺進行的一場搶答比賽中，某人答對每道題的概率都是13，答錯每道題的概率都是23，答對一道題積1分，答錯一道題積－1分，答完n道題后的總積分記為Sn.
(1)求答完5道題后，S1＝S5＝1的概率；
(2)答完5道題后，設(shè)ξ＝S5，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望．
15．甲袋和乙袋中裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個球，乙袋中共有2m個球，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為25，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P2.
(1)若m＝10，求甲袋中紅球的個數(shù)；
(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個紅球的概率是13，求P2的值；
(3)設(shè)P2＝15，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次．設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．
答 案
1. 827　2. 3或4　3. 121　4. 0.128　5. 2　6. 34　7. 160729　
8. 6581　9. [0.4,1)　10. 499 11. 47 12．②④
13．解　(1)由題意得(1－P1)?P1＋18＝932，
∴P1＝14或58.∵P1>12，∴P1＝58.
(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次為58，34，78，1，
所以P(X＝1)＝58，P(X＝2)＝932，
P(X＝3)＝1－581－34×78＝21256，
P(X＝4)＝1－581－341－78×1＝3256，
所以X的概率分布為
X1234
P58
932
21256
3256

∴E(X)＝1×58＋2×932＋3×21256＋4×3256＝379256.
14．解　(1)根據(jù)分析，隨機事件“答完5道題后，S1＝S5＝1”的概率是
P＝13×C24132×232＝881.
(2)若答對0或者5道題，則ξ＝5；
若答對1道題或者4道題，則ξ＝3；
若答對2道題或者3道題，則ξ＝1.
所以P(ξ＝1)＝C25132×233＋C35133×232＝4081；
P(ξ＝3)＝C15×13×234＋C45×134×23＝1027；
P(ξ＝5)＝135＋235＝1181.
所以ξ的概率分布為
Ξ135
P4081
1027
1181

ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝1×4081＋3×1027＋5×1181＝18581.
15．解　(1)設(shè)甲袋中紅球的個數(shù)為x，
依題意得x＝10×25＝4.
(2)由已知，得25m＋2mP23m＝13，
解得P2＝310.
(3)P(ξ＝0)＝35×45×45＝48125，
P(ξ＝1)＝25×45×45＋35×C12×15×45＝56125，
P(ξ＝2)＝25×C12×15×45＋35×152＝19125，
P(ξ＝3)＝25×152＝2125.
所以ξ的概率分布為
ξ0123
P48125
56125
19125
2125

所以E(ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45.

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