平衡條件的應(yīng)用
[本章本節(jié)概述]
本章講述有關(guān)力的基本知識(shí)，包括了以后學(xué)習(xí)的動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)所必須的預(yù)備知識(shí)，基礎(chǔ)性和預(yù)備性仍然是本章的特點(diǎn)。
力學(xué)平衡狀態(tài)是比較常見(jiàn)的力學(xué)狀態(tài)，研究物體力學(xué)平衡狀態(tài)的種類(lèi)，保持平衡狀態(tài)的條件，是本章的主要任務(wù)。物體的力學(xué)狀態(tài)與物體的受力情況緊密聯(lián)系。研究物體的平衡狀態(tài)，歸根結(jié)底就是研究物體的受力情況、研究物體保持平衡狀態(tài)的受力條件。
力的平衡要有正確的思路：首先確定研究對(duì)象，其次是正確分析物體的受力，然后根據(jù)平衡條件列方程求解。對(duì)于比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，可以用直角三角形的知識(shí)求解，對(duì)于不成直角的受力問(wèn)題可以用正交分解方法求解。
[設(shè)計(jì)]
目標(biāo) ：
1.能用共點(diǎn)力的平衡條件，解決有關(guān)力的平衡問(wèn)題；
2.進(jìn)一步學(xué)習(xí)受力分析，正交分解等方法。
3.學(xué)會(huì)使用共點(diǎn)力平衡條件解決共點(diǎn)力作用下物體平衡的思路和方法，培養(yǎng)靈活分析和解決問(wèn)題的能力。
教學(xué)重點(diǎn)：
共點(diǎn)力平衡條件的應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn)：
受力分析，正交分解法，共點(diǎn)力平衡條件的應(yīng)用。
教學(xué)方法：
以題引法，講練法，啟發(fā)誘導(dǎo)，歸納法。
課時(shí)安排：1~2課時(shí)
[教學(xué)過(guò)程]：

解共點(diǎn)力平衡問(wèn)題的一般步驟：

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：
復(fù)習(xí)
（1）如果一個(gè)物體能夠保持 靜止或 勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，我們就說(shuō)物體處于平衡狀態(tài)。
（2）當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)
a：物體所受各個(gè)力的合力等于 0 ，這就是物體在共點(diǎn)力作用下的平衡條件。
b：它所受的某一個(gè)力與它所受的其余外力的合力關(guān)系是 大小相等，方向相反 ，作用在一條直線(xiàn)上 。
教師歸納：
平衡狀態(tài): 勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，或保持靜止?fàn)顟B(tài)。
平衡條件: 在共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件是合力為零。即
F合＝0
以力的作用點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,則平衡條件又可表示為:
Fx＝0 Fy＝0
二 、新課教學(xué)：
例題1
如圖，一物塊靜止在傾角為37°的斜面上，物塊的重力為20N，請(qǐng)分析物塊受力并求其大�。�
　　分析：物塊受豎直向下的重力 G，斜面給物塊的垂直斜面向上的支持力 N，斜面給物塊的沿斜面向上的靜摩擦力 f．

解：方法1——用合成法
　�。�1）合成支持力 N和靜摩擦力 f，其合力的方向豎直向上，大小與物塊重力大小相等；
　�。�2）合成重力 G和支持力 N，其合力的方向沿斜面向下，大小與斜面給物塊的沿斜面向上的靜摩擦力 f的大小相等；
（3）合成斜面給物塊的沿斜面向上的靜摩擦力 f和重力G，其合力的方向垂直斜面向下，大小與斜面給物塊的垂直斜面向上的支持力N的大小相等．
合成法的講解要注意合力的方向的確定是唯一的，這有共點(diǎn)力平衡條件決定，關(guān)于這一點(diǎn)一定要與學(xué)生共同分析說(shuō)明清楚．（三力平衡：任意兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力大小相等、方向相反）
　　方法2——用分解法
　　理論上物塊受的每一個(gè)力都可分解，但實(shí)際解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際受力情況來(lái)確定分解哪個(gè)力(被確定分解的力所分解的力大小方向要明確簡(jiǎn)單易于計(jì)算)，本題正交分解物塊所受的重力 ，利用平衡條件 ， ，列方程較為簡(jiǎn)便．
（為了學(xué)生能真正掌握物體的受力分析能力，要求學(xué)生全面分析使用力的合成法和力的分解法，要有一定數(shù)量的訓(xùn)練．）
總結(jié)：解共點(diǎn)力平衡問(wèn)題的一般步驟：
1、選取研究對(duì)象。
2、對(duì)所選取的研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，并畫(huà)出受力圖。
3、對(duì)研究對(duì)象所受力進(jìn)行處理，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ汉铣煞ā⒎纸夥�、正交分解法等�?br>4、建立適當(dāng)?shù)钠胶夥匠獭?br>5、對(duì)方程求解，必要時(shí)需要進(jìn)行討論。
　　 拓展1： 一物塊靜止在傾角為 的斜面上，物塊的重力為 G，請(qǐng)分析物塊受力并分析當(dāng)傾角 慢慢減小到零的過(guò)程其大小的變化情況．
　　 解：依題意 用分解法將物塊受的重力 G正交分解，利用 ， 的平衡條件，得斜面給物塊的垂直斜面向上的支持力 N的大小為 ，
　　斜面給物塊的沿斜面向上的靜摩擦力 的大小 ．
　　物塊受的重力 G是不變的(關(guān)于這一點(diǎn)學(xué)生非常清楚)，根據(jù)數(shù)學(xué)的知識(shí)的分析可以知道當(dāng)傾角 慢慢減小到零的過(guò)程，
　　 逐漸增大，最后等于物塊的重力 G；
　　 逐漸減小，最后等于零．
　�。ㄟm當(dāng)?shù)臅r(shí)候，提醒學(xué)生分析的方法和結(jié)論；提醒學(xué)生極限法的應(yīng)用，即傾角 等于零時(shí)的極限情況下分析題目）
　　拓展2：一物塊放在傾角為 的斜面上，物塊的重力為 G，斜面與物塊的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，請(qǐng)分析物塊受力的方向并分析當(dāng)傾角 慢慢由零增大到90°的過(guò)程，物塊對(duì)斜面的壓力及受到的摩擦力大小的變化情況．
　　分析物塊受力： 時(shí)，只受兩個(gè)力重力 G和斜面給的支持力 N，此時(shí)沒(méi)有摩擦力；
　　　 時(shí)，物塊只受一個(gè)力，物塊的重力 G．(此亦為極限法處理)．
　　借此，和學(xué)生一起分析，可知物塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是變化的，既開(kāi)始時(shí)物塊靜止在斜面上，這時(shí)物塊受三個(gè)力．物塊的重力 G，斜面給物塊的支持力 N和斜面給物塊的靜摩擦力 f．
　　在斜面給物塊的靜摩擦力 f等于 時(shí)，物塊開(kāi)始滑動(dòng)，此時(shí)物塊依舊受三個(gè)力， 物塊的重力 G，斜面給物塊的支持力 N和斜面給物塊的滑動(dòng)摩擦力 f．物塊處于加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．(這里學(xué)習(xí)應(yīng)用了運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的分段處理方法)．在此基礎(chǔ)上分析每個(gè)力的大小變化情況．(利用物體平衡條件和滑動(dòng)摩擦力的性質(zhì)來(lái)分析求解)．
重力大小不變；斜面給物塊的支持力的大小逐漸減��；斜面給物塊的摩擦力的大小是先增大后減小．
課堂練習(xí)（詳解）
如圖所示,電燈的質(zhì)量為m ,BO與頂板間的夾角為α,AO繩水平,求繩AO、BO受到的拉力F1 、F2 是多少？
［分析］取電燈作為研究對(duì)象，分析它受到那些力的作用。如圖乙所示。它共受到三個(gè)力的作用：重力G＝mg，懸繩的拉力F1F2.
解法一:合成法
取電燈為研究對(duì)象。由共點(diǎn)力的平衡條件可知，F(xiàn)1和mg的合力F與F2大小相等、方向相反。從圖示的平行四邊形可求得：


解法二:正交分解法
解:取電燈作為研究對(duì)象,受三個(gè)共點(diǎn)力作用.以水平方向?yàn)閤軸,豎直方向?yàn)閥軸,將F2 分解在X軸和Y軸方向進(jìn)行分解,由平衡條件可知,FX合=0和FY合=0
Fx合=F1 ? F2sinα=0 （1）
Fy合=F2cosa-G=0 （2）
由（2）式解得：F2=mg/cosa
代入（1）式得:F1=F2sina=mgtga
解法三：分解法
取電燈為研究對(duì)象，受三個(gè)共點(diǎn)力作用，如圖所示，將
重力G分解為F 和F ，由共點(diǎn)力平衡條件可知，F(xiàn)1 和F 的合力必為零，F(xiàn)2 和F 的合力必為零。所以
F1 = F =mgtana F2 =F =mg/cosa

課堂練習(xí)：
如圖所示，重為10N的小球在豎直擋板作用下靜止在傾角為300的光滑斜面上，擋板也是光滑的，求：
1）擋板對(duì)小球彈力的大小
2）斜面對(duì)小球彈力的大小

例題2
如圖所示的情況，物體質(zhì)量為m,如果力F與水平方向的夾角為θ，物體和水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，那么，要使物體在水平面上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，力F的大小是多大?
[分析]
取物體作為研究對(duì)象。物體受到四個(gè)力的作用：豎直向下的重力G, 豎直向上的支持力，右斜向上的已知力F和水平向左的滑動(dòng)摩擦力f， 物體在這四個(gè)共點(diǎn)力的作用下處于平衡狀態(tài)。分別在水平和豎直方向上列出物體的平衡方程，即可求出F。

課堂練習(xí)：
物體A在水平力F1＝400N的作用下，沿傾角q＝60°的斜面勻速下滑，如圖甲。物體A受的重力G＝400N,求斜面對(duì)物體A的支持力和A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)m。
[分析] 取物體A作為研究對(duì)象。物體A受到四個(gè)力的作用：豎直向下的重量G,水平向右的力F1,垂直于斜面斜向上方的支持力N，平行于斜面向上的滑動(dòng)摩擦力f，如圖乙。其中G和F1是已知的。由滑動(dòng)摩擦定律f=mN可知，求得f和N就可以求出m 。
物體A在這四個(gè)共點(diǎn)力的作用下處于平衡狀態(tài)。分別在平行和垂直于斜面的方向上列出物體的平衡方程，即可求出N和f。
［解］ 取平行于斜面的方向?yàn)閤軸，垂直于斜面的方向?yàn)閥軸，分別在這兩個(gè)方向上應(yīng)用平衡條件求解。由平衡條件可知，在這兩個(gè)方向上的合力Fx合和Fy合應(yīng)分別等于零，即
Fx = f + F1cosθ－ Gsinθ= 0 (1)
Fy = N - F1sinθ－ Gcosθ = 0 (2)
由(2)式得
N = Gcosθ + F1sinθ= 564N
由（1）得
f = G sinθ ?F1cosθ=146 N
所求
μ= f/N =0.27
例3:
如圖所示,一個(gè)重為G的小球,夾在斜面與豎直擋板之間保持靜止,斜面傾角為30o,不計(jì)一切摩擦,小球?qū)π泵媾c豎直擋板的壓力各是多少?現(xiàn)使擋板從圖示豎直位置緩慢的順時(shí)針轉(zhuǎn)為水平, 這個(gè)過(guò)程中小球?qū)π泵媾c豎直擋板的壓力大小是怎么變化的？

“圖解法”解有關(guān)變力問(wèn)題： 所謂圖解法就是通過(guò)三角形或平行四邊形的鄰邊和對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)短的關(guān)系或變化情況，做一些較為復(fù)雜的定性分析，從圖上一下就可以看出結(jié)果，得出結(jié)論。
（先畫(huà)不變的力，再畫(huà)方向不變或大小不變的力，最后畫(huà)變化的力）


課堂練習(xí): 如圖所示, 用水平細(xì)線(xiàn)將電燈拉到圖示位置, 若保持燈的位置不變,將細(xì)線(xiàn)由水平位置順時(shí)針轉(zhuǎn)到豎直為止的過(guò)程中, 細(xì)線(xiàn)受到的拉力如何變化?
三．鞏固練習(xí)：
練習(xí)1
如圖所示，A和B的質(zhì)量分別是 4 kg和 10kg ，B 與地面間摩擦因數(shù)u=0.4 ，滑輪摩擦及繩重不計(jì)，整個(gè)裝置處于平衡狀態(tài)，此時(shí)地面對(duì)B的摩擦力大小為多少？對(duì)地面的壓力為多大？繩子拉力和摩擦力的合力方向是怎樣的？（g＝10N /kg）
練習(xí)2如圖所示，物體靜止在斜面上，斜面對(duì)物體作用力的方向是 （ ）
A 沿斜面向上
B垂直斜面向上
C 豎直向上
D 以上都不對(duì)
四．課堂小結(jié)
這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了以下幾點(diǎn)：
1、應(yīng)用共點(diǎn)力平衡條件解題時(shí)常用的方法————力的合成法、力的分解法、正交分解法
2、解共點(diǎn)力作用下物體平衡問(wèn)題的一般步驟：
1）確定研究對(duì)象
2）對(duì)所選研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，并畫(huà)出受力示意圖
3）分析研究對(duì)象是否處于平衡狀態(tài)
4）運(yùn)用平衡條件，選用適當(dāng)方法，列出平衡方程求解。
[教學(xué)建議]
1、物體處于平衡狀態(tài)，或者是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，反過(guò)來(lái)物體處于靜止或勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，物體就是處于平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)滿(mǎn)足的條件是合外力為零。既無(wú)論哪個(gè)方向上的合力都是零。
2、有關(guān)研究對(duì)象的選�。喝魡�(wèn)題中只有一個(gè)物體，一個(gè)過(guò)程，研究對(duì)象沒(méi)有選擇余地，也就是研究這個(gè)物體和這個(gè)過(guò)程。若問(wèn)題中是一個(gè)連接體，又有多個(gè)過(guò)程，首先研究誰(shuí)，再研究誰(shuí)；是研究一個(gè)物體為好還是研究多個(gè)物體為好，這在審題中需要認(rèn)真思考�？偟脑瓌t：首先被研究的應(yīng)該是受力最簡(jiǎn)、已知量足夠多的，這樣通過(guò)研究后又可將研究結(jié)果作為一個(gè)已知條件，為下一次研究創(chuàng)造條件。
3、正交分解法求解平衡問(wèn)題，建立坐標(biāo)軸的原則是讓盡可能多的力在坐標(biāo)軸上；被分解的力盡可能是已知力，不宜分解待求力。因一個(gè)待求力分解變成兩個(gè)待求力，給求解帶來(lái)很多不便。
4、平衡分為靜態(tài)平衡和動(dòng)態(tài)平衡。靜態(tài)平衡是指問(wèn)題處于靜止?fàn)顟B(tài)，動(dòng)態(tài)平衡指物體勻速運(yùn)動(dòng)，也可指在某方向上處于平衡狀態(tài)。
[備課資料]：
物體的平衡狀態(tài)是指物體處于靜止或勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即物體的加速度為零。由牛頓第二定律可知物體的平衡條件是物體所受的合外力為零，這一條件也是解決平衡問(wèn)題的基本依據(jù)。在這個(gè)基本結(jié)論的基礎(chǔ)上，我們可以得到一些推論，掌握這些推論，將會(huì)給解題帶來(lái)很大的方便。
推論1：若物體受到幾個(gè)力作用而處于平衡狀態(tài)，則其中任意一個(gè)力與其余幾個(gè)力的合力構(gòu)成一對(duì)平衡力。
例1. 如圖所示，某個(gè)物體在F1、F2、F3和F4四個(gè)共點(diǎn)力的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，若F4沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò) 而保持其大小不變，其它三個(gè)力的大小和方向均不變，則此時(shí)物體所受的合力大小為（　 ）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　 　D.
解析：物體受到四個(gè)力的作用而平衡，則其中一個(gè)力F4與余下的三個(gè)力F1、F2、F3的合力應(yīng)等大，反向。當(dāng)F4沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò) 而保持其大小不變時(shí)，F(xiàn)1、F2、F3的合力大小仍為F4，方向與F4成 角。由平行四邊形定則可知，此時(shí)物體所受合力大小為F4，故正確答案為C項(xiàng)。
推論2：當(dāng)物體受到三個(gè)力作用而平衡時(shí)，這三個(gè)力必在同一平面內(nèi)，且這三個(gè)力的作用線(xiàn)或作用線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)必相交于一點(diǎn)，這就是三力匯交原理。
例2. 如圖所示，AB為一不均勻直桿，長(zhǎng)為 ，將它用兩根細(xì)繩拴住兩端后懸掛于同一點(diǎn)O，當(dāng)AB在水平方向平衡時(shí)，兩繩與AB的夾角分別為 和 ，求桿的重心距B端的距離。
解析：以AB桿為研究對(duì)象，它共受到三個(gè)力的作用，即重力G和兩繩對(duì)它的拉力 、 。當(dāng)物體受到三個(gè)力的作用而平衡時(shí)，三個(gè)力的作用線(xiàn)必相交于同一點(diǎn)，因?yàn)?br>和 相交于O點(diǎn)，故桿受到的重力的作用線(xiàn)也必過(guò)O點(diǎn)。由于AB桿是水平的，過(guò)O點(diǎn)作AB桿的垂線(xiàn)相交于C，則C即為AB桿的重心。
由三角函數(shù)關(guān)系可得：
即AB桿的重心距B端的距離為l/4。
推論3：當(dāng)物體受到三個(gè)共點(diǎn)力作用而處于平衡時(shí)，某個(gè)力的大小與另兩個(gè)力所成角的正弦之比為常數(shù)，這一結(jié)論稱(chēng)為拉密定理。
例3. 如圖所示，一根均勻輕繩AB的兩端系在天花板上，在繩上一點(diǎn)C施加一拉力F，逐漸增大F，為使AC、BC兩段繩同時(shí)斷裂，則拉力F與AC繩間的夾角 應(yīng)為多少？
解析：AB是一根均勻輕繩，AC、BC兩段繩能承受的最大拉力T相同。由于已知 各角度，因此可利用拉密定理來(lái)解題。
以C點(diǎn)為研究對(duì)象，它受到拉力F及AC、BC繩對(duì)它的拉力。設(shè)當(dāng)兩繩同時(shí)被拉斷時(shí)，AC、BC繩中的拉力都為T(mén)，則由拉密定理得


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