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高一數(shù)學學習：集合大小定義的基本要求八

直覺的合理性和數(shù)學結構

在文章的最前面我們提到過，從直覺上說來，自然數(shù)的個數(shù)應該是正偶數(shù)的兩倍，這里難道沒有一點合理的因素在內(nèi)嗎?有時我們會聽到數(shù)學家說：“幾乎所有的自然數(shù)都不是素數(shù)。

”如果按照一一對應的原則，素數(shù)和自然數(shù)是一樣多的(第一個素數(shù)2對應1，第二個素數(shù)3對應2，第三個素數(shù)5對應3，……第n個素數(shù)對應n，……)，這不矛盾嗎?

數(shù)學并不依賴于直覺，但是尊重直覺，直覺中常常包含著合理的因素。受過數(shù)學訓練的人對數(shù)學的直覺一般來說要比其他人更有合理性，數(shù)學大師能夠用直覺把握住很深刻的數(shù)學理論，他們有時會說：“雖然我還沒有一個嚴格證明，但是我知道它是對的。”數(shù)學大師的直覺當然不是每個人能模仿的，但是我們的確可以改變對一些數(shù)學物體的想像方法，來改善自己的直覺，使得它更有合理性。

當我們談到集合的大小，這里所談論的集合應該是沒有附加的數(shù)學結構的。當所比較的集合都是自然數(shù)的子集時，直覺往往會偷偷地把自然數(shù)的數(shù)學結構加在上面。什么是數(shù)學結構?讓我們先從最一般的集合說起。當我們談論集合時，我們只應該把它看做一個裝著元素的大袋子，里面的元素之間沒有任何聯(lián)系，比如說自然數(shù)集合，我們應該想像那是一個裝了標了號的球(或者其他什么)的大袋子，球和球之間并沒有什么聯(lián)系，10并不一定非得在100的前面出現(xiàn)，如果你把口袋使勁抖抖，里面的球有些翻上來有些被壓到底下去，但這并不改變這個集合——這仍然是自然數(shù)集合。

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