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第五章 二元一次方程組
5.1認識二元一次方程組
專題 二元一次方程組解的規(guī)律探究
1. 下表反映了按一定規(guī)律排列的方程組和它們的解的對應關系：
方程組的序號方程組1方程組2方程組3…方程組n
（n為正整數(shù)）
方程組

…

方程組的解

…

（1）寫出方程組1的求解過程；
（2）請依據(jù)方程組和它們的解的變化規(guī)律，直接寫出方程組n和它的解．（n為正整數(shù)）

2. 下列是按一定的規(guī)律排列的方程組和它的解的解集的對應關系圖，若方程組集合中的方程組自左向右依次記作方程組1，方程組2，方程組3，…，方程組n.

（1）將方程組1的解填入圖中；
（2）請依據(jù)方程組和它的解的變化規(guī)律，將方程組n和它的解直接填入集合圖中（注意：1-n2=(1+n)(1-n)；
（3）若方程組 的解是 求的值，并判斷該方程組是否符合題中的規(guī)律．
答案：
1．解：（1）2x＋y＝3 ①x-2y＝4 ②，
由②得x=2y+4．③
把③代入①，得2(2y+4)+y=3．
解得y=-1．
把y=-1代入③,得x=2．
所以方程組1的解為
（2）方程組n為
它的解為
2．解：（1）依次填：1,0.
（2）依次填：x+y=1,x-ny=n ,n,1-n.
（3）∵方程組 的解是
∴10+9=16，
解得= ，
∵按照題中規(guī)律可知：是16的算術平方根，即=4，
∴矛盾．
∴該方程組不符合題中的規(guī)律．

5.2解二元一次方程組
專題 解二元一次方程組的探究性問題
2. 上數(shù)學課時，陳老師讓同學們解一道關于x、y的方程組 并請小方和小龍兩位同學到黑板上板演.可是小方同學看錯了方程（1）中的a，得到方程組的解為 小龍同學看錯了方程(2)中的b，得到方程組的解為 你能按正確的a、 b值求出方程組的解嗎？請試一試.

3．三個同學對問題“若方程組 的解是 ，求方程組 的解.”提出各自的想法.甲說：“這個題目好象條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說：“能不能把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以5，通過換元替換的方法來解決”.參考他們的討論，你認為這個題目的解應該是多少？

答案：
1.6 【解析】 兩式相加，得（+1）x=12，x= ，
當=1時，x=6，y=6-2=4；當=2時，x=4，y=4-2=2；
當=3時，x=3，y=3-2=1；當=4時，x= ，y= -2= ；
當=5時，x=2，y=2-2=0；當=6時，x= ，y= -2=- ；
當=7時，x= ，y= -2= ；當=8時，x= ，y= -2= ；
當=9時，x= ，y= -2= ；當=10時，x= ，y= -2= ；
當=11時，x=1，y=1-2=-1；當=12時，x= ，y= -2= ．
可見，滿足條件的值為1，2，3.其和為1+2+3=6．
2．解：由題意得方程組 解得
代入原方程組，得 解得
3．解：根據(jù)方程組解的定義,將 代入方程組 ,得
再根據(jù)丙同學的提示，將第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以5得 將 , ,代入上面方程組得
則當 時，不論a1,a2,b1,b2取何值方程組均成立，故知 .

5.3雞兔同籠
專題 圖表信息題
1. 如圖，在3×3的方陣圖中，填寫了一些數(shù)和代數(shù)式（其中每個代數(shù)式都表示一個數(shù)）
使得每行的3個數(shù)，每列的3個數(shù)，斜對角的3個數(shù)之和均相等．
（1）求x，y的值；
（2）畫圖完成此方陣圖．

2. 有三把梯子，分別是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步階梯上升的高度是一致的．每把梯子的扶桿長（即梯長）、頂檔寬、底檔寬如圖所示，并把橫檔與扶桿榫合處稱作連接點（如點A）．
（1）通過計算，補充填寫下表：
梯子種類兩扶桿總長（米）橫檔總長（米）連接點數(shù)（個）
五步梯42.010
七步梯
九步梯
（2）一把梯子的成本由材料費和加工費組成，假定加工費以每個連接點1元計算，而材料費中扶桿的單價與橫檔的單價不相等（材料損耗及其它因素忽略不計）．現(xiàn)已知一把五步梯、七步梯的成本分別是26元、36元，試求出一把九步梯的成本．

答案：
1．解：（1）由題意，得 解得
（2）如圖.

2．解：（1）七步梯、九步梯的扶桿長分別是5米、6米；
橫檔總長分別是： ×（0.4+0.6）×7=3.5(米)、 （0.5+0.7）×9=5.4(米)；
連接點個數(shù)分別是14個、18個.故依次填入:5,3.5,14,6,5.4,18.
（2）設扶桿單價為x元/米，橫檔單價為y元/米，
依題意得 解得
故九步梯的成本為6×3+5.4×2+1×18=46.8（元），
答：一把九步梯的成本為46.8元．

5.4增收節(jié)支
專題 方案設計問題
1.某中學擬組織九年級師生去韶山舉行畢業(yè)聯(lián)歡活動．下面是年級組長李老師和小芳、小
明同學有關租車問題的對話：
李老師：“平安客運公司有60座和45座兩種型號的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金比45座的貴200元．”
小芳：“我們學校八年級師生昨天在這個客運公司租了4輛60座和2輛45座的客車到韶山參觀，一天的租金共計5000元．”
小明：“我們九年級師生租用5輛60座和1輛45座的客車正好坐滿．”
根據(jù)以上對話，解答下列問題：
（1）平安客運公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元？
（2）按小明提出的租車方案，九年級師生到該公司租車一天，共需租金多少元？

2. （2012福建龍巖）已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
⑴1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？
⑵請你幫該物流公司設計租車方案；
⑶若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．

答案：
1．解：（1）設平安公司60座和45座客車每天每輛的租金分別為x元，y元．
由題意列方程組 ，解得 .
答：平安公司60座和45座客車每天每輛的租金分別為900元，700元.
（2）九年級師生共需租金：5×900+1×700=5200（元）.
答：共需租金5200元．
2．解：⑴設1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨x噸、y噸，根據(jù)題意得
，解得 ，
故1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨3噸、4噸．
⑵根據(jù)題意可得3a+4b=31，b= ，
使a，b都為整數(shù)的情況共有a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1三種情況，
故租車方案分別為: ○1A型車1輛，B型車7輛；○2 A型車5 輛，B型車4輛；
○3A型車9輛，B型車1輛．
⑶設租車費為w元，則w=100a+120b，
方案○1租車費為100×1+120×7=940(元)；
方案○2租車費為100×5+120×4=980(元)；
方案○3租車費為100×9+120×1=1020(元)．
故方案（1）最省錢，即租用A型車1輛，B型車7輛．最少租車費為940元.

5.5里程碑上的數(shù)
專題 行程問題
1. 一輛汽車在公路上勻速行駛，司機在路邊看到一個里程碑上是一個兩位數(shù)，行駛一小時后，他看到的里程碑上的數(shù)，恰好是第一個里程碑上的數(shù)顛倒順序后的兩位數(shù)，再過一小時，他看到的里程碑上的數(shù)，又恰好是第一次看到的兩位數(shù)中間添上一個零的三位數(shù)，那么他第一次看到的兩位數(shù)是（　　）
A．14B．15C．16D．17
2. 某人在電車路軌旁與路軌平行的路上行走，他留意到每隔6分鐘有一部電車從他后面駛向前面，每隔2分鐘有一部電車從對面駛向后面．假設電車和此人行走的速度都不變（分別為 表示），請你根據(jù)下面的示意圖，求電車每隔幾分鐘（用 表示）從車站開出一部？

3. 甲、乙兩人分別從相距30千米的A、B兩地同時相向而行，經過3小時后相距3千米，再經過2小時，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度．

答案：
1．C 【解析】 設第一次他看到的兩位數(shù)的個位數(shù)為x，十位數(shù)為y，汽車行駛速度為v，根據(jù)題意得
解得x=6y.
∵xy為1-9內的自然數(shù)，∴x=6，y=1；
即兩位數(shù)為16．
答：他第一次看到的兩位數(shù)是16．
2．解：根據(jù)題意得
，解得 ．
（分鐘）．
答：電車每隔3分鐘從車站開出一部．
3．解：設甲的速度為xk/h，乙的速度為yk/h，則有兩種情況：
（1）當甲和乙相遇前相距3千米時，
依題意得
解得
（2）當甲和乙相遇后相距3千米時，
依題意得
解得
答：甲乙兩人的速度分別為4k/h、5k/h或 k/h， k/h．

5.6二元一次方程組與一次函數(shù)
專題 二元一次方程組與一次函數(shù)關系的應用
1. (2012江蘇鎮(zhèn)江)甲、乙兩車從A地將一批物品勻速運往B地，甲出發(fā)0.5小時后乙開始出發(fā)，結果比甲早1小時到達B地．如圖，線段OP、N分別表示甲、乙兩車離A地的距離s(千米)與時間t（小時）的關系，a表示A、B兩地間的距離．請結合圖象中的信息解決如下問題：
(1)分別計算甲、乙兩車的速度及a的值；
(2)乙車到達B地后以原速立即返回，請問甲車到達B地后以多大的速度立即勻速返回，才能與乙車同時回到A地？并在圖中畫出甲、乙在返回過程中離A地的距離s（千米）與時間t（小時）的函數(shù)圖象．

2. 小華觀察鐘面（圖1），了解到鐘面上的分針每小時旋轉360度，時針每小時旋轉30度.他為了進一步研究鐘面上分針與時針的旋轉規(guī)律，從下午2:00開始對鐘面進行了一個小時的觀察.為了研究方便，他將分針與原始位置OP（圖2）的夾角記為y1度，時針與原始位置OP的夾角記為y2度（夾角是指不大于平角的角），旋轉時間記為t分鐘，觀察結束后，他利用所得的數(shù)據(jù)繪制成圖象（圖3），并求出了y1與t的函數(shù)關系式： .
請你完成：
（1）求出圖3中y2與t的函數(shù)關系式；
（2）直接寫出A、B兩點的坐標，并解釋這兩點的實際意義；
（3）若小華繼續(xù)觀察一小時，請你在圖3 中補全圖象.

答案：
1．解：（1）由題意知，甲的速度為 k/h，乙的速度為 k/h.
設甲到達B地的時間為t，則 解得t=4.5，a=180.
（2）如圖，線段PE、NE分別表示甲、乙兩車返回時離A地的距離s（千米）與時間
（小時）的關系，點E的橫坐標為： ，若甲、乙兩車同時返回A地， 則甲返回時需用的時間為： （小時），∴甲返回的速度為90k/h.
圖象如圖所示．

2．解：（1）由圖3可知：y2的圖象經過點（0,60）和（60,90），設y2=at+b，則
， 解得 .
∴圖3中y2與t的函數(shù)關系式為：y2= t+60.
（2）A點的坐標是A（ , ），點A是 和y2= t+60的交點；B點的坐標是B（ , ），點B是 和y2= t+60的交點.
（3）補全圖象如下：

5.7三元一次方程
專題 三元一次方程的應用
1．小明、小敏、小新商量要在畢業(yè)前夕給老師辦公室的4道窗戶剪貼窗花表達大伙的尊師之情．小明說：“我來出一道數(shù)學題：把剪4個窗花的任務分配給3個人，每人至少剪個，有多少種分配方法”小敏想了想說：“設各人的任務為x、y、z，可以列出方程x+y+z=4．”小新接著說：“那么問題就成了問這個方程有幾個正整數(shù)解．”現(xiàn)在請你說說看：這個方程正整數(shù)解的個數(shù)是（　�。�
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
2．某步行街擺放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景．甲種盆景由15朵紅花、24朵黃花和25朵紫花搭配而成；乙種盆景由10朵紅花、12朵黃花搭配而成；丙種盆景由10朵紅花、18朵黃花和25朵紫花搭配而成．這些盆景一共用了2900朵紅花，3750朵紫花，則黃花一共用了 朵．
3．把數(shù)字1，2，3，…，9分別填入下圖的9個圈內，要求三角形ABC和三角形DEF的每條邊上三個圈內的數(shù)字之和都等于18．
（1）給出一種符合要求的填法；
（2）共有多少種不同填法？證明你的結論．

答案：
1．D 【解析】（1）當x=1時，y=1，z=2或y=2，z=1；
（2）當y=1時，x=1，z=2或x=2，y=1；
（3）當z=1時，x=1，y=2或y=1，x=2．
故選D．
2．4380 【解析】設步行街擺放有甲、乙、丙三種造型的盆景分別有x盆、y盆、z盆．
由題意，有 ，
由①，得3x+2y+2z=580，③
由②，得x+z=150，④
把④代入③，得x+2y=280，
∴2y=280?x，⑤
由④得z=150?x．⑥
∴4x+2y+3z=4x+（280?x）+3（150?x）=730，
∴24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．
故黃花一共用了4380朵．
3.解：（1）如圖給出了一個符合要求的填法.

（2）共有6種不同填法.
證明:把填入A，B，C三處圈內的三個數(shù)之和記為x；D，E，F(xiàn)三處圈內的三個數(shù)之和記為y；其余三個圈所填的數(shù)位之和為z．顯然有x+y+z=1+2+…+9=45，①
圖中六條邊，每條邊上三個圈中之數(shù)的和為18，所以有z+3y+2x=6×18=108，②
②-①，得x+2y=108-45=63，③
把AB，BC，CA邊上三個圈中的數(shù)相加，則可得2x+y=3×18=54，④
聯(lián)立③，④，解得x=15，y=24，
繼而解得之z=6．
在1，2，3，…，9中三個數(shù)之和為24的僅為7，8，9，所以在D，E，F(xiàn)三處圈內，只能填7，8，9三個數(shù)，共有6種不同填法．
顯然，當這三個圈中的數(shù)一旦確定，根據(jù)題目要求，其余六個圈內的數(shù)也隨之確定，從而得結論，共有6種不同的填法．

山
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