4.8 相似多邊形的性質(zhì)
一、目標導航
1．相似三角形對應高的比，對應角平分線的比和對應中線的比都等于相似比；
2．相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
二、基礎(chǔ)過關(guān)
1．若兩個相似多邊形面積比為 ，則它們的周長比是 ．
2．若△ABC∽△A B C ，AB=4，BC=5，AC=6，△A B C 的最大邊長為15，那么它們的相似比是________，△A B C 的周長是________．
3．兩個相似三角形對應角平分線之比為1:4．則它們的周長比為 ，面積比為 ．
4．若DE為△ABC的中位線，且DE//BC，則△ADE與△ABC的面積比為 ．
5．兩個相似三角形的相似比為2∶3，它們周長的差是25，那么較大三角形的周長
是________．
6．如圖，在□ABCD中，延長AB到E，使BE= AB，延長CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H，則△BEG與△CFG的面積之比是________．
7．把一個三角形改做成和它相似的三角形，如果面積縮小到原來的 倍，那么邊長應縮小到原來的________倍．
8．如果兩個相似三角形的面積比為9:25，而第一個三角形的周長為36，那么第二個三角形周長是 ．
三、能力提升
9．把一個矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點連線EF對折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形長與寬的比為（ ）
A．2∶1 B． ∶1C． ∶1D．4∶1
10．在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點，△ADE和四邊形BCED的面積分別記為S1、S2，那么 的值為（ ）
A． B． C． D．
11．在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，若S =3S ，則AB∶AC等于（ ）
A．1∶3B．1∶4 C．1∶ D．1∶2
12．順次連結(jié)三角形三邊的中點，所成的三角形與原三角形對應高的比是（ ）
A．1∶4B．1∶3 C．1∶ D．1∶2
13．如圖，DF//EG//BC，AD=DE=EB，則面積比S :S :S 等于( )
A．1:1:2 B．1:3:5 C．1:2:3 D．1:4:9
14．如圖，若∠C=90 ，AD=DB，ED⊥AB，AB=20，AC=12，則四邊形ADEC的面積為( )
A．75 B．58.5 C．48 D．37
15．在梯形ABCD中，AB//CD，若DB，AC交于點O，且△DCO的面積與△DCB的面積比為1:3，則△CDO與△ABO的面積比等于( )
A．1:9 B．1:7 C．1:4 D．1:5
16．如圖，BE//CD，AB:BC=2:3，則 =( )
A．2:3 B．4:15 C．4:21 D．4:17
17．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，現(xiàn)在要把它裁剪成一個正方形備用，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，問這個正方形的邊長是多少？
18．如圖，在△ABC中，DE//BC，EF//AB，已知△ADE和△EFC的面積分別是4cm 和9cm ,求△ABC的面積．
19．正方形ABCD中，E是AC上一點，EF⊥AB，EG⊥AD，AB =6，AE:EC = 2:1．求四邊形AFEG的面積．
20．如圖，□ABCD中，M為BC中點，AN=3MN，BN的延長線交AC于E，交CD于F．⑴求AE:EC的值;⑵當S =9時，求S ．
21．如圖， △ABC中，AB=4，D在AB邊上移動(不與A，B重合)，DE//BC交AC于E，連結(jié)CD，設 ， ．⑴當D為AB中點時，求 的值;
⑵若AD= ， ，求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．
四、聚沙成塔
22．如圖，梯形ABCD中，AD//BC，CE平分∠BCD，且CE⊥AB于E， ， =14cm ．求四邊形ADCE的面積．
23．△ABC中，AB=AC=10，BC=12，動點D在邊AB上，DE⊥AB，點E在BC上，點F在邊AC上，且∠DEF=∠B，當點D在AB上運動時，⑴ 可能等于 的二倍嗎?若可能，請求出BD的長;若不可能，請說明理由．⑵ 可能等于 的四倍嗎?若可能，請求出BD的長;若不可能，請說明理由．
24．在Rt△ABC中， ∠C=90 ，AC=3，BC=4，點E在直角邊AC上(點E與A，C兩點均不重合)，點F在斜邊AB上(點F與A，B均不重合)．⑴若EF平分Rt△ABC周長，設AE的長為 ，試用含 的代數(shù)式表示△AEF的面積；⑵是否存在線段EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分?若存在，求出此時AE的長;若不存在，說明理由．
25．如圖，在△ABC中，DE//BC，在AB上取一點F，使 ．
求證:AD =AB?BF．
26．某生活小區(qū)的居民籌集資金1600元，在一塊上、下底分別為10米，20米的梯形空地上種植花木如圖①，⑴他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/?，當△AMD地帶種滿花后（圖中陰影部分）共花了160元，請計算種滿△BMC地帶所需費用．⑵若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉兩種花木可供選擇，單價分別為12元/?和10元/?，應選擇哪種花木，剛好用完所籌集的資金．⑶若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變（如圖②）請你設計一種花壇圖案，即在梯形內(nèi)找到一點P，使得△APB≌△DPC，且S =S ，并說明你的理由．
27．將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折線交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC交于點G，⑴如果M為CD的中點，求證:DE∶DM∶EM=3∶4∶5．⑵如果M為CD上任一點，設AB=2a，問△CMG的周長是否與點M的位置有關(guān)?若有關(guān)，請把△CMG的周長用含DM的長x（即DM=x）的代數(shù)式表示；若無關(guān)，請說明理由．
28．如圖，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上（與A、C不重合），Q在BC上．
⑴當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長．
⑵當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長．
⑶試問:在AB上是否存在一點M，使得△PQM為等腰直角三角形，若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出PQ的長．
29．已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點，且AD=AC，DE⊥BC交AB于點E，EC與AD相交于點F．⑴求證:△ABC∽△FCD；⑵若S =5，BC=10，求DE的長．
30．如圖，已知，在△ABC中，BA=BC=20?，AC=30?，點P從A點出發(fā)，沿AB以4?/s的速度向點B運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以3?/s的速度向A點運動，設運動時間為x，
⑴當x為何值時，PQ∥BC；
⑵當 =1:3時，求 的值；
⑶△APQ能否與△CQB相似，若能，求出AP的長，若不能，請說明理由．
31．如圖，△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連結(jié)AE．
⑴寫出圖中所有相等的線段，并加以說明；
⑵圖中有無相似三角形，若有，請寫出一對，若沒有，請說明理由；
⑶求△BEC與△BEA的面積之比．
4．8相似多邊形的性質(zhì)
1．2:3；2．2:5，37.5；3．1:4，1:16；4．1:4；5．75；6．1:16；7． ；8．60；9．C；10．C；11．C；12．D；13．B；14．B；15．C；16．B；17．4.8cm；18．25；19．16；20．⑴提示:延長AD，BF交于G．AE:EC=3:2．⑵4．
21．⑴S :S=1:4．⑵ (0＜ ＜4)．22．提示:延長BA，CD交于點F．面積= ．23． ⑴可能，此時BD= ．⑵不可能，當S 的面積最大時，兩面積之比= ＜4．
24．⑴S = ．⑵存在．AE= ．
25．略．
26． ⑴640元．⑵選種茉莉花．⑶略．
27． ⑴利用勾股定理問題即可解決．⑵答:無關(guān)．利用△MCG∽△MDE的周長比等于相似比可求得△MCG的面積=4 ．
28． ⑴CP=2 ．⑵CP= ．⑶分兩種情況①PQ= ，②PQ= ．
29．提示:作△ABC的高AG． ⑴略．⑵DE= ．
30． ⑴ = s．⑵2:9．⑶AP= 或20．


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