用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結而成的式子，叫做代數(shù)式，有理式和無理式統(tǒng)稱代數(shù)式，整式和 分式統(tǒng)稱有理式．
有條件的二次根式的化簡求值問題是代數(shù)式的化簡求值的重點與難點．這類問題包容了有理式的眾多知識，又涉及最簡根式、同類根式、有理化等二次根式的重要概念，同時聯(lián)系著整體代入、分解變形、構造關系式等重要的技巧與方法，解題的關鍵是，有時需把已知條件化簡，或把已知條件變形，有時需把待求式化簡或變形，有時需把已知條件和待求式同時變形．
例題求解
【例l】已知 ，那么 的值 等于 ．
(河北省初中數(shù)學創(chuàng)新與知識應用競賽題)
思路點撥 通過平方或分式性質，把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用 的代數(shù)式表示．
【例2】 滿足等式 的正整數(shù)對(x，y)的個數(shù)是( )
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)
思路點撥 對條件等式作類似于因式分解的變形，將問題轉化為求不定方程的正整數(shù)解．
【例3】已知a、b是實數(shù)，且 ，問a、b之間有怎樣的關系?請推導．
(第20屆俄羅斯數(shù)學奧林匹克競賽題改 編)
思路點撥 由特殊探求一般，在證明一般性的過程中， 由因導果，從化簡條件等式入手，而化簡的基本方法是有理化．
【例4】 已知： (0 (四川省中考題)
思路點撥 視 為整體，把 平 方 ，移項用含a代數(shù)式表示 ，注意0 【例5】 (1)設a、b、c、d為正實數(shù)，aad，有一個三角形的三邊長分別為 ， ， ，求此三角形的面積；
( “五羊杯”競賽題)
（2）已知a，b均為正數(shù)，且a+b=2，求U= 的最小值．
(北京市競賽題)
思路點撥 (1)顯然不能用面積公式求三角形面積(為什么?)， 的幾何意義是以a、c為直角邊的直角三角形的 斜邊，從構造圖形人手，將復雜的根式計算轉化為幾何問題加以解決；(2)用代數(shù)的方法求U的最小值較繁，運用對稱分析，借助圖形求U的最小值．
學力訓練
1．已知 ， ，那么代數(shù)式 值為 ．
2．若 (03．已知 ，則 的值．
(2武漢市中考題)
4．已知a是 的小數(shù)部分，那么代數(shù)式 的值為 ．
(黃石市中考題)
5．若 ，則 的值是( )
A．2 B．4 C．6 D． 8 (河南省競賽題)
6．已知實數(shù)a滿足 ，那么 的值是( )
A．1999 B．2000 C ．2001 D．2002
7．設 ， , ，則a、b、c之間的大小關系是( )
A．a8．設 ，則 的值為( )
A． B． C． D ．不能確定
9．若a>0，b>0， 且 ，求 的值．
10．已知 ，化簡 ．
11．已知 ，那么 = ．
( “信利杯”全國初中數(shù)學競賽題)
12．已知 ，則 = ．
13．已知 的最小值為= ．（“希望杯”邀請賽試題）
14．已知 ，則 = ．
(江蘇省競賽題)
15．1+a2如果 ， ， ，那么a3b3－c3的值為( )
A．2002 B．200 1 C．1 D．0
(武漢市選拔賽試題)
16．已知 ， ， ，那么a、b、c的大小關系是( )
A．a (全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)
17．當 時，代數(shù)式 的值是( )
A． 0 B．一1 C． 1 D．－ 22003 (2002年紹興市競賽題)
18．設a、b、c為有理數(shù)，且等式 成立，則2a+999b+1001c的值是( )
A．1999 B． 2000 C． 2001 D．不能確定
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
19．某船在點O處測得一小島上的電視塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到達B處，測得電視塔在船的西北方向，問再向西航行多少海里，船離電視塔最近?
20．已知實數(shù) a、b滿足條件 ，化簡代數(shù)式 ，將結果表示成不含b的形式．
21．已知 (a>0)，化簡： ．

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