第十六講 完美的正方形
有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形，換句話說：正方形是各邊都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性質(zhì)．
矩形、菱形，正方形都是特殊的四邊形，它們的概念交錯，關系復雜，性質(zhì)有許多相似之處，一些判定和性質(zhì)定理又是可逆的，所以在學習中注重概念的理解，著眼于概念間的區(qū)別與聯(lián)系．
連正方形的對角線，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常與直角三角形聯(lián)系在一起，所以在解有關正方形問題時要用到直角三角形性質(zhì)，具有代 數(shù)風格，體現(xiàn)數(shù)形結合思想．熟悉以下基本圖形，基本結論：
例題求解
【例1】如圖，若四邊形ABCD是正方形，△CDE是等邊三角形，則∠EA B的度數(shù)為
．(北京市競賽題)
思路點撥 圖中還有等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)計算．

注 可以證明，在所有用長相等的四邊形中，正方形的面積最大．
我們熟悉的“七巧板”，那是把一塊正方形板切分成三角形、正方形、平行四邊形的7塊，用它可以拼出許多巧妙的圖形，“七巧板”是我國古代人民智慧的結晶．
【例2】 如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過O作OC⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE=4 ，CF=3，則EF的長為( )
A．7 B．5 C．4 D．3
(江蘇省泰州市中考題)


思路點撥 AE、CF、EF不在同一個三角形中，運用全等三角形尋找相等的線段，使分散的條件集中到同一個三角形中．
【例3】 如圖，正方形ABCD中，E、F是AB、BC邊上兩點，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求證：DC=DA．
(重慶市競賽題)

思路點撥 構造AE+FC的線段是解本例的關鍵．
【例4】 已知正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MN⊥DM且交∠CBZ的平分線于N(如圖甲)．
(1)求證：MD=MN
(2)若將上述條件中的“M是AB中點”改為“M是AB上的任意一點”，其余條件不變(如圖乙)，則結論“MD=MN”還成立嗎?如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由．
(上海市閩行區(qū)中考題)
思路點撥 對于圖甲，取AD中點F，通過構造全等三角形證明MD=MN；這種證法能否遷移到圖乙情景中去?從而作出正確的判斷．
注 探索是學習的生命線，深入探究、學會探索是時代提出的新要求．數(shù)學解題中的探索活動可從以下幾個方面進行：
(1)在題設條件不變情況下，發(fā)現(xiàn)挖掘更多的結論；
(2)通過強化或弱化來改變條件，考查結論是否改變或尋求新的結論；
(3)構造逆命題．
對于例3，請讀者思考，在不改變題設條件的前提下，
(1)∠EDF等于多少度?
(2)怎樣證明明逆命題?
例4改變點的位置，賦以運動，從特殊到一般，(1)的結果為(2)的猜想提供了借鑒的依據(jù)，又為猜想設置了障礙，前面的證明思路是后面的證明模式．
【例5】 操作：將一把三角尺放在邊長為l的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q．
探究：設A，P兩點間的距離為x
(1)當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系?試證明你觀察得到的結論；
(2)當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的關系式，并寫出x的取值范圍；
(3)當 點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x的值；
如果不可能，試說明理由(圖1、圖2、圖3的形狀大小相同，圖1供操作、實驗用，圖2、圖3備用)．
思路點撥 本例是探究式的操作型試題，第(1)問需抓住滑動中∠BPQ是直角這一不變量，畫出滑動中一般情形的圖形，通過觀察提出猜想，再給予論證，第(3)問需要在操作中觀察出使△PCQ是等腰三角形的兩種情形．
注 數(shù)學學習是一個生動活潑的過程，動手實踐，自主探索是學習數(shù)學的重要形式，它說明了存在的事實是怎樣被發(fā)現(xiàn)和被發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象又是怎樣獲得證實的，解這類問題，需邊操作，邊觀察、邊思考，綜合運用相關知識方法探究結論．
學力訓練
1．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，將△ABP繞點B順時針方向旋轉能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ． 河南省中考題)
2．如圖，正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，CE=CF，若∠BEC=60°，則∠EFD的度數(shù)為 ． (蘇州市中考題)
3．如圖，∠POQ=90°，邊長為2?的正方形ABCD的頂點B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，則A、D到OP的距離分別為 ． (南京市中考題)

4．如圖，正方形ABCD中，CE⊥MN，若∠MCE＝35°，則∠ANM的度數(shù)是 ．
5．如圖，E是邊長為l的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE=BC，P為CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R，則PQ+PR的值為( ) (河北省中考題)

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