31、（2013•溫州）如圖，在方格紙中，△ABC的三個頂點和點P都在小方格的頂點上，按要求畫一個三角形，使它的頂點在方格的頂點上．
（1）將△ABC平移，使點P落在平移后的三角形內(nèi)部，在圖甲中畫出示意圖；
（2）以點C為旋轉中心，將△ABC旋轉，使點P落在旋轉后的三角形內(nèi)部，在圖乙中畫出示意圖．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-平移變換．
專題：圖表型．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結構，把△ABC向右平移后可使點P為三角形的內(nèi)部的三個格點中的任意一個；
（2）把△ABC繞點C順時針旋轉90°即可使點P在三角形內(nèi)部．
解答：解：（1）平移后的三角形如圖所示；

（2）如圖所示，旋轉后的三角形如圖所示．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結構是解題的關鍵．

32、（13年安徽省4分、14）已知矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=2，將該紙片疊成一個平面圖形，折痕EF不經(jīng)過A點（E、F是該矩形邊界上的點），折疊后點A落在A，處，給出以下判斷：
（1）當四邊形A，CDF為正方形時，EF=
（2）當EF= 時，四邊形A，CDF為正方形
（3）當EF= 時，四邊形BA，CD為等腰梯形；
（4）當四邊形BA，CD為等腰梯形時，EF= 。
其中正確的是 （把所有正確結論序號都填在橫線上）。

33、（2013•巴中）△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示．
（1）作△ABC關于點C成中心對稱的△A1B1C1．
（2）將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標（不寫解答過程，直接寫出結果）

考點：作圖-旋轉變換；軸對稱-最短路線問題；作圖-平移變換．
分析：（1）延長AC到A1，使得AC=A1C1，延長BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出圖象；
（2）根據(jù)△A1B1C1將各頂點向右平移4個單位，得出△A2B2C2；
（3）作出A1的對稱點A′，連接A′C2，交x軸于點P，再利用相似三角形的性質(zhì)求出P點坐標即可．
解答：解；（1）如圖所示：

（2）如圖所示：

（3）如圖所示：作出A1的對稱點A′，連接A′C2，交x軸于點P，
可得P點坐標為：（，0）．

點評：此題主要考查了圖形的平移與旋轉和相似三角形的性質(zhì)等知識，利用軸對稱求求最小值問題是考試重點，同學們應重點掌握．

34、（2013•張家界）如圖，在方格紙上，以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形，請按要求完成下列操作：先將格點△ABC繞A點逆時針旋轉90°得到△A1B1C1，再將△A1B1C1沿直線B1C1作軸反射得到△A2B2C2．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-軸對稱變換．
分析：△ABC繞A點逆時針旋轉90°得到△A1B1C1，△A1B1C1沿直線B1C1作軸反射得出△A2B2C2即可．
解答：解：如圖所示：

點評：此題主要考查了圖形的旋轉變換以及軸對稱圖形，根據(jù)已知得出對應點位置是解題關鍵．
　
35、（2013•淮安）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的兩格中，點A、B、C都是格點．
（1）將△ABC向左平移6個單位長度得到得到△A1B1C1；
（2）將△ABC繞點O按逆時針方向旋轉180°得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-平移變換．
分析：（1）將點A、B、C分別向左平移6個單位長度，得出對應點，即可得出△A1B1C1；
（2）將點A、B、C分別繞點O按逆時針方向旋轉180°，得出對應點，即可得出△A2B2C2．
解答：解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；

（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求．

點評：此題主要考查了圖形的平移和旋轉，根據(jù)已知得出對應點坐標是解題關鍵．

36、（2013•眉山）如圖，在11×11的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．
（1）在圖中作出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1；（要求A與A1，B與B1，C與C1相對應）
（2）作出△ABC繞點C順時針方向旋轉90°后得到的△A2B2C；
（3）在（2）的條件下直接寫出點B旋轉到B2所經(jīng)過的路徑的長．（結果保留π）

考點：作圖-旋轉變換；弧長的計算；作圖-軸對稱變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B、C關于直線l的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B繞點C順時針旋轉90°后的A2、B2的位置，然后順次連接即可；
（3）利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)弧長公式列式計算即可得解．
解答：解：（1）△A1B1C1如圖所示；

（2）△A2B2C如圖所示；

（3）根據(jù)勾股定理，BC= = ，
所以，點B旋轉到B2所經(jīng)過的路徑的長= = π．

點評：本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用旋轉變換作圖，以及弧長的計算，熟練掌握網(wǎng)格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．

37、（2013•昆明）在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的位置如圖所示，解答下列問題：
（1）將四邊形ABCD先向左平移4個單位，再向下平移6個單位，得到四邊形A1B1C1D1，畫出平移后的四邊形A1B1C1D1；
（2）將四邊形A1B1C1D1繞點A1逆時針旋轉90°，得到四邊形A1B2C2D2，畫出旋轉后的四邊形A1B2C2D2，并寫出點C2的坐標．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-平移變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B、C、D平移后的對應點A1、B1、C1、D1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結構找出B1、C1、D1繞點A1逆時針旋轉90°的對應點B2、C2、D2的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標系寫出點C2的坐標．
解答：解：（1）四邊形A1B1C1D1如圖所示；

（2）四邊形A1B2C2D2如圖所示，
C2（1，?2）．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結構，準確找出對應點的位置是解題的關鍵．

38、（13年安徽省8分、17）如圖，已知A（—3，—3），B（—2，—1），C（—1，—2）是直角坐標平面上三點。
（1）請畫出ΔABC關于原點O對稱的ΔA1B1C1，
（2）請寫出點B關天y軸對稱的點B2的坐標，若將點B2向上平移h個單位，使其落在ΔA1B1C1內(nèi)部，指出h的取值范圍。

39、（2013•欽州）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為（2，4），請解答下列問題：
（1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標．
（2）畫出△A1B1C1繞原點O旋轉180°后得到的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-軸對稱變換．3718684
分析：（1）分別找出A、B、C三點關于x軸的對稱點，再順次連接，然后根據(jù)圖形寫出A點坐標；
（2）將△A1B1C1中的各點A1、B1、C1繞原點O旋轉180°后，得到相應的對應點A2、B2、C2，連接各對應點即得△A2B2C2．
解答：解：（1）如圖所示：點A1的坐標（2，?4）；

（2）如圖所示，點A2的坐標（?2，4）．

點評：本題考查圖形的軸對稱變換及旋轉變換．解答此類題目的關鍵是掌握旋轉的特點，然后根據(jù)題意找到各點的對應點，然后順次連接即可．

40、（2013•郴州）在圖示的方格紙中
（1）作出△ABC關于N對稱的圖形△A1B1C1；
（2）說明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過怎樣的平移得到的？

考點：作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B、C關于N的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)結合圖形解答．
解答：解：（1）△A1B1C1如圖所示；

（2）向右平移6個單位，再向下平移2個單位（或向下平移2個單位，再向右平移6個單位）．

點評：本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結構準確找出對應點的位置以及變化情況是解題的關鍵．

41、（2013•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，點O為Rt△ABC內(nèi)一點，連接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：
以點B為旋轉中心，將△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B（得到A、O的對應點分別為點A′、O′），并回答下列問題：
∠ABC=　30°　，∠A′BC=　90°　，OA+OB+OC=　 　．

考點：作圖-旋轉變換．
專題：作圖題．
分析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后過點B作BC的垂線，在截取A′B=AB，再以點A′為圓心，以AO為半徑畫弧，以點B為圓心，以BO為半徑畫弧，兩弧相交于點O′，連接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根據(jù)旋轉角與∠ABC的度數(shù)，相加即可得到∠A′BC；
根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長，再根據(jù)旋轉的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，BC= ，
∴tan∠ABC= = = ，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，
∴△A′O′B如圖所示；

∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，

∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等邊三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四點共線，
在Rt△A′BC中，A′C= = = ，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ．
故答案為：30°；90°； ．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，旋轉變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，最后一問求出C、O、A′、O′四點共線是解題的關鍵．

42、（2013福省福州19）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（?2，0），等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對稱或旋轉都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是 個單位長度；△AOC與△BOD關于直線對稱，則對稱軸是 ；△AOC繞原點O順時針旋轉得到△DOB，則旋轉角度可以是 度；
（2）連結AD，交OC于點E，求∠AEO的度數(shù)．

考點：旋轉的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．
專題：．
分析：（1）由點A的坐標為（?2，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD，則△AOC與△BOD關于y軸對稱；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠AOC=∠BOD=60°，則∠AOD=120°，根據(jù)旋轉的定義得△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB；
（2）根據(jù)旋轉的性質(zhì)得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE為等腰△AOD的頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE垂直平分AD，則∠AEO=90°．
解答：解：（1）∵點A的坐標為（?2，0），
∴△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD；
∴△AOC與△BOD關于y軸對稱；
∵△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB．
（2）如圖，∵等邊△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB，
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE為等腰△AOD的頂角的平分線，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°．
故答案為2；y軸；120．

點評：本題考查了旋轉的性質(zhì)：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)．　

43、（2013•畢節(jié)地區(qū)）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE=BF，連接AE、AF、EF．
（1）求證：△ADE≌△ABF；
（2）：△ABF可以由△ADE繞旋轉中心　A　 點，按順時針方向旋轉　90　 度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面積．

考點：旋轉的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，則∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根據(jù)旋轉的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到；
（3）先利用勾股定理可計算出AE=10，在根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計算即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是DCB的延長線上的點，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE，
而∠DAE+∠EBF=90°，
∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到；
故答案為A、90；

（3）解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE= =10，
∵△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面積=AE2=×100=50（平方單位）．
點評：本題考查了旋轉的性質(zhì)：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．

44、（2013•遵義）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線N折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線N交BC于點，交AD于點N．
（1）求證：C=CN；
（2）若△CN的面積與△CDN的面積比為3：1，求 的值．

考點：矩形的性質(zhì)；勾股定理；翻折變換（折疊問題）．
分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠AN=∠CN，由四邊形ABCD是矩形，可得∠AN=∠CN，則可證得∠CN=∠CN，繼而可得C=CN；
（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得C=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得N的長，繼而求得答案．
解答：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：∠AN=∠CN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AN=∠CN，
∴∠CN=∠CN，
∴C=CN；

（2）解：過點N作NH⊥BC于點H，
則四邊形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CN的面積與△CDN的面積比為3：1，
∴ = = =3，
∴C=3ND=3HC，
∴H=2HC，
設DN=x，則HC=x，H=2x，
∴C=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC= =2 x，
∴HN=2 x，
在Rt△NH中，N= =2 x，
∴ = =2 ．

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．

45、（2013•徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）
（1）若△CEF與△ABC相似．
①當AC=BC=2時，AD的長為　 ��；
②當AC=3，BC=4時，AD的長為　1.8或2.5��；
（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．
分析：（1）若△CEF與△ABC相似．
①當AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形；
②當AC=3，BC=4時，分兩種情況：
（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；
（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示．由相似三角形角之間的關系，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點為AB的中點；
（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，從而可以證明兩個三角形相似．
解答：解：（1）若△CEF與△ABC相似．
①當AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示．

此時D為AB邊中點，AD= AC= ．
②當AC=3，BC=4時，有兩種情況：
（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示．

∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC．
由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=．
AD=AC•cosA=3×=1.8；
（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示．

∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．
由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此時AD=AB=×5=2.5．
綜上所述，當AC=3，BC=4時，AD的長為1.8或2.5．

（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．理由如下：
如答圖3所示，連接CD，與EF交于點Q．
∵CD是Rt△ABC的中線，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．
由折疊性質(zhì)可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，
又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．
點評：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質(zhì)．第（1）②問需要分兩種情況分別計算，此處容易漏解，需要引起注意．

46、(2013河南省)如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片 和 重合放置，其中 .
（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖2，固定 ，使 繞點 旋轉。當點 恰好落在 邊上時，：
①線段 與 的位置關系是 ；
②設 的面積為 ， 的面積為 。則 與 的數(shù)量關系是 。
【解析】①由旋轉可知：AC=DC，
∵ ，∴
∴△ADC是等邊三角形，∴ ,又∵
∴ ∥
②過D作DN⊥AC交AC于點N，過E作E⊥AC交AC延長線于，過C作CF⊥AB交AB于點F。
由①可知：△ADC是等邊三角形, ∥ ，∴DN=CF,DN=E
∴CF=E
∵ ，∴ ,又∵
∴
∵ ∴ =
（2）猜想論證
當 繞點 旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中 與 的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了 和 中 邊上的高，請你證明小明的猜想。
【證明】∵
又∵
又∵
∴△ANC≌△DC
∴AN=D
又∵CE=CB,∴
（3）拓展探究
已知 ，點 是其角平分線上一點， ， 交 于點 （如圖4），若在射線 上存在點 ，使 ,請直接寫出相應的 的長
【解析】如圖所示，作 ∥ 交 于點 ,作 交 于點 。
按照（1）（2）求解的方法可以計算出

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