文

47、（2013•眉山壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C、D在y軸上，且OB=OC=3，OA=OD=1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，直線AD與拋物線交于另一點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，E為直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）請(qǐng)直接寫出將該拋物線沿射線AD方向平移 個(gè)單位后得到的拋物線的解析式．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形，需要分類討論：
①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)．過點(diǎn)A作直線AD的垂線，與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P．首先求出直線PA的解析式，然后聯(lián)立拋物線與直線PA的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)P只能與點(diǎn)B重合；
③以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)P亦只能與點(diǎn)B重合．
（3）拋物線沿射線AD方向平移 個(gè)單位，相當(dāng)于向左平移1個(gè)單位，并向上平移一個(gè)單位．據(jù)此，按照“左加右減”的原則，確定平移后拋物線的解析式．
解答：解：（1）根據(jù)題意得，A（1，0），D（0，1），B（?3，0），C（0，?3）．
拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（?3，0），C（0，?3），則有：
，
解得 ，
∴拋物線的解析式為：y=x2+2x?3．

（2）存在．
△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形：
①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)．
如解答圖，過點(diǎn)A作直線AD的垂線，與拋物線交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)F．
∵OA=OD=1，則△AOD為等腰直角三角形，
∵PA⊥AD，則△OAF為等腰直角三角形，∴OF=1，F(xiàn)（0，?1）．
設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（1，0），F(xiàn)（0，?1）的坐標(biāo)代入得：
，
解得k=1，b=?1，
∴y=x?1．
將y=x?1代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+2x?3得，x2+2x?3=x?1，
整理得：x2+x?2=0，
解得x=?2或x=1，
當(dāng)x=?2時(shí)，y=x?1=?3，
∴P（?2，?3）；
②以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)．
此時(shí)∠PAE=45°，因此點(diǎn)P只能在x軸上或過點(diǎn)A與y軸平行的直線上．
過點(diǎn)A與y軸平行的直線，只有點(diǎn)A一個(gè)交點(diǎn)，故此種情形不存在；
因此點(diǎn)P只能在x軸上，而拋物線與x軸交點(diǎn)只有點(diǎn)A、點(diǎn)B，故點(diǎn)P與點(diǎn)B重合．
∴P（?3，0）；
③以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)．
此時(shí)∠EAP=45°，由②可知，此時(shí)點(diǎn)P只能與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E位于直線AD與對(duì)稱軸的交點(diǎn)上．
綜上所述，存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?2，?3）或（?3，0）．

（3）拋物線的解析式為：y=x2+2x?3=（x+1）2?4．
拋物線沿射線AD方向平移 個(gè)單位，相當(dāng)于向左平移1個(gè)單位，并向上平移一個(gè)單位，
∴平移后的拋物線的解析式為：y=（x+1+1）2?4+1=x2+4x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、拋物線與平移、等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，試題的考查重點(diǎn)是分類討論的數(shù)學(xué)思想．
48、(2013河南省壓軸題)如圖，拋物線 與直線 交于 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) 在 軸上，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 。點(diǎn) 是 軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) .
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，當(dāng) 為何值時(shí)，以 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說明理由。
（3）若存在點(diǎn) ，使 ，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn) 的坐標(biāo)
【解答】（1）∵直線 經(jīng)過點(diǎn) ,∴
∵拋物線 經(jīng)過點(diǎn) ，
∴
∴拋物線的解析式為
（2）∵點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 且在拋物線上
∴
∵ ∥ ，∴當(dāng) 時(shí)，以 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
①當(dāng) 時(shí)，
∴ ，解得：
即當(dāng) 或 時(shí)，四邊形 是平行四邊形
②當(dāng) 時(shí)，
，解得： （舍去）
即當(dāng) 時(shí)，四邊形 是平行四邊形
（3）如圖，當(dāng)點(diǎn) 在 上方且 時(shí)，
作 ,則
△PF∽△CNF，∴
∴
∴
又∵ ∴
解得： ， （舍去） ∴ 。
同理可以求得：另外一點(diǎn)為
49、(2013年黃石壓軸題)如圖1所示，已知直線 與 軸、 軸分別交于 、 兩點(diǎn)，拋物線 經(jīng)過 、 兩點(diǎn)，點(diǎn) 是拋物線與 軸的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)， 取最大值 .
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn) 是直線 上一點(diǎn)，且 ABP ： BPC ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（3）若直線 與（1）中所求的拋物線交于 、 兩點(diǎn)，問:
①是否存在 的值，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②猜想當(dāng) 時(shí)， 的取值范圍（不寫過程，直接寫結(jié)論）.
（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若 ， ，則 ， 兩點(diǎn)間的距離為 ）
解析：
解：（1）由題意得 解得
∴拋物線的解析式為 ∴ ，
∴直線 的解析式為 （2分）
（2）分兩種情況：
①點(diǎn) 在線段 上時(shí)，過 作 軸，垂足為
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
②點(diǎn) 在線段 的延長(zhǎng)線上時(shí)，過 作 軸，垂足為
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
綜上所述， 或 （4分）
（3）①方法1：假設(shè)存在 的值，使直線 與（1）中所求的拋物線 交于 、 兩點(diǎn)（ 在 的左側(cè)），使得
由 得
∴ ，
∴ 即
∴ 或
∴存在 或 使得 （3分）
方法2：假設(shè)存在 的值，使直線 與（1）中所求的拋物線 交于 、 兩點(diǎn)（ 在 軸上側(cè)），使得 ，如圖，過 作 于 ，過 作 于
可證明
∴ 即
∴ 即
以下過程同上
②當(dāng) 時(shí)， （1分）

50、（壓軸題5-6與二次函數(shù)相關(guān)的綜合題•2013東營(yíng)中考）(本題滿分12分) 已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)A（2，0），與y軸的交點(diǎn)為
B（0，-1）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上找出一點(diǎn)C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)A．并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及此時(shí)圓的圓心P點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)直線x=t（0<t<10）與拋物線交于點(diǎn)N，當(dāng)t為何值時(shí)，△BCN的面積最大，并求出最大值．

24. (本題滿分12分)分析：（1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可直接設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式進(jìn)行求解.
（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,由題意可知 .過點(diǎn)C作 軸于點(diǎn)D,連接AB,AC.易證 ,根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例得出 的關(guān)系式 ，再根據(jù)點(diǎn)C在拋物線上得 ，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)系式組成方程組，求出 的值，再根據(jù)點(diǎn)C所在的象限確定點(diǎn)C的坐標(biāo)。P為BC的中點(diǎn)，取OD中點(diǎn)H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線．可得 ,故點(diǎn)H的坐標(biāo)為（5,0）再根據(jù)點(diǎn)P在BC上，可求出直線BC的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（3）根據(jù) ,得 ，所以求 的最大值就是求N的最大值，而,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，所以N就等于點(diǎn)N的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)的縱坐標(biāo),從而形成關(guān)于N長(zhǎng)的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的最值求解。
解：(1) ∵拋物線的頂點(diǎn)是A(2,0)，設(shè)拋物線的解析式為 .
由拋物線過B(0,-1) 得 ，∴ ．……………………2分
∴拋物線的解析式為 .
即 ．………………………………3分
(2)設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y).
∵A在以BC為直徑的圓上.∴∠BAC=90°．
作CD⊥x軸于D ,連接AB、AC．
∵ , ∴
∴ △AOB∽△CDA．………………………4分 ∴
∴OB•CD=OA•AD．
即1• =2(x-2).∴ =2x-4．
∵點(diǎn)C在第四象限.
∴ ………………………………5分
由 解得 ．
∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (10,-16)．……………………6分
∵P為圓心，∴P為BC中點(diǎn)．
取OD中點(diǎn)H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線．
∴PH= (OB+CD)= ．……………………7分
∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, )．
故點(diǎn)P坐標(biāo)為(5， )．…………………………8分
(3)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ，直線x=t（0<t<10）與直線BC交于點(diǎn).
，
所以 ………………………9分
設(shè)直線BC的解析式為 ，直線BC經(jīng)過B(0,-1)、C (10,-16)
所以 成立，解得： …………………………10分
所以直線BC的解析式為 ，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
N= = ………………………11分

= =
所以，當(dāng)t=5時(shí)， 有最大值，最大值是 .…………………………12分
點(diǎn)撥：（1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（h,k）一般可設(shè)其解析式為 .(2)求最值問題一般考慮根據(jù)已知條件構(gòu)造二次函數(shù)求解.

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