內(nèi)蒙古呼和浩特市2013年中考數(shù)學(xué)試卷
一、（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（3分）（2013? 呼和浩特）?3的相反數(shù)是（　�。�
　A．3B．?3C． D．?
考點(diǎn)：相反數(shù)．
分析：根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可．
解答：解：?3的相反數(shù)是3，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“?”號(hào)；一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．
　
2．（3分）（2013?呼和浩特）下列運(yùn)算正確的是（　�。�
　A．x2+x3=x5B．x8÷x2=x4C．3x?2x=1D．（x2）3=x6
考點(diǎn)：同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；冪的乘方與積的乘方．
專題：．
分析：根據(jù)同底數(shù)冪的與除法，冪的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
解答：解：A、x2與x3不是同類項(xiàng)不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、應(yīng)為x8÷x2=x6，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、應(yīng)為3x?2x=x，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、（x2）3=x6，正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同底數(shù)冪的除法，冪的乘方的性質(zhì)以及合并同類項(xiàng)的法則；合并同類項(xiàng)時(shí)，只把系數(shù)相加減，字母與字母的次數(shù)不變，不是同類項(xiàng)的一定不能合并．
　
3．（3分）（2013?呼和浩特）觀察下列圖形，既是軸對(duì)稱圖形又 是中心對(duì)稱圖形的有（　�。�
　A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形．
分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
解答：解：第一個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
第二個(gè)圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；
第三個(gè)圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；
第四個(gè)圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；
所以，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形共有3個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
　
4．（3分）（2013?呼和浩特）下列說(shuō)法正確的是（　�。�
　A．“打開(kāi)電視劇，正在播足球賽”是必然 事件
　B．甲組數(shù)據(jù)的方差 =0.24，乙組數(shù)據(jù)的方差 =0.03，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
　C．一組數(shù)據(jù)2，4，5，5，3，6的眾數(shù)和中位數(shù)都是5
　D．“擲一枚硬幣正面朝上的概率是 ”表示每拋硬幣2次就有1次正面朝上
考點(diǎn)：方差；中位數(shù)；眾數(shù)；隨機(jī)事件；概率的意義．
分析：根據(jù)方差、中位數(shù)、眾數(shù)、隨機(jī)事件和概率的意義分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可．
解答：解：A、“打開(kāi)電視劇，正在播足球賽”是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、甲組數(shù)據(jù)的方差 =0.24，乙組數(shù)據(jù)的方差 =0.03，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，故本選項(xiàng)正確；
C、一組數(shù)據(jù)2，4，5，5，3，6的眾數(shù)是5，中位數(shù)是4.5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、“擲一枚硬幣正面朝上的概率是 ”表示每拋硬幣2次可能有1次正 面朝上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了方差、中位數(shù)、眾數(shù)、隨機(jī)事件和概率的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方差、中位數(shù)、眾數(shù)、隨機(jī)事件和概率的定義和計(jì)算方法．
　
5．（3分）（2013? 呼和浩特）用激光測(cè)距儀測(cè)得兩地之間的距離為14 000 000米，將14 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
　A．14×107B．14×106C．1.4×107D．0.14×108
考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法?表示較大的數(shù)．
專題：．
分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中 1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
解答：解：14 000 000=1.4×107．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
6．（3分）（2013?呼和浩特）只用下列圖形中的一種，能夠進(jìn)行平面鑲嵌的是（　　）
　A．正十邊形B．正八邊形C．正六邊形D．正五邊形
考點(diǎn)：平面鑲嵌（密鋪）．
分析：根據(jù)密鋪的知識(shí)，找到一個(gè)內(nèi)角能整除周角36 0°的正多邊形即可．
解答：解：A、正十邊形每個(gè)內(nèi)角是180°?360°÷10=144°，不能整除360°，不能單獨(dú)進(jìn)行鑲嵌，不符合題意；
B、正八邊形每個(gè)內(nèi)角是180°?360°÷8=135°，不能整除360°，不能單獨(dú)進(jìn)行鑲嵌，不符合題意；
C、正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，能整除360°，能整除360°，可以單獨(dú)進(jìn)行鑲嵌，符合題意；
D、正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180°?360°÷5=108°，不能整除360°，不能單獨(dú)進(jìn)行鑲嵌，不符合題意；
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面密鋪的知識(shí)，注意幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．
　
7．（3分）（2013?呼和浩特）從1到9這九個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)，是偶數(shù)的概率是（　�。�
　A． B． C． D．
考點(diǎn)：概率公式．
分析：先從1～9這九個(gè)自然數(shù)中找出是偶數(shù)的有2、4、6、8共4個(gè)，然后根據(jù)概率公式求解即可．
解答：解：1～9這九個(gè)自然數(shù)中，是偶數(shù)的數(shù)有：2、4、6、8，共4個(gè)，
∴從1～9這九個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)，是偶數(shù)的概率是： ．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率中概率的求法．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
8．（3分）（2013?呼和浩特）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m和y=?mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（　�。�
　A． B． C． D．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．
分析：本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過(guò)的象限的問(wèn)題，關(guān)鍵是m的正負(fù)的確定，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)a＞0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開(kāi)口向下．對(duì)稱軸為x= ，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．
解答：解：當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向上時(shí)，?m＞0，m＜0，
對(duì)稱軸x= ＜0，
這時(shí)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，
一次函數(shù)圖象過(guò)二、三、四象限．故選D．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及分析能力和 讀圖能力，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．
　
9．（3分）（2013?呼和浩特）（非課改）已知α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足 + =?1，則m的值是（　�。�
　A．3或?1B．3C．1D．?3或1
考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．
分析：由于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得△＞0，由此可以求出m的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和 + =1，可以求出m的值，最后求出符合題意的m值．
解答：解：根據(jù)條件知：
α+β=?（2m+3），αβ=m2，
∴ =?1，
即m2?2m?3=0，
所以，得 ，
解得m=3．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：1、考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與根的判別式及不等式組的綜合應(yīng)用能力．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
2、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=? ，x1?x2= ．
　
10．（3分）（2013?呼和浩特）如圖，下列圖案均是長(zhǎng)度相同的火柴按一定的規(guī)律拼搭而成：第1個(gè)圖案需7根火柴，第2個(gè)圖案需13根火柴，…，依此規(guī)律，第11個(gè)圖案需（　�。└�火柴．
　A．156B．157C．158D．159
考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類．
分析：根據(jù)第1個(gè)圖案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2個(gè)圖案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3個(gè)圖案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出規(guī)律第n個(gè)圖案需n（n+3）+3根火柴，再把11代入即可求出答案．
解答：解：根據(jù)題意可知：
第1個(gè)圖案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，
第2個(gè)圖案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，
第3個(gè)圖案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，
…，
第n個(gè)圖案需n（n+3）+3根火柴，
則第11個(gè)圖案需：11×（11+3）+3=157（根）；
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的變化類，關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形，通過(guò)觀察思考，歸納總結(jié)出規(guī)律，再利用規(guī)律解決問(wèn)題，難度一般偏大，屬于難題．
　
二、題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分，本題要求把正確結(jié)果填在答題紙規(guī)定的橫線上，不需要解答過(guò)程）xkb1.com
11．（3分）（2013?呼和浩特）如圖，AB∥CD，∠1=60°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2=　30　度．
考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；角平分線的定義．
分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFD=∠1，再由FG平分∠EFD即可得到．
解答：解：∵AB∥CD
∴∠EFD=∠1=60°
又∵FG平分∠EFD．
∴∠2= ∠EFD=30°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩直線平行，同位角相等．
　
12．（3分）（2013?呼和浩特）大于 且小于 的整數(shù)是　2　．
考點(diǎn)：估算無(wú)理數(shù)的大�。�
分析：根據(jù) =2和 ＜ ＜ 即可得出答案．
解答：解：∵ =2， ＜ ＜ ，
∴大于 且小于 的整數(shù)有2，
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的北京兩個(gè)無(wú)理數(shù)大小的能力．
　
13．（3分）（2013?呼和浩特）一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角是　180°　．
考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算．
分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍可得到圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)的關(guān)系，利用圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)即可得到該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角度數(shù)．
解答：解：設(shè)母線長(zhǎng)為R，底面半徑為r，
∴底面周長(zhǎng)=2πr，底面面積=πr2，側(cè)面面積=πrR，
∵側(cè)面積是底面積的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
設(shè)圓心角為n，有 =πR，
∴n=180°．
故答案為：180．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，以及利用扇形面積公式求出是解題的關(guān)鍵．
　
14．（3分）（2013?呼和浩特）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間比原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同，現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)　200　臺(tái)機(jī)器．
考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用．
分析：根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器的時(shí)間相同．所以可得等量關(guān)系為：現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器時(shí)間=原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)時(shí)間．
解答：解：設(shè)：現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，則原計(jì)劃可生產(chǎn)（x?50）臺(tái)．
依題意得： = ．
解得：x=200．
檢驗(yàn)：當(dāng)x=200時(shí)，x（x?50）≠0．
∴x=200是原分式方程的解．
答：現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)200臺(tái)機(jī)器．
故答案為：200．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，重點(diǎn)在于準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系，這是列方程的依據(jù)．而難點(diǎn)則在于對(duì)題目已知條件的分析，也就是審題，一般來(lái)說(shuō)中的條件有兩種，一種是顯性的，直接在題目中明確給出，而另一種是隱性的，是以題目的隱含條件給出．本題中“現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器”就是一個(gè)隱含條件，注意挖掘．
　
15．（3分）（2013?呼和浩特）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)．若AC=8，BD=6，則四邊形EFGH的面積為　12　．
考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形．
分析：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．利用中位線定理可得出四邊形EFGH矩形，根據(jù)矩形的面積公式解答即可．
解答：解：∵點(diǎn)E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、AB的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，且EF= BD=3．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF= BD，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，F(xiàn)G∥HE且EF⊥FG．
四邊形EFGH是矩形．
∴四邊形EFGH的面積=EF?EH=3×4=12，即四邊形EFGH的面積是12．
故答案是：12．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是中點(diǎn)四邊形．解題時(shí)，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：
（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；
（3）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形．
　
16．（3分）（2013?呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（?6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為�。�0，12）或（0，?12）�。�
考點(diǎn)：圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理．
分析：如解答圖所示，構(gòu)造含有90°圓心角的⊙P，則⊙P與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C．
注意點(diǎn)C有兩個(gè)．
解答：解：設(shè)線段BA的中點(diǎn)為E，
∵點(diǎn)A（4，0）、B（?6，0），∴AB=10，E（?1，0）．
（1）如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)E在第二象限作EP⊥BA，且EP= AB=5，則易知△PBA為等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB= ；
以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長(zhǎng)為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，
∵∠BCA為⊙P的圓周角，
∴∠BCA= ∠BPA=45°，即則點(diǎn)C即為所求．
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，則OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC= ，由勾股定理得：CF= =7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）；
（2）如答圖2所示，在第3象限可以參照（1）作同樣操作，同理求得y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，?12）．
綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）或（0，?12）．
故答案為：（0，12）或（0，?12）．
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大．由45°的圓周角聯(lián)想到90°的圓心角是解題的突破口，也是本題的難點(diǎn)所在．
　
三、解答題（本大題共9小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、證明過(guò)程或文字說(shuō)明）
17．（10分）（2013?呼和浩特）（1）計(jì)算：
（2）化簡(jiǎn)： ．
考點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
分析：（1）本題涉及到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪四個(gè)考點(diǎn)的計(jì)算，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序和法則計(jì)算即可求解；
（2）首先把括號(hào)里的式子進(jìn)行通分，然后把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成運(yùn)算，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)．
解答：解：（1）
=3??2+ +1
=3?2+ +1
=2+ ；
（2）
= ?
= ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的混合運(yùn)算，通分、因式分解和約分是解答的關(guān)鍵．
　
18．（6分）（2013?呼和浩特）如圖，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求證：DE=AB．
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：根據(jù)三角形全等的判定，由已知先證∠ACB=∠DCE，再根據(jù)SAS可證△ABC≌△DEC，繼而可得出結(jié)論．
解答：證明：∵∠1=∠2，
∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，
即∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∵
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE=AB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定方法和性質(zhì)，由∠1=∠2得∠ACB=∠DCE是解決本題的關(guān)鍵，要求我們熟練掌握全等三角形的幾種判定定理．
　
19．（6分）（2013?呼和浩特）某次知識(shí)競(jìng)賽共有20道題，每一題答對(duì)得10分，答錯(cuò)或不答都扣5分，小明得分要超過(guò)90分，他至少要答對(duì)多少道題？
考點(diǎn)：一元一次不等式的應(yīng)用．
分析：根據(jù)小明得分要超過(guò)90分，就可以得到不等關(guān)系：小明的得分≤90分，設(shè)應(yīng)答對(duì)x道，則根據(jù)不等關(guān)系就可以列出不等式求解．
解答：解：設(shè)應(yīng)答對(duì)x道，則：10x?5（20?x）＞90
解得x＞12 ，
∵x取整數(shù)，
∴x最小為：13，
答：他至少要答對(duì)13道題．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式，正確表示出小明的得分是解決本題的關(guān)鍵．
　
20．（6分）（2013?呼和浩特）如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來(lái)從A地到B地經(jīng)過(guò)C地沿折線A→C→B行駛，現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．則隧道開(kāi)通后，汽車從A地到B地比原來(lái)少走多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)）
考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用．
分析：過(guò)C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根據(jù)AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的長(zhǎng)度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的長(zhǎng)度，用AC+BC?（AD+BD）即可求解．
解答：解：過(guò)C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，
AD=ACcos30°=5 ，
在Rt△BCD中，
∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5 ，
則用AC+BC?（AD+BD）=10+5 ?（5 +5）=5+5 ?5 （千米）．
答：汽車從A地到B地比原來(lái)少走（5+5 ?5 ）千米 ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是作三角形的高建立直角三角形?解直角三角形．
　
21．（6分）（2013?呼和浩特）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線 與x軸交于點(diǎn)A，與雙曲線 在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)B，BC?x軸于點(diǎn)C，OC=2AO．求雙曲線的解析式．
考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．
專題：綜合題．
分析：先利用一次函數(shù)與圖象的交點(diǎn)，再利用O C=2AO求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入一次函數(shù)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得反比例函數(shù)的解析式即可．
解答：解：由直線 與x軸交于點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?1，0），
∴OA=1．
又∵OC=2OA，
∴OC=2，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，
代入直線 ，得y= ，
∴B（2， ）．
∵點(diǎn)B在雙曲線上，
∴k=xy=2× =3，
∴雙曲線的解析式為y= ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)求出反比例函數(shù)與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
　
22．（8分）（2013?呼和浩特）某區(qū)八年級(jí)有3000名學(xué)生參加“愛(ài)我中華知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)．為了了解本次知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)分布情況，從中抽取了200名學(xué)生的得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．
請(qǐng)你根據(jù)不完整的表格，回答下列問(wèn)題：
成績(jī)x（分）頻數(shù)頻率
50≤x＜6010　0.05　
60≤x＜70160.08
70≤x＜80　10　0.02
80≤x＜9062　0.47　
90≤x＜100720.36
（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（2）若將得分轉(zhuǎn)化為等級(jí)，規(guī)定50≤x＜60評(píng)為“D”，60≤x＜70評(píng)為“C”，70≤x＜90評(píng)為“B”，90≤x＜100評(píng)為“A”．這次全區(qū)八年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué)生約有多少學(xué)生參賽成績(jī)被評(píng)為“D”？如果隨機(jī)抽查一名參賽學(xué)生的成績(jī)等級(jí)，則這名學(xué)生的成績(jī)等級(jí)哪一個(gè)等級(jí)的可能性大？請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：頻數(shù)（率）分布直方圖；頻數(shù)（率）分布表；可能性的大�。�
專題：．
分析：（1）由60≤x＜70分?jǐn)?shù)段的人數(shù)除以所占的百分比，求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出70≤x＜80分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)，以及80≤x＜90分?jǐn)?shù)段的頻率，補(bǔ)全表格即可；
（2）找出樣本中評(píng)為“D”的百分比，估計(jì)出總體中“D”的人數(shù)即可；求出等級(jí)為A、B、C、D的概率，表示大小，即可作出判斷．
解答：解：（1）根據(jù)題意得：16÷0.08=200（人），
則70≤x＜80分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)為200?（10+16+62+72）=10（人），50≤x＜60分?jǐn)?shù)段頻率為0.05，80≤x＜90分?jǐn)?shù)段的頻率為0.47，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示：
；
故答案為：0.05；10；0.47；
（2）由表格可知：評(píng)為“D”的頻率是 = ，由此估計(jì)全區(qū)八年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué) 生約有 ×3000=150（人）被評(píng)為“D”；
∵P（A）=0.36；P（B）=0.51；P（C）=0.08；P（D）=0.05，
∴P（B）＞P（A）＞P（C）＞P（D），
∴隨機(jī)調(diào)查一名參數(shù)學(xué)生的成績(jī)等級(jí)“B”的可能性較大．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了頻數(shù)（率）分布直方圖，頻數(shù)（率）分布表，以及可能性大小，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
　
23．（9分）（2013?呼和浩特）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F，
（1） 的值為　 　；
（2）求證：AE=EP；
（3）在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定．
分析：（1）由正方形的性質(zhì)可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據(jù)同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA邊上截取BK=NE，連接KE，根據(jù)角角之間的關(guān)系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結(jié)合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結(jié)論得出；
（3）作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知條件證明△ADM≌△BAE，進(jìn)而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是 正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE= = ，
∵sin∠BAE= =sin∠FEC= ，
∴ = ，
（2）證明：在BA邊上截取BK=NE，連接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB?BK=BC?BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；
（3）答：存在．
證明：作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，
則有：DM∥EP，連接ME、DP，
∵在△ADM與△BAE中，
，xkb1.com
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MD EP，
∴四邊形DMEP為平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇．
　
24．（9分）（2013?呼和浩特）如圖，AD是△ABC的角平分線，以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求證：點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半徑CD的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；解直角三角形．
分析：（1）由AD是△ABC的角平分線，∠B=∠CAE，易證得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得EF⊥AD，由三線合一的知識(shí)，即可判定點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；
（2）首先連接DM，設(shè)EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的長(zhǎng)，繼而求得DM與ME的長(zhǎng)，由余弦的定義，即可求得答案；
（3）易證得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得方程：（5k）2= k?（10+5k），解此方程即可求得答案．
解答：（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED為⊙O直徑，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；
（2）解：連接DM，
設(shè)EF=4k，df=3k，
則ED= =5k，
∵ AD?EF= AE?DM，
∴DM= = = k，
∴ME= = k，
∴cos∠AED= = ；
（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC為公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE2=CE?BE，
∴（5k）2= k?（10+5k），
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD= k=5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
　
25．（12分）（2013?呼和浩特）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）、B（?2，0）和點(diǎn)C（0，?8）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M，若點(diǎn)K為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△KCM的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)K的坐標(biāo)為�。� ，0）�。�
（3）連接AC，有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OPQ的面積為S．
①請(qǐng)問(wèn)P、Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③設(shè)S0是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S0的值．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）根據(jù)已知的與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式即可；
（2）首先根據(jù)上題求得的函數(shù)的解析式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得點(diǎn) C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)C′，從而求得直線C′M的解析式，求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）（3）①如果DE∥OC，此時(shí)點(diǎn)D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，先求出這個(gè)區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時(shí)t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個(gè)t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說(shuō)明不存在這樣的t．
②本題要分三種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)E在OC上，D在OA上，即當(dāng)0≤t≤1時(shí)，此時(shí)S= OE?OD，由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
當(dāng)E在CA上，D在OA上，即當(dāng)1＜t≤2時(shí)，此時(shí)S= OD×E點(diǎn)的縱坐標(biāo)．由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
當(dāng)E，D都在CA上時(shí)，即當(dāng)2＜t＜ 相遇時(shí)用的時(shí)間，此時(shí)S=S△AOE?S△AOD，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式；
綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達(dá)式．
③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值．
解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）（x?6）
∵圖象過(guò)點(diǎn)（0，?8）
∴a=
∴二次函數(shù)的解析式為y= x2? x?8；
（2）∵y= x2? x?8= （x2?4x+4?4）?8= （x?2）2?
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，? ）
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，?8），
∴點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（0，8）
∴直線C′M的解析式為：y=? x+8
令y=0
得? x+8=0
解得：x=
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（ ，0）；
（3）①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，則點(diǎn)P，Q分別在線段OA，CA上，
此時(shí)，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴
∵AP=6?3t
AQ=18?8t，
∴
∴t=
∵t= ＞2不滿足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；
②分情況討論如下，
情況1：0≤t≤1
S= OP?OQ= ×3t×8t=12t2；
情況2：1＜t≤2
作QE⊥OA，垂足為E，
S= OP?EQ= ×3t× =? +
情況3：2＜t＜
作OF⊥AC，垂足為F，則OF=
S= QP?OF= ×（24?11t）× =? + ；
③當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=12t2，函數(shù)的最大值是12；
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S=? + ，函數(shù)的最大值是 ；
當(dāng)2＜t＜ ，S= QP?OF=? + ，函數(shù)的最大值為 ；
∴S0的值為 ．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．


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