圖形的展開與疊折
一、
1．（2013湖北黃岡，7，3分）已知一個圓柱的側(cè)面展開圖為如圖所示的矩形，則其底面圓的面積為（ ）
A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π
【答案】C．
【解析】由圖示側(cè)面展開圖——矩形聯(lián)想圓 柱形狀可得圖1和圖2兩種圓柱．設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，在圖1中有2πr＝4π，r＝2,所以底面圓的面積為4π；在圖2中有2πr＝2π，r＝1，所以底面圓的面積為π．綜上可知圓柱底面圓的面積為π或4π．
【方法指導(dǎo)】本題考查空間觀念，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．解答時，一要理解圓柱和其側(cè)面展開圖之間的數(shù)量關(guān)系．2.注意分兩種情況討論求解．由于本題是型，因了C、D這樣的兩解答案，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖1和圖2兩種情況，無形中降低了解題難度．這也啟示我們在遇到這種命題結(jié)構(gòu)的選擇題時，要嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致的多思量，再下筆．
【易錯警示】易漏掉一種情況而錯選A或B．如果本題以題的面貌呈現(xiàn)，學(xué)生較易聯(lián)想到圖1情形而錯解為4π．
2．（2013重慶，7，4分）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿AE對折，使得點B落在邊AD上的點B1處，折痕與邊BC交于點E，則CE的長為（ ）
A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【解析】由折疊可知，∠BAE=∠B1AE，∴∠BAE=∠B1AE=45°，又∵∠B=45°，∴∠AEB=45°，∴BE=AB=4，∴CE=BC－BE=8－6=2．故選C．
【方法指導(dǎo)】本題考查了折疊變換，需明確折疊變換 是全等變化，同時綜合考查了等腰三角形的判定以及線段的和差問題．軸對稱的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵，軸對稱的性質(zhì)是：對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，成軸對稱的兩個圖形全等；正確的找出對稱邊和對稱角是我們解題的關(guān)鍵．
【易錯警示】對折疊的全等性質(zhì)不能掌握，對結(jié)果只能想當(dāng)然判斷．
3．（2013四川南充，9，3分）如圖，把矩形ABCD沿EF翻轉(zhuǎn)，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，則矩形ABCD的面積是（ ）
A．12　　B．24　　C． 　　D．
【答案】：D．
【解析】連接BE，根據(jù)矩形的對邊平行可得AD∥BC，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠AEF=120°，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DEF=60°，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出∠BEF=∠DEF，然后求出∠AEB=60°，再解直角三角形求出AB，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．
【方法指導(dǎo)】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4.. [2013山東菏澤，3，3分]下列圖形中 ，能通過折疊圍成一個三棱柱的是（　�。�
　　A． 　　B． 　　C． 　　D．
【答案】C
【解析】直棱柱中的三棱柱，上、下兩個面是三角形面，互相平行，側(cè)面是三個矩形圍成.其展開圖共有5個面.選C
【方 法指導(dǎo)】本題考查了立體圖形展開與平面圖折疊.立體圖形展開與平面圖折疊，往往可以進(jìn)行動手操作或進(jìn)行空間聯(lián)想獲取符合要求的答案.
【易錯提示】錯誤分析后選B
5．（2013廣西欽州，3，3分）下列四個圖形中，是三棱柱的平面展開圖的是（　�。�
　A． B． C． [來D．
考點：幾何體的展開圖．
分析：根據(jù)三棱柱的展開圖的特點進(jìn)行解答即可．
解答：A、是三棱錐的展開圖，故選項錯誤；
B、是三棱柱的平面展開圖，故選項正確；
C、兩底有4個三角形，不是三棱錐的展開圖，故選項錯誤；
D、是四棱錐的展開圖，故選項錯誤．
故選B．
點評：此題主要考查了幾何體展開圖，熟練掌握常見立體圖形的平面展開圖的特征，是解決此類問題的關(guān)鍵．
6．（2013湖南郴州，8，3分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（　　）
　A．25°B．30°C．35°D．[來40°
考點：翻折變換（折疊問題）．
分析：先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再由圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠CB′D的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
解答：解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°?25°=65°，
∵△CDB′由△CDB反折而成，
∴∠CB′D=∠B=65°，
∵∠CB′D是△AB′D的外角，
∴∠ADB′=∠CB′D?∠A=65°?25°=40°．
故選D．
點評：本題考查的是圖形的翻折變換及三角形外角的性質(zhì)，熟知圖形反折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
7. （2013江蘇南京，6，2分）如圖，一個幾何體上半部為正四棱椎，下半部為立方體，且有一個面涂
有顏色，下列圖形中，是該幾何體的表面展開圖的是
答案：B
解析：涂有顏色的面在側(cè)面，而A、C還原后，有顏色的面在底面，故錯；D還原不回去，故錯，選B。
8. 2013?寧波3分）下列四張正方形硬紙片，剪去陰影部分后，如果沿虛線折疊，可以圍成一個封閉的長方形包裝盒的是（　�。�
　A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】A、剪去陰影部 分后，組成無蓋的正方體，故此選項不合題意；
B、剪去陰影部分后，無法組成長方體，故此選項不合題意；
C、剪去陰影部分后，能組成長方體，故此選項正確；
D、剪去陰影部分后，組成無蓋的正方體，故此選項不合題意；
【方法指導(dǎo)】此題主要考查了展開圖折疊成幾何體，培養(yǎng)了學(xué)生的 空間想象能力．
9．（2013山西，3，2分）如圖是一個長方體包裝盒，則它的平面展開圖是（ ）
【答案】A
【解析】長方體的四個側(cè)面中，有兩個對對面的小長方形，另兩個是相對面的大長方形，B、C中兩個小的與兩個大的相鄰，錯，D中底面不 符合，只有A符合。
10.（2013四川巴中，3，3分）如圖，是一個正方體的表面展開圖，則原正方體中“夢”字所在的面相對的面上標(biāo)的字是（　�。�
　A．大B．偉C．國D．的
考點：專題：正方體相對兩個面上的文字．245761
分析：利用正方體及其表面展開圖的特點解題．
解答：解：這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“偉”與面“國”相對，面“大”與面“中”相對，“的”與面“夢”相對．
故選D．
點評：本題考查了正方體的展開圖，注意正方體 的空間圖形，從相對面入手，分 析及解答問題．
11.（2 013四川綿陽，5，3分）把右圖中的三棱柱展開，所得到的展開圖是（ B ）
［解析］兩個全等的三角形，再側(cè)面三個長方形的兩側(cè)，這樣的圖形圍成的是三棱柱，一個底面相鄰可以是三個長方形， 只有B。
12．（2013河南省，5，3分）如圖是 正方形的一種張開圖，其中每個面上都標(biāo)有一個數(shù)字。那么在原正方形中，與數(shù)字“2”相對的面上的數(shù)字是【】
（A）1 （B）4 （C）5 （D）6
【解析】將正方形重新還原后可知：“2”與“4”對應(yīng)，“3”與“5”對應(yīng)，“1”與“6”對應(yīng)。
【答案】B
二、題
1.(2013山東煙臺，17,3)如圖，△ABC中，AB=AC．∠ BAC =54°，∠ BAC 的平分線與AB的垂直平分線相交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為________度.
【答案】108
【解析】如圖：連接OB、OC，∵AB=AC，AO是∠BAC的平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一定理確定出點O是△ABC的外心，∴OB=OC.∵∠ BAC=54°，OD是AB的垂直平分線，AB=AC∴∠BAO=∠ABO=27，∠ABC=63，∴∠OBC=∠OCB
=63－27=36，根據(jù)折疊的不變性得OE=OC，在△OEC中∠OEC=180－36－36=108
【方法指導(dǎo)】本題考查了折疊、等腰三角形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理、折疊、垂直平分線的性質(zhì).在等腰三角形中有角平分線時，常用到等腰三角形三線合一定理，當(dāng)與一邊的垂直平分線相結(jié)合確定三角形的外心.將某一個圖形按某種要求折疊后，會得到以折痕為對稱軸的軸對稱圖形，解決圖形的折疊問題時，根據(jù)折疊的不變性，常得到等腰三角形、直角三角形、全等三角形等知識
2．（2013?東營，16，4分）如圖，圓柱形容器中，高為1．2m，底面周長為1m，在 容器內(nèi)壁離容器底部0．3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上 沿0．3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為 m（容器厚度忽略不計）．
答案： 1．3
解析：因為壁 虎與蚊子在相對的位置，則壁虎在圓柱展開圖矩形兩邊中點的連線上，如圖所示，要求壁虎捉蚊子的最短距離，實際上是求在EF上找一點P，使PA+PB最短，過A作EF的對 稱點 ，連接 ，則 與EF的交點就是所求的點P，過B作 于點M，在 中， ， ，所以 ，因為 ，所以壁虎捉蚊子的最短距離為1．3m．
16題答案圖
3．（2013上海市，18，4分）如圖5，在△ 中 ， ， ， tan C = 32 ，如果將△
沿直線l翻折后，點 落在邊 的中點處，直線l與邊 交于點 ，
那么 的長為__________．
4.（2013山西，16，3分），將△DAE沿DE折疊，使點A落在對角線BD上的點A′處，則AE的長為______.
【答案】
【解析】由勾股定理求得：B D=13，
DA=D =BC=5，∠D E=∠DAE=90°，設(shè)AE=x，則 E=x，BE=12－x，B =13－5＝8，
在Rt△E B中， ，解得：x ＝ ，即AE的長為
5．（2013湖北省咸寧市，1，3分）如圖是正方體的一種平面展開圖，它的每個面上都有一個漢字，那么在原正方體的表面上，與漢字“香”相對的面上的漢字是　泉�。�
考點：專題：正方體相對 兩個面上的文字．
分析：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．
解答：解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，
“力”與“城”是相對面，
“香”與“泉”是相對面，
“魅”與“都”是相對面．
故答案為泉．
點評：本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．
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三、解答題
1．（2013浙江臺州，22，12分）如圖，在□ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DE=BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點B，C分別落在點B′，C′處，線段EC′與線段AF交于點G，連接DG，B′G．
求證：（1）∠1=∠2；
（2）DG=B′G．
【思路分析】(1)∠1是折疊后所得到的角，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，易得∠1=∠CEF，再由平行四邊形的對邊平行，可得∠2=∠CEF，∴∠1=∠2.
（2）欲證DG=B′G，可證它們所在的兩個三角形全等，即△DEG≌△B′FG。
【解】證明：（1）由折疊知，∠1=∠CEF，
又由平行四邊形的性質(zhì)知，CD∥AB，
∴∠2=∠CEF，
∴∠1=∠2．
（2）由折疊知，BF= B′F，
又∵DE=BF，
∴DE= B′F，
由（1）知∠1=∠2，
∴GE= GF，
又由平行四邊形的性質(zhì)知，CD∥AB，
∴∠DEF=∠EFB，
由折疊知，∠EFB=∠E F B′，
∴∠DEF=∠EF B ′，
即∠DEG+∠1=∠G F B′+∠2，
∴∠DEG=∠GF B′，
∴△DEG≌△B′FG（SAS），
∴DG=B′G．


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