內(nèi)蒙古包頭市2013年中考數(shù)學(xué)試卷

一、（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分。每小題只有一個正確選項，請將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑）
1．（3分）（2013•包頭）計算（+2）+（?3）所得的結(jié)果是（　　）
　A．1B．?1C．5D．?5

考點：有理數(shù)的加法．
分析：運用有理數(shù)的加法法則直接計算．
解答：解：原式=?（3?2）=?1．故選B．
點評：解此題關(guān)鍵是記住加法法則進(jìn)行計算．
　
2．（3分）（2013•包頭）3tan30°的值等于（　�。�
　A． B．3 C． D．

考點：特殊角的三角函數(shù)值．
分析：直接把tan30°= 代入進(jìn)行計算即可．
解答：解：原式=3× = ．
故選A．
點評：本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．
　
3．（3分）（2013•包頭）函數(shù)y= 中，自變量x的取值范圍是（　�。�
　A．x＞?1B．x＜?1C．x≠?1D．x≠0

考點：函數(shù)自變量的取值范圍．
分析：根據(jù)分母不等于0列式計算即可得解．
解答：解：根據(jù)題意得，x+1≠0，
解得x≠?1．
故選C．
點評：本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：
（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．
　
4．（3分）（2013•包頭）若a=?a，則實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點一定在（　　）
　A．原點左側(cè)B．原點或原點左側(cè)C．原點右側(cè)D．原點或原點右側(cè)

考點：實數(shù)與數(shù)軸；絕對值
分析：根據(jù)a=?a，求出a的取值范圍，再根據(jù)數(shù)軸的特點進(jìn)行解答即可求出答案．
解答：解：∵a=?a，
∴a一定是非正數(shù)，
∴實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點一定在原點或原點左側(cè)；
故選B．
點評：此題考查了絕對值與數(shù)軸，根據(jù)a≥0，然后利用熟知數(shù)軸的知識即可解答，是一道基礎(chǔ)題．
　
5．（3分）（2013•包頭）已知方程x2?2x?1=0，則此方程（　�。�
　A．無實數(shù)根B．兩根之和為?2C．兩根之積為?1D．有一根為?1+

考點：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．
分析：根據(jù)已知方程的根的判別式符號確定該方程的根的情況．由根與系數(shù)的關(guān)系確定兩根之積、兩根之和的值；通過求根公式即可求得方程的根．
解答：解：A、△=（?2）2?4×1×（?1）=8＞0，則該方程有兩個不相等的實數(shù)根．故本選項錯誤；
B、設(shè)該方程的兩根分別是α、β，則α+β=2．即兩根之和為2，故本選項錯誤；
C、設(shè)該方程的兩根分別是α、β，則αβ=?1．即兩根之積為?1，故本選項正確；
D、根據(jù)求根公式x= =1± 知，原方程的兩根是（1+ ）和（1? ）．故本選項錯誤；
故選C．
點評：本題綜合考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及求根公式的應(yīng)用．利用根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式解題時，務(wù)必清楚公式中的字母所表示的含義．
　
6．（3分）（2013•包頭）一組數(shù)據(jù)按從大到小排列為2，4，8，x，10，14．若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（　�。�
　A．6B．8C．9D．10

考點：眾數(shù)；中位數(shù)．
分析：根據(jù)中位數(shù)為9，可求出x的值，繼而可判斷出眾數(shù)．
解答：解：由題意得，（8+x）÷2=9，
解得：x=10，
則這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是10，故眾數(shù)為10．
故選D．
點評：本題考查了中位數(shù)及眾數(shù)的知識，屬于基礎(chǔ)題，掌握中位數(shù)及眾數(shù)的定義是關(guān)鍵．
　
7．（3分）（2013•包頭）下列事件中是必然事件的是（　�。�
　A．在一個等式兩邊同時除以同一個數(shù)，結(jié)果仍為等式
　B．兩個相似圖形一定是位似圖形
　C．平移后的圖形與原來圖形對應(yīng)線段相等
　D．隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后正面一定朝上

考點：隨機事件．
分析：必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件．
解答：解：A、當(dāng)除數(shù)為0時，結(jié)論不成立，是隨機事件；
B、兩個相似圖形不一定是位似圖形，是隨機事件；
C、平移后的圖形與原來圖形對應(yīng)線段相等，是必然事件；
D、隨機拋出一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后正面可能朝上，是隨機事件．
故選C．
點評：本題考查了必然事件、隨機事件的概念，理解概念是解決基礎(chǔ)題的主要方法．用到的知識點為：
必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
　
8．（3分）（2013•包頭）用一個圓心角為120°，半徑為2的扇形作一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓半徑為（　�。�
　A． B． C． D．

考點：圓錐的計算．
分析：設(shè)圓錐底面的半徑為r，由于圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，則2πr= ，然后解方程即可．
解答：解：設(shè)圓錐底面的半徑為r，
根據(jù)題意得2πr= ，解得：r= ．
故選D．
點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
　
9．（3分）（2013•包頭）化簡 ÷ • ，其結(jié)果是（　　）
　A．?2B．2C．? D．

考點：分式的乘除法．
專題：．
分析：原式先利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法運算化為運算，約分即可得到結(jié)果．
解答：解：原式=? • • =?2．
故選A
點評：此題考查了分式的乘除法，分式的乘除法運算的關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式．
　
10．（3分）（2013•包頭）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1、S2的大小關(guān)系是（　�。�

　A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2

考點：矩形的性質(zhì)．
分析：由于矩形ABCD的面積等于2個△ABC的面積，而△ABC的面積又等于矩形AEFC的一半，所以可得兩個矩形的面積關(guān)系．
解答：解：矩形ABCD的面積S=2S△ABC，而S△ABC= S矩形AEFC，即S1=S2，
故選B．
點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)及面積的計算，能夠熟練運用矩形的性質(zhì)進(jìn)行一些面積的計算問題．
　
11．（3分）（2013•包頭）已知下列命題：
①若a＞b，則c?a＜c?b；
②若a＞0，則 =a；
③對角線互相平行且相等的四邊形是菱形；
④如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等．
其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是（　　）
　A．4個B．3個C．2個D．1個

考點：命題與定理．
分析：根據(jù)矩形的判定以及圓周角定理、不等式的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)分別判斷得出即可．
解答：解：①若a＞b，則c?a＜c?b；原命題與逆命題都是真命題；
②若a＞0，則 =a；逆命題：若 =a，則a＞0，是假命題，故此選項錯誤；
③對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；原命題是假命題，故此選項錯誤；
④如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，逆命題：相等的圓心角所對的弧相等，是假命題，故此選項錯誤，
故原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是1個．
故選：D．
點評：此題主要考查了矩形、圓周角定理、二次根式、不等式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
　
12．（3分）（2013•包頭）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a?b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正確的結(jié)論是（　　）

　A．①②B．①③C．①③④D．①②③④

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由對稱軸及拋物線與x軸交點情況進(jìn)行推理，利用圖象將x=1，?1，2代入函數(shù)解析式判斷y的值，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
解答：解：①圖象開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，能得到：a＞0，? ＞0，則b＜0，正確；
②∵對稱軸為直線x=1，∴x=2與x=0時的函數(shù)值相等，∴當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c＞0，錯誤；
③當(dāng)x=?1時，y=a?b+c＞0，正確；
④∵a?b+c＞0，∴a+c＞b；∵當(dāng)x=1時，y=a+b+c＜0，∴a+c＜?b；∴b＜a+c＜?b，∴a+c＜b，∴（a+c）2＜b2，正確．
所以正確的結(jié)論是①③④．
故選C．
點評：本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，將x=1，?1，2代入函數(shù)解析式判斷y的值是解題關(guān)鍵，得出b＜a+c＜?b是本題的難點．
　
二、題（共8小題，每小題3分，滿分24分。請把答案填在各題對應(yīng)的橫線上）
13．（3分）（2013•包頭）計算： =　 　．

考點：二次根式的加減法．
分析：先進(jìn)行二次根式的化簡，然后合并同類二次根式即可．
解答：解：原式=2 ? +
= ．
故答案為： ．
點評：本題考查了二次根式的加減運算，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．
　
14．（3分）（2013•包頭）某次射擊訓(xùn)練中，一小組的成績?nèi)绫硭�示：已知該小組的平均成績?yōu)?環(huán)，那么成績?yōu)?環(huán)的人數(shù)是　3�。�

環(huán)數(shù)789
人數(shù)34

考點：加權(quán)平均數(shù)．
分析：先設(shè)成績?yōu)?環(huán)的人數(shù)是x，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式列出方程，求出x的值即可．
解答：解：設(shè)成績?yōu)?環(huán)的人數(shù)是x，根據(jù)題意得：
（7×3+8×4+9•x）÷（3+4+x）=8，
解得：x=3，
則成績?yōu)?環(huán)的人數(shù)是3；
故答案為：3．
點評：此題考查了加權(quán)平均數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式和已知條件列出方程，是一道基礎(chǔ)題．
　
15．（3分）（2013•包頭）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，則∠ADB=　28　度．

考點：圓周角定理；垂徑定理．
分析：根據(jù)垂徑定理可得點B是 中點，由圓周角定理可得∠ADB= ∠BOC，繼而得出答案．
解答：解：∵OB⊥AC，
∴ = ，
∴∠ADB= ∠BOC=28°．
故答案為：28．
點評：此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
　
16．（3分）（2013•包頭）不等式 （x?）＞3?的解集為x＞1，則的值為　4�。�

考點：解一元一次不等式．
分析：先根據(jù)不等式的基本性質(zhì)把不等式去分母、去括號、再移項、合并同類項求出x的取值范圍，再與已知解集相比較即可求出的取值范圍．
解答：解：去分母得，x?＞3（3?），
去括號得，x?＞9?3，
移項，合并同類項得，x＞9?2，
∵此不等式的解集為x＞1，
∴9?2=1，
解得=4．
故答案為：4．
點評：考查了解一元一次不等式，解答此題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)，
（1）不等式兩邊同加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；
（2）不等式兩邊同乘（或同除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；
（2）不等式兩邊同乘（或同除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
　
17．（3分）（2013•包頭）設(shè)有反比例函數(shù)y= ，（x1，y1），（x2，y2）為其圖象上兩點，若x1＜0＜x2，y1＞y2，則k的取值范圍　k＜2　．

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
分析：根據(jù)已知條件“x1＜0＜x2，y1＞y2”可以推知該反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則k?2＜0．
解答：解：∵（x1，y1），（x2，y2）為函數(shù)y= 圖象上兩點，若x1＜0＜x2，y1＞y2，
∴該反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，
∴k?2＜0．
解得，k＜2．
故填：k＜2．
點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．根據(jù)已知條件推知已知反比例函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限是解題的難點．
　
18．（3分）（2013•包頭）如圖，在三角形紙片ABC中，∠C=90°，AC=6，折疊該紙片，使點C落在AB邊上的D點處，折痕BE與AC交于點E，若AD=BD，則折痕BE的長為　4　．

考點：翻折變換（折疊問題）．
專題：探究型．
分析：先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根據(jù)AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由銳角三角函數(shù)的定義可求出BC的長，設(shè)BE=x，則CE=6?x，在Rt△BCE中根據(jù)勾股定理即可得出BE的長．
解答：解：∵△BDE△BCE反折而成，
∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，
∵AD=BD，
∴AB=2BC，AE=BE，
∴∠A=30°，
在Rt△ABC中，
∵AC=6，
∴BC=AC•tan30°=6× =2 ，
設(shè)BE=x，則CE=6?x，
在Rt△BCE中，
∵BC=2 ，BE=x，CE=6?x，
∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6?x）2+（2 ）2，解得x=4．
故答案為：4．
點評：本題考查的是圖形的翻折變換，熟知圖形反折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
　
19．（3分）（2013•包頭）如圖，已知一條直線經(jīng)過點A（0，2）、點B（1，0），將這條直線向左平移與x軸、y軸分別交與點C、點D．若DB=DC，則直線CD的函數(shù)解析式為　y=?2x?2�。�

考點：一次函數(shù)圖象與幾何變換．
分析：先求出直線AB的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)求直線CD的解析式．
解答：解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（0，2）、點B（1，0）代入，
得 ，解得 ，
故直線AB的解析式為y=?2x+2；
將這直線向左平移與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸分別交于點C、點D，使DB=DC時，
因為平移后的圖形與原圖形平行，故平移以后的函數(shù)解析式為：y=?2x?2．
故答案為y=?2x?2．
點評：本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，要注意利用一次函數(shù)的特點，列出方程組，求出未知數(shù)的值從而求得其解析式；求直線平移后的解析式時要注意平移時k的值不變，只有b發(fā)生變化．
　
20．（3分）（2013•包頭）如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=　135　度．

考點：勾股定理的逆定理；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
分析：首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，進(jìn)而得出答案．
解答：解：連接EE′，
∵將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，
∴EE′=2 ，∠BE′E=45°，
∵E′E2+E′C2=8+1=9，
EC2=9，
∴E′E2+E′C2=EC2，
∴△EE′C是直角三角形，
∴∠EE′C=90°，
∴∠BE′C=135°．
故答案為：135．

點評：此題主要考查了勾股定理以及逆定理，根據(jù)已知得出△EE′C是直角三角形是解題關(guān)鍵．
　
三、解答題（本大題共6小題，共60分。請將必要的文字說明、計算過程或推理過程寫在對應(yīng)位置）
21．（8分）（2013•包頭）甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，把兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A、B分成4等份、3等份的扇形區(qū)域，并在每一小區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字（如圖所示），指針的位置固定．游戲規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，若指針?biāo)�指兩個區(qū)域的數(shù)字之和為3的倍數(shù)，甲勝；若指針?biāo)�指兩個區(qū)域的數(shù)字之和為4的倍數(shù)時，乙勝．如果指針落在分割線上，則需要重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤．
（1）試用列表或畫樹形圖的方法，求甲獲勝的概率；
（2）請問這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎？試說明理由．

考點：游戲公平性；列表法與樹狀圖法．
分析：（1）根據(jù)題意列出圖表，得出數(shù)字之和共有12種結(jié)果，其中“和是3的倍數(shù)”的結(jié)果有4種，再根據(jù)概率公式求出甲獲勝的概率；
（2）根據(jù)圖表（1）得出）“和是4的倍數(shù)”的結(jié)果有3種，根據(jù)概率公式求出乙的概率，再與甲的概率進(jìn)行比較，得出游戲是否公平．
解答：解：（1）列表如下：

∵數(shù)字之和共有12種結(jié)果，其中“和是3的倍數(shù)”的結(jié)果有4種，
∴P（甲）= = ；

（2）∵“和是4的倍數(shù)”的結(jié)果有3種，
∴P（乙）= = ；
∵ ，即P（甲）≠P（乙），
∴這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方不公平．
點評：此題考查了游戲的公平性，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
22．（8分）（2013•包頭）如圖，一根長6 米的木棒（AB），斜靠在與地面（O）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．當(dāng)木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′．
（1）求OB的長；
（2）當(dāng)AA′=1米時，求BB′的長．

考點：勾股定理的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用．
分析：（1）由已知數(shù)據(jù)解直角三角形AOB即可；
（2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據(jù)勾股定理求出OB′的長即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意可知：AB=6 ，∠ABO=60°，∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，∵cos∠ABO= ，
∴OB=ABcos∠ABO=6 cos60°=3 米，
∴OB的長為3 米；

（2）根據(jù)題意可知A′B′=AB=6 米，
在Rt△AOB中，∵sin∠ABO= ，
∴OA=ABsin∠ABO=6 sin60°=9米，
∵OA′=OA?AA′，AA′=1米，
∴OA′=8米，
在Rt△A′OB′中，OB′=2 米，
∴BB′=OB′?OB=（2 ?3 ）米．
點評：本題考查了勾股定理的應(yīng)用和特殊角的銳角三角函數(shù)，是中考常見題型．
　
23．（10分）（2013•包頭）某產(chǎn)品生產(chǎn)車間有工人10名．已知每名工人每天可生產(chǎn)甲種產(chǎn)品12個或乙種產(chǎn)品10個，且每生產(chǎn)一個甲種產(chǎn)品可獲得利潤100元，每生產(chǎn)一個乙種產(chǎn)品可獲得利潤180元．在這10名工人中，車間每天安排x名工人生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，其余工人生產(chǎn)乙種產(chǎn)品．
（1）請寫出此車間每天獲取利潤y（元）與x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若要使此車間每天獲取利潤為14400元，要派多少名工人去生產(chǎn)甲種產(chǎn)品？
（3）若要使此車間每天獲取利潤不低于15600元，你認(rèn)為至少要派多少名工人去生產(chǎn)乙種產(chǎn)品才合適？

考點：一次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：（1）根據(jù)每個工人每天生產(chǎn)的產(chǎn)品個數(shù)以及每個產(chǎn)品的利潤，表示出總利潤即可；
（2）根據(jù)每天獲取利潤為14400元，則y=14400，求出即可；
（3）根據(jù)每天獲取利潤不低于15600元即y≥15600，求出即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意得出：
y=12x×100+10（10?x）×180
=?600x+18000；

（2）當(dāng)y=14400時，有14400=?600x+18000，
解得：x=6，
故要派6名工人去生產(chǎn)甲種產(chǎn)品；

（3）根據(jù)題意可得，
y≥15600，
即?600x+18000≥15600，
解得：x≤4，
則10?x≥6，
故至少要派6名工人去生產(chǎn)乙種產(chǎn)品才合適．
點評：此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用等知識，根據(jù)已知得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
　
24．（10分）（2013•包頭）如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AG•AB=12，求AC的長；
（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

考點：圓的綜合題．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，進(jìn)而得出AC2=AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的長，根據(jù)勾股定理得：AG= ，即可得出sin∠ADB= ，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．
解答：（1）證明：連接CD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，
∴∠PAC=∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直徑，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，
∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，
∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴ = ，
即AC2=AG•AB，
∵AG•AB=12，
∴AC2=12，
∴AC=2 ；

（3）解：設(shè)AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，
∴AD=AF+FD=3x，
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，
即3x2=12，
解得；x=2，
∴AF=2，AD=6，∴⊙O半徑為3，
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
根據(jù)勾股定理得：AG= = = ，
由（2）知，AG•AB=12，
∴AB= = ，
連接BD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB= ，AD=6，
∴sin∠ADB= ，
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACE= ．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出AG的長以及AB的長是解題關(guān)鍵．
　
25．（12分）（2013•包頭）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．
（1）如圖①，當(dāng) 時，求 的值；
（2）如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時，求證：AF= OA；
（3）如圖③，當(dāng)點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG= BG．

考點：相似形綜合題．
分析：（1）利用相似三角形的性質(zhì)求得EF于DF的比值，依據(jù)△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據(jù)此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以證得；
（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據(jù)△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可證得．
解答：（1）解：∵ = ，
∴ = ．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴ = ，
∴ = = ，
∴ = = ；

（2）證明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD= = OA，
∴AF= OA．

（3）證明：連接OE．
∵點O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點．
∴點O是BD的中點．
又∵點E是BC的中點，
∴OE是△BCD的中位線，
∴OE∥CD，OE= CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴ = = ，
∴ = ．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴ = = ．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴ = = ，
∴ = ．
∴CG= BG．

點評：本題是勾股定理、三角形的中位線定理、以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．
　
26．（12分）（2013•包頭）已知拋物線y=x2?3x? 的頂點為點D，并與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C．
（1）求點A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）在y軸的正半軸上是否存在點P，使以點P、O、A為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）取點E（? ，0）和點F（0，? ），直線l經(jīng)過E、F兩點，點G是線段BD的中點．
①點G是否在直線l上，請說明理由；
②在拋物線上是否存在點，使點關(guān)于直線l的對稱點在x軸上？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

考點：二次函數(shù)綜合題．
專題：代數(shù)幾何綜合題．
分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，令x=0求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點坐標(biāo)公式計算即可求出頂點D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長，再分OA和OA是對應(yīng)邊，OA和OC是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OP的長，從而得解；
（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點公式求出點G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點的坐標(biāo)特征驗證即可；
②設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點D關(guān)于直線l的對稱點就是B，從而判斷出點就是直線DE與拋物線的交點，再設(shè)直線DE的解析式為yx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點．
解答：解：（1）令y=0，則x2?3x? =0，整理得，4x2?12x?7=0，
解得x1=? ，x2= ，
所以，A（? ，0），B（ ，0），
令x=0，則y=? ，
所以，C（0，? ），
∵? =? = ， = =?4，
∴頂點D（ ，?4）；

（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點P，設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，y），
∵A（? ，0），C（0，? ），
∴OA= ，OC= ，OP=y，
①若OA和OA是對應(yīng)邊，則△AOP∽△AOC，
∴ = ，
y=OC= ，
此時點P（0， ），
②若OA和OC是對應(yīng)邊，則△POA∽△AOC，
∴ = ，
即 = ，
解得y= ，
此時點P（0， ），
所以，符合條件的點P有兩個，P（0， ）或（0， ）；

（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經(jīng)過點E（? ，0）和點F（0，? ），
∴ ，
解得 ，
所以，直線l的解析式為y=? x? ，
∵B（ ，0），D（ ，?4），
（ + ）= ， [0+（?4）]=?2，
∴線段BD的中點G的坐標(biāo)為（ ，?2），
當(dāng)x= 時，y=? × ? =?2，
所以，點G在直線l上；

②在拋物線上存在符合條件的點．
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點為H，則點H的坐標(biāo)為（ ，0），
∵E（? ，0）、F（0，? ），B（ ，0）、D（ ，?4），
∴OE= ，OF= ，HD=4，HB= ? =2，
∵ = = ，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB，
∴∠OFE=∠HBD，
∵∠OEF+∠OFE=90°，
∴∠OEF+∠HBD=90°，
∴∠EGB=180°?（∠OEF+∠HBD）=180°?90°=90°，
∴直線l是線段BD的垂直平分線，
∴點D關(guān)于直線l的對稱點就是點B，
∴點就是直線DE與拋物線的交點，
設(shè)直線DE的解析式為y=x+n，
∵D（ ，?4），（? ，0），
∴ ，
解得 ，
所以，直線DE的解析式為y=? x?2，
聯(lián)立 ，
解得 ， ，
∴符合條件的點有兩個，是（ ，?4）或（ ，? ）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點的求解，求頂點坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，點在直線上的驗證，相似三角形的判定與性質(zhì)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標(biāo)的方法，綜合性較強，難度較大，（2）要根據(jù)對應(yīng)邊的不同分情況討論，（3）求出直線l是線段BD的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．

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