例1 一個正多邊形的每個內(nèi)角都比與它相鄰的外角的3倍還多20°，求此正多邊形的邊數(shù)。
分析：由于這個正多邊形的每個外角與和它相鄰的內(nèi)角互為鄰補角，根據(jù)題意，可先求出外角的大小，再求邊數(shù)。
解：設(shè)每個外角的大小為x°，則與它相鄰的內(nèi)角的大小為（3x+20）度。根據(jù)題意，得
解得，即每個外角都等于40°。
所以，即這個正多邊形的邊數(shù)為9。
2、利用多邊形內(nèi)角和公式求多邊形的邊數(shù)時，經(jīng)常設(shè)邊數(shù)為n，然后列出方程或不等式，利用代數(shù)解決幾何問題。
例2 已知一個多邊形的每個內(nèi)角都等于135°，求這個多邊形的邊數(shù)。
解法1：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意，得
解得n=8，即這個多邊形的邊數(shù)為8。
解法2：依題意知，這個多邊形的每個外角是180°－135°=45°。
所以，多邊形的邊數(shù)，即這個多邊形的邊數(shù)為8。
3、正多邊形各內(nèi)角相等，因此各外角也相等。有時利用這種隱含關(guān)系求多邊形的邊數(shù)，比直接利用內(nèi)角和求邊數(shù)簡捷（如上題解法2）。解題時要注意這種逆向的運用。
例3 一個多邊形除去一個內(nèi)角后，其余內(nèi)角之和是2570°，求這個多邊形的邊數(shù)。
分析：從已知條件可知這是一個與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的問題。由于除去一個內(nèi)角后，其余內(nèi)角之和為2570°，故該多邊形的內(nèi)角和比2570°大。又由相鄰內(nèi)、外角間的關(guān)系可知，內(nèi)角和比2570°+180°小。可列出關(guān)于邊數(shù)n的不等式，先確定邊數(shù)n的范圍，再求邊數(shù)。
解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為（n－2）·180°。依題意，得
解這個不等式，得。
所以n=17，即這個多邊形的邊數(shù)為17。
說明：這類題都隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個條件。
4、把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形是研究不規(guī)則圖形的常用方法，其解題關(guān)鍵是構(gòu)造合適的圖形。
例4 如圖1，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。
圖1
分析：解題關(guān)鍵是把該圖形與凸多邊形聯(lián)系起來，從而利用多邊形內(nèi)角和定理來解決，因此可考慮連接CF。
解：連接CF。
∵∠COF=∠DOE
∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
=∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
=（5－2）×180°
=540°
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