選修2-2 3.2.2 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算
一、
1．(2010?安徽理，1)i是虛數(shù)單位，i3＋3i＝(　　)
A.14－312i　　　　　　　
B.14＋312i
C.12＋36i
D.12－36i
[答案]　B
[解析]　i3＋3i＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i)
＝3＋3i12＝14＋312i，故選B.
2．在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝i(1＋2i)對應的點位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　B
[解析]　考查復數(shù)的運算．
z＝－2＋i，對應點位于第二象限，
∴選B.
3．已知z是純虛數(shù)，z＋21－i是實數(shù)，那么z等于(　　)
A．2i
B．i
C．－i
D．－2i
[答案]　D
[解析]　本小題主要考查復數(shù)的運算．
設z＝bi(b∈R)，則z＋21－i＝2＋bi1－i＝2－b2＋b＋22i，
∴b＋22＝0，∴b＝－2，
∴z＝－2i，故選D.
4．i是虛數(shù)單位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，b∈R)，則乘積ab的值是(　　)
A．－15
B．－3
C．3
D．15
[答案]　B
[解析]　本題考查復數(shù)的概念及其簡單運算．
1＋7i2－i＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i5＝－1＋3i＝a＋bi，
∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.
5．設z是復數(shù)，a(z)表示滿足zn＝1的最小正整數(shù)n，則對虛數(shù)單位i，a(i)＝(　　)
A．8
B．6
C．4
D．2
[答案]　C
[解析]　考查理解能力和復數(shù)的概念與運算．
∵a(z)表示使zn＝1的最小正整數(shù)n.
又使in＝1成立的最小正整數(shù)n＝4，∴a(i)＝4.
6．已知復數(shù)z的實部為－1，虛部為2，則5iz＝(　　)
A．2－i
B．2＋i
C．－2－i
D．－2＋i
[答案]　A
[解析]　考查復數(shù)的運算．
z＝－1＋2i，則5i－1＋2i＝5i(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i)
＝10－5i5＝2－i.
7．設a，b∈R且b≠0，若復數(shù)(a＋bi)3是實數(shù)，則(　　)
A．b2＝3a2
B．a(chǎn)2＝3b2
C．b2＝9a2
D．a(chǎn)2＝9b2
[答案]　A
[解析]　本小題主要考查復數(shù)的運算．
(a＋bi)3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i
＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i，
∴3a2b－b3＝0，∴3a2＝b2，故選A.
8．設z的共軛復數(shù)是z，若z＋z＝4，z?z＝8，則zz等于(　　)
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
[答案]　D
[解析]　本題主要考查復數(shù)的運算．
設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，
由z＋z＝4，z z＝8得2a＝4a2＋b2＝8∴a＝2b＝±2
∴z＝2＋2i，z＝2－2i或z＝2－2i，z＝2＋2i，zz＝2－2i2＋2i＝－i或zz＝2＋2i2－2i＝i.∴zz＝±i，故選D.
9．(2010?新課標全國理，2)已知復數(shù)z＝3＋i(1－3i)2，z－是z的共軛復數(shù)，則z?z－＝(　　)
A.14　 　　
B.12　 　　
C．1　　　　
D．2
[答案]　A
[解析]　∵z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i1－23i－3＝3＋i－2－23i
＝3＋i－2(1＋3i)＝(3＋i)(1－3i)－2×(1＋3)
＝3－3i＋i＋3－8＝23－2i－8＝3－i－4，∴z－＝3＋i－4，
∴z?z－＝z2＝14，故選A.
10．定義運算a　bc　d＝ad－bc，則符合條件1　－1z　　zi＝4＋2i的復數(shù)z為(　　)
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
[答案]　A
[解析]　由定義得1�。�1z　　zi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i
∴z＝4＋2i1＋i＝3－i.
故應選A.
二、題
11.1＋i1－i表示為a＋bi(a，b∈R)，則a＋b＝________.
[答案]　1
[解析]　本小題考查復數(shù)的除法運算．
∵1＋i1－i＝(1＋i)22＝i，∴a＝0，b＝1.
因此a＋b＝1.
12．若復數(shù)z滿足z＝i(2－z)(i是虛數(shù)單位)，則z＝________.
[答案]　1＋i
[解析]　本題主要考查復數(shù)的運算．
∵z＝i(2－z)，∴z＝2i1＋i＝1＋i.
13．關于x的不等式mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集為(－1,2)，則復數(shù)m＋pi所對應的點位于原復平面內(nèi)的第________象限．
[答案]　二
[解析]　∵mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集為(－1，2)，∴m<0(－1)＋2＝nm(－1)×2＝pm，即m<0，p>0.
故復數(shù)m＋pi所對應的點位于復平面內(nèi)的第二象限．
14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________．
[答案]　83
[解析]　設z1z2＝bi(b∈R且b≠0)，∴z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.∴a＝4b2＝3b?a＝83.
三、解答題
15．計算：
(1)－23＋i1＋23i＋21＋i2000＋1＋i3－i；
(2)1＋in＋i2n＋…＋i2000n(n∈N)．
[解析]　(1)原式＝－23＋i－i(－23＋i)＋(－i)100＋1＋i3－i
＝i＋1＋15＋25i＝65＋75i.
(2)當n＝4k(k∈N)時，原式＝1＋1＋…＋1 2001＝2001.
當n≠4k(k∈N)時，
原式＝1－i2001n1－in＝1－i2000n?in1－in＝1－in1－in＝1.
16．已知復數(shù)z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i，ω＝z＋ai(a∈R)，當ωz≤2時，求a的取值范圍．
[解析]　z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i
＝(2＋4i)－(1＋3i)i＝1＋ii＝－i(1＋i)1＝1－i
∵ω＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i
∴ωz＝1＋(a－1)i1－i＝[1＋(a－1)i](1＋i)2＝2－a＋ai2
∴ωz＝(2－a)2＋a22≤2
∴a2－2a－2≤0，∴1－3≤a≤1＋3
故a的取值范圍是[1－3，1＋3]．
17．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個根(b，c∈R)．
(1)求b，c的值；
(2)試證明1－i也是方程的根．
[解析]　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0
即b＋c＋(2＋b)i＝0
∴b＋c＝02＋b＝0解得b＝－2c＝2.
(2)由(1)知方程為x2－2x＋2＝0
把1－i代入方程左邊得
左邊＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右邊，即方程成立
∴1－i也是方程的根．
18．已知ω＝z＋i(z∈C)，z－2z＋2是純虛數(shù)，又ω＋12＋ω－12＝16，求ω.
[解析]　設z＝a＋bi(a，b∈R)
∴z－2z＋2＝(a－2)＋bi(a＋2)＋bi＝(a2＋b2－4)＋4bi(a＋2)2＋b2
由z－2z＋2是純虛數(shù)得a2＋b2＝4b≠0　①
∴ω＋12＋ω－12＝z＋i＋12＋z＋i－12
＝a＋bi＋i＋12＋a＋bi＋i－12
＝(a＋1)＋(b＋1)i2＋(a－1)2＋(b＋1)i2
＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋(a－1)2＋(b＋1)2
＝2(a2＋b2)＋4＋4b＝8＋4＋4b＝12＋4b＝16，
∴b＝1，
將b＝1代入①得a＝±3.


本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoer/76743.html

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