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遼寧省東北育才學(xué)校2014-2014學(xué)年高二第一次月考
數(shù)學(xué)試題
一、：（每小題5分，共60分）
1．下列命題中的假命題是
A． 且 ，都有
B． ，直線 恒過定點(diǎn)
C． 使 是冪函數(shù)
D． ，函數(shù) 都不是偶函數(shù)
答案:D
2．已知命題 R， R， 給出下列結(jié)論：①命題“ ”是真命題；②命題“ ”是假命題；③命題“ ”是真命題；④命題“ ”是假命題.其中正確的是
A．②④B．②③C．③④D．①②③
答案:B
3．給定下列四個(gè)命題：
① ，使 成立；
②已知命題 ，那么命題 為 ，使 ；
③若兩個(gè)平面都和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行；
④若兩個(gè)平面都和第三個(gè)平面垂直，那么這兩個(gè)平面平行.
其中真命題個(gè)數(shù)是
A．0 B．1 C．2D．3
答案:B
4．設(shè)向量 ， ，則“ ”是“ ”的
A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案:A
5．已知 ， 表示兩個(gè)不同的平面，m為平面 內(nèi)的一條直線，則“ ”是“ ” 是
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案:B
6．在 中， 是 的
A．充分而不必要條件 　　　　　　 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件　　　　　 　 D．既不充分也不必要條件
答案:C
7．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且 ，則 的面積為
A．4 B． C． D．6
答案:D
8．過點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn)，線段 的中點(diǎn)為 ，設(shè)直線 的斜率為 ，直線 的斜率為 ，則 的值為
A． B． C． D．
答案：D
9．F1，F(xiàn)2是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)， 是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若 是橢圓上異于 的動(dòng)點(diǎn)，考察下面四個(gè)命題：
① ；
② ；
③若 越接近于 ，則離心率越接近于1；
④直線 與 的斜率之積等于 ．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
10．已知 為橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)， 為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)， ，則橢圓的離心率的取值范圍
A． B． C． D．
答案：A
11．設(shè) 為曲線 的焦點(diǎn)， 是曲線 與 的一個(gè)交點(diǎn)，則 的值為
A． B． C． D．
答案：B
12．已知點(diǎn)P是橢圓C： 上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 的取值范圍是
A．[0, ] B． C． D．[0, ]
答案：D
二、題：（每小題5分，共20分）
13．給定下列四個(gè)命題：
①“ ”是“ ”的充分不必要條件；②若“ ”為真，則“ ”為真；
③若 ，則 ；④若集合 ，則 .
其中為真命題的是 （填上所有正確命題的序號(hào)）.
答案:①④
14．若直線l: 與圓 沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn) 的直線與橢圓 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ．
答案:2
15．給出下列四個(gè)命題：
①命題“ ”的否定是“ ”；
②在空間中， 、 是兩條不重合的直線， 、 是兩個(gè)不重合的平面，如果 ， ， ，那么 ；
③將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位，得到函數(shù) 的圖象；
④函數(shù) 的定義域?yàn)?，且 ,若方程 有兩個(gè)不同實(shí)根，則 的取值范圍為 .
其中正確命題的序號(hào)是 ．
答案:③④
16．設(shè) 為雙曲線 上一點(diǎn), 分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若 的面積為12，則 等于 ．
答案：
三、解答題：（17題滿分10分，18?22題每題12分，共70分）
17．（本小題滿分10分）
設(shè)命題 ：函數(shù) 的定義域?yàn)?；命題 ：不等式
對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立，如果命題 或 為真命題，命題 且 為假命題，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
答案： 真： ； 真： .綜上:
18．（本小題滿分12分）
設(shè)動(dòng)直線 垂直于 軸，且與橢圓 交于 兩點(diǎn)， 是 上滿足 的點(diǎn)，求點(diǎn) 的軌跡方程．
解：設(shè)點(diǎn) ，則由方程 得
兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
又
即
又直線 與橢圓交于兩點(diǎn)，
點(diǎn) 的軌跡方程為 …………………12分
19.（本小題滿分12分）
已知橢圓 ，過點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于兩點(diǎn) ， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 為直角三角形，求直線 的斜率.
所以 ，
所以 ，解得 . ………………8分
（?）當(dāng) 或 為直角時(shí)，不妨設(shè) 為直角，
此時(shí)， ，所以 ，即 ………①，
又 ………②，
將①代入②，消去 得 ，
解得 或 （舍去），
將 代入①，得 ，
所以 ，
經(jīng)檢驗(yàn)，所求 值均符合題意，綜上， 的值為 和 .………………12分
20.（本小題滿分12分）
設(shè)直線 與橢圓 相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）證明： ；
（Ⅱ）若 的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程．
得 代入上式，得 ……………8分
于是，△OAB的面積
其中，上式取等號(hào)的條件是 即 ……………………10分
由 可得
將 及 這兩組值分別代入①，均可解出
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 --------------12分
21.（本小題滿分12分）
若橢圓 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與左右焦點(diǎn) 、 組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為 .
(Ⅰ)求橢圓 的方程；
(Ⅱ) 過點(diǎn) 作直線 與橢圓 交于 、 兩點(diǎn)，線段 的中點(diǎn)為 ,求直線 的斜率 的取值范圍.
當(dāng) 時(shí)， ，
且 ……11 分
綜上所述，直線 的斜率 的取值范圍是 . ……12 分
22.（本小題滿分12分）
已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上的橢圓 的離心率為 ，且經(jīng)過點(diǎn) ，過點(diǎn) 的直線 與橢圓 相交于不同的兩點(diǎn) .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）是否存直線 ，滿足 ？若存在，求出直線 的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓 的方程為 ，由題意得
解得 ， ，故橢圓 的方程為


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