2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學（文科A卷）解析從今以后，不再是大學特學綜合科，而是大學特學數(shù)學科了！讓別的科扼殺學生的能力吧，數(shù)學出基礎題就好——感恩廣東今年數(shù)學出題老師本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．錐體的體積公式： ．其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高．一、：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設集合 ， ，則 A． B． C． D． 【解析】：先解兩個一元二次方程，再取交集，選A，5分到手，妙！2．函數(shù) 的定義域是A． B． C． D． 【解析】：對數(shù)真數(shù)大于零，分母不等于零，目測C！3．若 ， ，則復數(shù) 的模是 A．2 B．3 C．4 D．5【解析】：復數(shù)的運算、復數(shù)相等，目測 ，模為5，選D.4．已知 ，那么 A． B． C． D． 【解析】：考查三角函數(shù)誘導公式， ，選C.5．執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，若輸入 的值為3，則輸出 的值是 A．1 B．2 C．4 D．7【解析】選C.本題只需細心按程序框圖運行一下即可.6．某三棱錐的三視圖如圖2所示，則該三棱錐的體積是 A． B． C． D． 【解析】由三視圖判斷底面為等腰直角三角形，三棱錐的高為2，則 ，選B.7．垂直于直線 且與圓 相切于第一象限的直線方程是 A． B． C． D． 【解析】本題考查直線與圓的位置關系，直接由選項判斷很快，圓心到直線的距離等于 ，排除B、C；相切于第一象限排除D，選A.直接法可設所求的直線方程為： ，再利用圓心到直線的距離等于 ，求得 .8．設 為直線， 是兩個不同的平面，下列命題中正確的是A．若 ， ，則 B．若 ， ，則 C．若 ， ，則 D．若 ， ，則 【解析】基礎題，在腦海里把線面可能性一想，就知道選B了.9．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為 ，離心率等于 ，則C的方程是A． B． C． D． 【解析】基礎題， ，選D.10．設 是已知的平面向量且 ，關于向量 的分解，有如下四個命題：①給定向量 ，總存在向量 ，使 ；②給定向量 和 ，總存在實數(shù) 和 ，使 ；③給定單位向量 和正數(shù) ，總存在單位向量 和實數(shù) ，使 ；④給定正數(shù) 和 ，總存在單位向量 和單位向量 ，使 ；上述命題中的向量 ， 和 在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是A．1B．2C．3D．4【解析】本題是中的壓軸題，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法則.利用向量加法的三角形法則，易的①是對的；利用平面向量的基本定理，易的②是對的；以 的終點作長度為 的圓，這個圓必須和向量 有交點，這個不一定能滿足，③是錯的；利用向量加法的三角形法則，結合三角形兩邊的和大于第三邊，即必須 ，所以④是假命題.綜上，本題選B.平面向量的基本定理考前還強調(diào)過，不懂學生做得如何.【品味選擇題】文科選擇題答案：ACDCC BABDB.選擇題3322再次出現(xiàn)！今年的選擇題很基礎，希望以后高考年年出基礎題！二、題：本大題共5小題．考生 作答4小題．每小題5分，滿分20 分． （一）必做題（11～13題）11．設數(shù)列 是首項為 ，公比為 的等比數(shù)列，則 【解析】這題相當于直接給出答案了 12．若曲線 在點 處的切線平行于 軸，則 ．【解析】本題考查切線方程、方程的思想.依題意 13．已知變量 滿足約束條件 ，則 的最大值是．【解析】畫出可行域如圖，最優(yōu)解為 ，故填 5 ；（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14．（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線 的極坐標方程為 ．以極點為原點，極軸為 軸的正半軸建立直角坐標系，則曲線 的參數(shù)方程為 ．【解析】本題考了備考弱點.講參數(shù)方程的時候，參數(shù)的意義要理解清楚.先化成直角坐標方程 ，易的則曲線C的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）15．（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形 中， ， ，垂足為 ，則 ．【解析】本題對數(shù)值要敏感，由 ，可知 從而 ，.【品味題】選做題還是難了點，比理科還難些.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知函數(shù) ．(1) 求 的值；(2) 若 ，求 ．【解析】(1) （2） ， ，．【解析】這個題實在是太簡單，兩角差的余弦公式不要記錯了.
17．（本小題滿分13分）從一批蘋果中，隨機抽取50個，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：分組（重量）
頻數(shù)（個）5102015(1) 根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在 的頻率；(2) 用分層抽樣的方法從重量在 和 的蘋果中共抽取4個，其中重量在 的有幾個？(3) 在（2）中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在 和 中各有1個的概率．【解析】（1）蘋果的重量在 的頻率為 ；（2）重量在 的有 個；（3）設這4個蘋果中 分段的為1， 分段的為2、3、4，從中任取兩個，可能的情況有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6種；設任取2個，重量在 和 中各有1個的事件為A，則事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3種，所以 .【解析】這個基礎題，我只強調(diào)：注意格式！
18．（本小題滿分13分）如圖4，在邊長為1的等邊三角形 中， 分別是 邊上的點， ， 是 的中點， 與 交于點 ，將 沿 折起，得到如圖5所示的三棱錐 ，其中 ．(1) 證明： //平面 ；(2) 證明： 平面 ；(3) 當 時，求三棱錐 的體積 ．【解析】（1）在等邊三角形 中， ,在折疊后的三棱錐 中也成立， , 平面 ，平面 ， 平面 ；（2）在等邊三角形 中， 是 的中點，所以 ①， . 在三棱錐 中， ， ②；（3）由（1）可知 ，結合（2）可得 .【解析】這個題是入門級的題，除了立體幾何的內(nèi)容，還考查了平行線分線段成比例這個平面幾何的內(nèi)容.
19．（本小題滿分14分）設各項均為正數(shù)的數(shù)列 的前 項和為 ，滿足 且 構成等比數(shù)列．(1) 證明： ；(2) 求數(shù)列 的通項公式；(3) 證明：對一切正整數(shù) ，有 ．【解析】（1）當 時， ， （2）當 時， ， , 當 時， 是公差 的等差數(shù)列.構成等比數(shù)列， ， ，解得 ,由（1）可知， 是首項 ,公差 的等差數(shù)列. 數(shù)列 的通項公式為 .（3） 【解析】本題考查很常規(guī)，第（1）（2）兩問是已知 求 ， 是等差數(shù)列，第（3）問只需裂項求和即可，估計不少學生猜出通項公式，跳過第（2）問，作出第（3）問.本題易錯點在分成 ， 來做后，不會求 ，沒有證明 也滿足通項公式.20．（本小題滿分14分）已知拋物線 的頂點為原點，其焦點 到直線 的距離為 ．設 為直線 上的點，過點 作拋物線 的兩條切線 ，其中 為切點．(1) 求拋物線 的方程；(2) 當點 為直線 上的定點時，求直線 的方程；(3) 當點 在直線 上移動時，求 的最小值．【解析】（1）依題意 ，解得 （負根舍去）拋物線 的方程為 ；（2）設點 , ， ，由 ,即 得 . ∴拋物線 在點 處的切線 的方程為 ，即 . ∵ ， ∴ .∵點 在切線 上, ∴ . ①同理， . ②綜合①、②得，點 的坐標都滿足方程 . ∵經(jīng)過 兩點的直線是唯一的，∴直線 的方程為 ，即 ；（3）由拋物線的定義可知 ，所以 聯(lián)立 ，消去 得 ， 當 時， 取得最小值為 【解析】2013廣州模直接命中了這一題，廣一模20題解法2正是本科第（2）問的解法，并且廣一模大題結構和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是個蓋世英雄，有一天他會踩著七色云彩來娶我，我只猜中了前頭，可是我卻猜不中這結局……形容這次高考，妙極！
21．（本小題滿分14分）設函數(shù) ．(1) 當 時,求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；(2) 當 時,求函數(shù) 在 上的最小值 和最大值 ．【解析】： (1)當 時 , 在 上單調(diào)遞增.（2）當 時， ，其開口向上，對稱軸 ，且過 （i）當 ，即 時， ， 在 上單調(diào)遞增，從而當 時， 取得最小值 ,當 時， 取得最大值 .（ii）當 ，即 時，令 解得： ,注意到 ,(注：可用韋達定理判斷 ， ,從而 ；或者由對稱結合圖像判斷) 的最小值 ,的最大值 綜上所述，當 時， 的最小值 ,最大值 解法2（2）當 時，對 ，都有 ，故 故 ，而 ， 所以 ， 【解析】：看著容易，做著難！常規(guī)解法完成后，發(fā)現(xiàn)不用分類討論，奇思妙解也出現(xiàn)了：結合圖像感知 時最小， 時最大，只需證 即可，避免分類討論.本題第二問關鍵在求最大值，需要因式分解比較深的功力，這也正符合了2012年高考年報的“對中學教學的要求——重視高一教學與初中課堂銜接課”.
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