第4節(jié) 萬有引力與航天
【考綱知識梳理】
一、開普勒行星運(yùn)動定律
1．開普勒第一定律（軌道定律）:所有的行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。
2．開普勒第二定律（面積定律）:對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的相等的面積。（近日點(diǎn)速率最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速率最�。�
3．開普勒第三定律（周期定律）：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。
二、萬有引力定律
1．內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比。
2.公式：
3.適用條件:適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用
三、萬有定律的應(yīng)用
1.討論重力加速度g隨離地面高度h的變化情況： 物體的重力近似為地球?qū)ξ矬w的引力，即 。所以重力加速度 ，可見，g隨h的增大而減小。
2．算中心天體的質(zhì)量的基本思路：
(1)從環(huán)繞天體出發(fā):通過觀測環(huán)繞天體運(yùn)動的周期T和軌道半徑r;就可以求出中心天體的質(zhì)量M
(2)從中心天體本身出發(fā):只要知道中心天體的表面重力加速度g和半徑R就可以求出中心天體的質(zhì)量M。
3．解衛(wèi)星的有關(guān)問題：在高考試題中，應(yīng)用萬有引力定律解題的知識常集中于兩點(diǎn)：
（1）是天體運(yùn)動的向心力來源于天體之間的萬有引力。即
（2）是地球?qū)ξ矬w的萬有引力近似等于物體的重力，即 從而得出 (黃金代換，不考慮地球自轉(zhuǎn))
4.衛(wèi)星：相對地面靜止且與地球自轉(zhuǎn)具有相同周期的衛(wèi)星。
①定高：h=36000km ②定速：v=3.08km/s ③定周期：=24h ④定軌道：赤道平面
5、三種宇宙速度：第一、第二、第三宇宙速度
①第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：是衛(wèi)星環(huán)繞地球表面運(yùn)行的速度，也是繞地球做勻速圓周運(yùn)動的最大速度，也是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度V1=7.9Km/s。
②第二宇宙速度（脫離速度）：使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，V2=11.2Km/s。
③第三宇宙速度（逃逸速度）：使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，V3=16.7 Km/s。
【要點(diǎn)名師透析】
一、應(yīng)用萬有引力定律分析天體的運(yùn)動
1.解決天體(衛(wèi)星)運(yùn)動問題的基本思路
(1)天體運(yùn)動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即
(2)在中心天體表面或附近運(yùn)動時(shí)，萬有引力近似等于重力，即 (g0表示天體表面的重力加速度).
注意：①在研究衛(wèi)星的問題中，若已知中心天體表面的重力加速度g0時(shí)，常運(yùn)用GM＝g0R2作為橋梁，可以把“地上”和“天上”聯(lián)系起來.由于這種代換的作用巨大，此式通常稱為黃金代換式.
②利用此關(guān)系可求行星表面重力加速度、軌道處重力加速度：
在行星表面重力加速度：
在離地面高為h的軌道處重力加速度： ，所以
2.應(yīng)用實(shí)例
(1)估算中心天體質(zhì)量的基本思路
①從環(huán)繞天體出發(fā):通過觀測環(huán)繞天體運(yùn)動的周期T和軌道半徑r就可以求出中心天體的質(zhì)量M.
②從中心天體本身出發(fā):只要知道中心天體表面的重力加速度g和半徑R就可以求出中心天體的質(zhì)量M.
(2)估算中心天體的密度ρ測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動的半徑r和周期T，由
【例1】(2010?安徽高考)為了對火星及其周圍的空間環(huán)境進(jìn)行探測，我國預(yù)計(jì)于2011年10月發(fā)射第一顆火星探測器“螢火一號”.假設(shè)探測器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運(yùn)動時(shí)，周期分別為T1和T2.火星可視為質(zhì)量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響，萬有引力常量為G.僅利用以上數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出( )
A.火星的密度和火星表面的重力加速度
B.火星的質(zhì)量和火星對“螢火一號”的引力
C.火星的半徑和“螢火一號”的質(zhì)量
D.火星表面的重力加速度和火星對“螢火一號”的引力
【答案】選A.設(shè)火星的半徑為R，火星的質(zhì)量為M，
由F萬=F向可得：
聯(lián)立可以求出火星的半徑R，火星的質(zhì)量M，由密度公式 ，可進(jìn)一步求出火星的密度；由 可進(jìn)一步求出火星表面的重力加速度.由于不知道“螢火一號”的質(zhì)量，所以不能求出火星對“螢火一號”的引力，只有A正確.
二、衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律
1.衛(wèi)星的動力學(xué)規(guī)律
由萬有引力提供向心力
3.衛(wèi)星的“變軌問題”分析
衛(wèi)星在運(yùn)行中的變軌有兩種情況，即離心運(yùn)動和向心運(yùn)動.
當(dāng)萬有引力恰好提供衛(wèi)星所需向心力時(shí)，即
時(shí)，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動；當(dāng)某時(shí)刻速度發(fā)生突變時(shí)，軌道半徑將發(fā)生變化.
(1)速度突然增大時(shí) ，萬有引力小于向心力，做離心運(yùn)動.
(2)速度突然減小時(shí)， ，萬有引力大于向心力，做向心運(yùn)動.
4.地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)
(1)軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合.
(2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24h＝86 400 s.
(3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同.
(4)高度一定：據(jù) 得 ＝4.24×104 km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量).
(5)速率一定：運(yùn)動速度v＝2πr/T＝3.07 km/s(為恒量).
(6)繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致.
5.極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星
(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋.
(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9 km/s.
(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心.
【例2】(2010?江蘇高考)2009年5月，航天飛機(jī)在完成對哈勃空間望遠(yuǎn)鏡的維修任務(wù)后，在A點(diǎn)從圓形軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，B為軌道Ⅱ上的一點(diǎn)，如圖所示，關(guān)于航天飛機(jī)的運(yùn)動，下列說法中正確的有( )
A.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于經(jīng)過B的速度
B.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的動能小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的動能
C.在軌道Ⅱ上運(yùn)動的周期小于在軌道Ⅰ上運(yùn)動的周期
D.在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的加速度
【答案】選A、B、C.
【詳解】根據(jù)開普勒定律可知，航天飛機(jī)在近地點(diǎn)的速度大于在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，A正確；在軌道Ⅰ上航天飛機(jī)受到的萬有引力恰好提供向心力，而在軌道Ⅱ上萬有引力大于向心力，航天飛機(jī)做向心運(yùn)動，因此在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的速度，所以B正確；由開普勒第三定律可知， ,R2【感悟高考真題】
1.（2011?江蘇物理?T7）一行星繞恒星作圓周運(yùn)動。由天文觀測可得，其運(yùn)動周期為T，速度為v，引力常量為G，則
A．恒星的質(zhì)量為 B．行星的質(zhì)量為
C．行星運(yùn)動的軌道半徑為 D．行星運(yùn)動的加速度為
【答案】選ACD.
【詳解】根據(jù)周期公式 可得 ，C對，根據(jù)向心加速度公式 ，D對，根據(jù)萬有引力提供向心力 ，可得 ,A對。
2.（2011?福建理綜?T13）“嫦娥二號”是我國月球探測第二期工程的先導(dǎo)星。若測得“嫦娥二號”在月球（可視為密度均勻的球體）表面附近圓形軌道運(yùn)行的周期T，已知引力常量為G，半徑為R的球體體積公式 ，則可估算月球的
A.密度 B.質(zhì)量 C.半徑 D.自轉(zhuǎn)周期
【答案】選A.
【詳解】由萬有引力提供向心力有 ，由于在月球表面
軌道有r=R，由球體體積公式 聯(lián)立解得月球的密度 ，故選A。
3.（2011?新課標(biāo)全國卷?T19）衛(wèi)星電話信號需要通過地球同步衛(wèi)星傳送。如果你與同學(xué)在地面上用衛(wèi)星電話通話，則從你發(fā)出信號至對方接收到信號所需最短時(shí)間最接近于（可能用到的數(shù)據(jù)：月球繞地球運(yùn)動的軌道半徑約為3.8×105km，運(yùn)行周期約為27天，地球半徑約為6400km，無線電信號的傳播速度為3×108m/s，）
A.0.1s B.0.25s C.0.5s D.1s
【答案】選B。
【詳解】根據(jù)開普勒第三定律可得： ，則同步衛(wèi)星的軌道半徑為 ，代入題設(shè)已知得，r衛(wèi)=r月3272 =4.22×107m，因此同步衛(wèi)星到地面的最近距離為L= r衛(wèi)－r=4.22×107m－6.4×106m=3.58×107m，從發(fā)出信號至對方接收到信號所需最短時(shí)間?t=2Lc =2.4s，即A、C、D錯(cuò)，B正確。
4.【答案】甲、乙為兩顆地球衛(wèi)星，其中甲為地球同步衛(wèi)星，乙的運(yùn)行高度低于甲的運(yùn)行高度，兩衛(wèi)星軌道均可視為圓軌道。以下判斷正確的是
A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度
C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在運(yùn)行時(shí)能經(jīng)過北極的正上方
【答案】選A、C。
【詳解】由題意知甲衛(wèi)星的軌道半徑比乙大，由萬有引力提供向心力可得 ，得出周期和軌道半徑的關(guān)系 ，軌道半徑越大，衛(wèi)星周期越長�？傻贸鯝選項(xiàng)正確。有由萬有引力充當(dāng)向心力的另一個(gè)表達(dá)式 可得線速度和軌道半徑的關(guān)系 ，軌道半徑越大，線速度越小。可得出B項(xiàng)錯(cuò)誤。又由 ，得 ，故軌道半徑越大，向心加速度越小�？傻贸鯟項(xiàng)正確。地球同步衛(wèi)星的軌道應(yīng)在赤道正上方，不可能經(jīng)過北極，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
5.（2011?天津理綜?T8）質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動視為勻速圓周運(yùn)動。已知月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的
A.線速度 B.角速度
C.運(yùn)行周期 D.向心加速度
【答案】選AC．
【詳解】月球?qū)μ皆潞教炱鞯娜f有引力提供探月航天器在月球附近做勻速圓周運(yùn)動所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律列方程得 ，則探月航天器的線速度為 ,選項(xiàng)A正確，其加速度 ,選項(xiàng)D錯(cuò)誤，又知，在月球附近滿足 ，因此探月航天器的角速度 ，其周期為 ，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，而選項(xiàng)C正確。
6.（2011?浙江理綜?T19）為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r1的圓軌道上運(yùn)動，周期為T1，總質(zhì)量為m1。隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r2 的圓軌道上運(yùn)動，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m2則
A. X星球的質(zhì)量為
B. X星球表面的重力加速度為
C. 登陸艙在r1與r2軌道上運(yùn)動時(shí)的速度大小之比為
D. 登陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運(yùn)動的周期為
【答案】選AD.
【詳解】探測飛船繞星球運(yùn)動時(shí)，由萬有引力充當(dāng)向心力，滿足 ，可得： ，A正確； 又根據(jù) （R為星球半徑），B錯(cuò)誤；根據(jù)： ，可得： ，C錯(cuò)誤；根據(jù)： ，可得： ，D正確.
7.（2011?廣東理綜?T20）已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為m，引力常量為G。有關(guān)同步衛(wèi)星，下列表述正確的是
A.衛(wèi)星距離地面的高度為
B.衛(wèi)星的運(yùn)行速度小于第一宇宙速度
C.衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)受到的向心力大小為
D.衛(wèi)星運(yùn)行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
【答案】選B.D.
【詳解】對同步衛(wèi)星有萬有引力提供向心力 ,所以 ,故A錯(cuò)誤；第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，B正確；同步衛(wèi)星運(yùn)動的向心力等于萬有引力，應(yīng)為: ,C錯(cuò)誤；同步衛(wèi)星的向心加速度為 ，地球表面的重力加速度 ,知 ，D正確。
8.（2011?四川理綜?T17）據(jù)報(bào)道，天文學(xué)家近日發(fā)現(xiàn)了一顆距地球40光年的“超級地球”，名為“55Cancri e”該行星繞母星（中心天體）運(yùn)行的周期約為地球繞太陽運(yùn)行周期的 ，母星的體積約為太陽的60倍.假設(shè)母星與太陽密度相同，“55 Cancri e”與地球均做勻速圓周運(yùn)動，則“55 Cancri e”與地球的
A.軌道半徑之比約為 B. 軌道半徑之比約為
C.向心加速度之比約為 D. 向心加速度之比約為
【答案】選B.
【詳解】由公式 ，可得通式 ，從而判斷A錯(cuò)B對；再由 得通式 ，可知C、D皆錯(cuò).
9.（2011?北京高考?T15）由于通訊和廣播等方面的需要，許多國家發(fā)射了地球同步軌道衛(wèi)星，這些衛(wèi)星的
A. 質(zhì)量可以不同 B. 軌道半徑可以不同
C. 軌道平面可以不同 D. 速率可以不同
【答案】選A.
【詳解】萬有引力提供衛(wèi)星的向心力 ，解得周期 ，環(huán)繞速度 ，可見周期相同的情況下軌道半徑必然相同，B錯(cuò)誤，軌道半徑相同必然環(huán)繞速度相同，D錯(cuò)誤，同步衛(wèi)星相對于地面靜止在赤道上空，所有的同步衛(wèi)星軌道運(yùn)行在赤道上空同一個(gè)圓軌道上，C錯(cuò)誤，同步衛(wèi)星的質(zhì)量可以不同，A正確.
10.（2011?大綱版全國?T19）我國“嫦娥一號”探月衛(wèi)星發(fā)射后，先在“24小時(shí)軌道”上繞地球運(yùn)行(即繞地球一圈需要24小時(shí))；然后，經(jīng)過兩次變軌依次到達(dá)“48小時(shí)軌道”和“72小時(shí)軌道”；最后奔向月球。如果按圓形軌道計(jì)算，并忽略衛(wèi)星質(zhì)量的變化，則在每次變軌完成后與變軌前相比，
A．衛(wèi)星動能增大，引力勢能減小B．衛(wèi)星動能增大，引力勢能增大
C．衛(wèi)星動能減小，引力勢能減小D．衛(wèi)星動能減小，引力勢能增大
【答案】選D.
【詳解】當(dāng)衛(wèi)星在圓周軌道上做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，萬有引力充當(dāng)向心力 ，所以環(huán)繞周期 ，環(huán)繞速度 可以看出，周期越大，軌道半徑越大，軌道半徑越大，環(huán)繞速度越小，動能越小.在變軌過程中，克服引力做功，引力勢能增加，所以D選項(xiàng)正確。
11.（2011?重慶理綜?T21）某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓。每過N年，該行星會運(yùn)行到日地連線的延長線上，如題21圖所示。該行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑之比為
A． B.
C． D.
【答案】選B.
【詳解】地球周期 年，經(jīng)過N年，地球比行星多轉(zhuǎn)一圈，即多轉(zhuǎn) ，角速度之差為 ，所以 ，即 ，由開普勒第三定律 得
12.（2011?海南物理?T12）2011年4月10日，我國成功發(fā)射第8顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，建成以后北斗導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)將包含多顆地球同步衛(wèi)星，這有助于減少我國對GPS導(dǎo)航系統(tǒng)的依賴，GPS由運(yùn)行周期為12小時(shí)的衛(wèi)星群組成，設(shè)北斗導(dǎo)航系統(tǒng)的同步衛(wèi)星和GPS導(dǎo)航衛(wèi)星的軌道半徑分別為 和 ，向心加速度分別為 和 ，則 =_______， =_____（可用根式表示）
【答案】
【詳解】依據(jù)題意可知 h， h，由開普勒第三定律 ，所以 ；由萬有引力提供向心力公式 ，可得 .
13.（2011?安徽高考?T22）（1）開普勒行星運(yùn)動第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即 ， 是一個(gè)對所有行星都相同的常量。將行星繞太陽的運(yùn)動按圓周運(yùn)動處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量 的表達(dá)式。已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為 。
（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立。經(jīng)測定月地距離為 m，月球繞地球運(yùn)動的周期為 S，試計(jì)算地球的質(zhì)量 。（ ，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）
【答案】（1） （2）
【詳解】（1）因行星繞太陽作勻速圓周運(yùn)動，于是軌道半長軸a即為軌道半徑r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有 ①
于是有 ②
即
（2）在地月系統(tǒng)中，
得 解得
14.（2011?上海高考物理?T22B）人造地球衛(wèi)星在運(yùn)行過程中由于受到微小的阻力，軌道半徑將緩慢減小。在此運(yùn)動過程中，衛(wèi)星所受萬有引力大小將 (填“減小”或“增大”)；其動能將 (填“減小”或“增大”)。
【答案】根據(jù)萬有引力公式 ，當(dāng)軌道半徑 減小的過程中，萬有引力增大，根據(jù)環(huán)繞速度公式 ，當(dāng)軌道半徑 減小的過程中，環(huán)繞速度增大，衛(wèi)星動能增大．
〖答案〗增大，增大
15. （2010?全國卷2）21.已知地球同步衛(wèi)星離地面的高度約為地球半徑的6倍。若某行星的平均密度為地球平均密度的一半，它的同步衛(wèi)星距其表面的高度是其半徑的2.5倍，則該行星的自轉(zhuǎn)周期約為
A．6小時(shí) B. 12小時(shí) C. 24小時(shí) D. 36小時(shí)
【答案】B
【解析】地球的同步衛(wèi)星的周期為T1=24小時(shí)，軌道半徑為r1=7R1，密度ρ1。某行星的同步衛(wèi)星周期為T2，軌道半徑為r2=3.5R2，密度ρ2。根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律分別有
兩式化簡得 小時(shí)
【命題意圖與考點(diǎn)定位】牛頓第二定律和萬有引力定律應(yīng)用于天體運(yùn)動。
16（2010?新課標(biāo)卷）20.太陽系中的8大行星的軌道均可以近似看成圓軌道.下列4幅圖是用來描述這些行星運(yùn)動所遵從的某一規(guī)律的圖像.圖中坐標(biāo)系的橫軸是 ，縱軸是 ;這里T和R分別是行星繞太陽運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑， 和 分別是水星繞太陽運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑.下列4幅圖中正確的是
答案：B
解析：根據(jù)開普勒周期定律：周期平方與軌道半徑三次方正比可知 ,
兩式相除后取對數(shù)，得： ，整理得： ，選項(xiàng)B正確。
17 （2010?北京卷）16．一物體靜置在平均密度為 的球形天體表面的赤道上。已知萬有引力常量Ｇ，若由于天體自轉(zhuǎn)使物體對天體表面壓力恰好為零，則天體自轉(zhuǎn)周期為
Ａ． 　　　�。拢� 　　　�。茫� 　　�。模�
答案：D
【解析】赤道表面的物體對天體表面的壓力為零，說明天體對物體的萬有引力恰好等于物體隨天體轉(zhuǎn)動所需要的向心力，有 ，化簡得 ，正確答案為D。
18 （2010?上海物理）15. 月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度大小為 ，設(shè)月球表面的重力加速度大小為 ，在月球繞地球運(yùn)行的軌道處由地球引力產(chǎn)生的加速度大小為 ，則
（A） （B） （C） （D）
解析：
根據(jù)月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動的向心力由地球引力提供，選B。
本題考查萬有引力定律和圓周運(yùn)動。難度：中等。這個(gè)題出的好。
19 （2010?上海物理）24.如圖，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為 、 、 （ ）.在C的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動，軌道半徑之比 ,則它們的周期之比 =______;從圖示位置開始，在b運(yùn)動一周的過程中，a、b、c共線了____次。
【解析】根據(jù) ，得 ,所以 ，
在b運(yùn)動一周的過程中，a運(yùn)動8周，所以a、b、c共線了8次。
本題考查萬有引力和圓周運(yùn)動。難度：中等。
20 （2010?天津卷）6.探測器繞月球做勻速圓周運(yùn)動，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運(yùn)動，則變軌后與變軌前相比
A.軌道半徑變小 B.向心加速度變小
C.線速度變小 D.角速度變小
答案：A
21（2010?福建卷）14.火星探測項(xiàng)目我過繼神舟載人航天工程、嫦娥探月工程之后又一個(gè)重大太空探索項(xiàng)目。假設(shè)火星探測器在火星表面附近圓形軌道運(yùn)行周期為 ，神州飛船在地球表面附近圓形軌道運(yùn)行周期為 ，火星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為p，火星半徑與地球半徑之比為q，則 、 之比為
A. B. C. D.
答案：D
解析：設(shè)中心天體的質(zhì)量為M，半徑為R，當(dāng)航天器在星球表面飛行時(shí)，由
和 ，解得 ，即 ；又因?yàn)?，所以 ， 。
【命題特點(diǎn)】本題關(guān)注我國航天事業(yè)的發(fā)展，考查萬有引力在天體運(yùn)動中的應(yīng)用，這也幾乎是每年高考中必考的題型。
22 （2010?山東卷）18．1970年4月24日，我國自行設(shè)計(jì)、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東紅一號”發(fā)射成功，開創(chuàng)了我國航天事業(yè)的新紀(jì)元�！皷|方紅一號”的運(yùn)行軌道為橢圓軌道，其近地點(diǎn) 和運(yùn)地點(diǎn) 的高度分別為439km和2384km，則
A．衛(wèi)星在 點(diǎn)的勢能大于 點(diǎn)的勢能
B．衛(wèi)星在 點(diǎn)的角速度大于 點(diǎn)的角速度
C．衛(wèi)星在 點(diǎn)的加速度大于 點(diǎn)的加速度
D．衛(wèi)星在 點(diǎn)的速度大于7．9km/s
答案：BC
解析：
A．根據(jù) ，因?yàn)?＜ ，所以 ＜ ，A錯(cuò)誤；
B．根據(jù) ，因?yàn)?＞ ，且 ＜ ，所以 ＞ ，B正確；
C．根據(jù) ，因?yàn)?＜ ，所以 ＞ ，C正確；
D．根據(jù) ，因?yàn)?＞R，R為地球半徑，所以 ＜7．9km/s，D錯(cuò)誤。
本題選BC。
本題考查萬有引力定律和圓周運(yùn)動。
難度：中等。
23（2010?重慶卷）16.月球與地球質(zhì)量之比約為1：80，有研究者認(rèn)為月球和地球可視為一個(gè)由兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成 的雙星系統(tǒng)，它們都圍繞月地連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動。據(jù)此觀點(diǎn)，可知月球與地球繞O點(diǎn)運(yùn)動的線速度大小之比約為
A 1：6400 B 1：80
C 80：1 D 6400：1
【答案】C
【解析】月球和地球繞O做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，則地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O始終共線，說明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有 ，所以 ，線速度和質(zhì)量成反比，正確答案C。
24 （2010?浙江卷）20. 宇宙飛船以周期為T繞地地球作圓周運(yùn)動時(shí)，由于地球遮擋陽光，會經(jīng)歷“日全食”過程，如圖所示。已知地球的半徑為R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，地球處置周期為T。太陽光可看作平行光，宇航員在A點(diǎn)測出的張角為 ，則
A. 飛船繞地球運(yùn)動的線速度為
B. 一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為T/T0
C. 飛船每次“日全食”過程的時(shí)間為
D. 飛船周期為T=
答案：AD
25（2010?全國卷1）25．（18分）如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。
求兩星球做圓周運(yùn)動的周期。
在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T1。但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動的，這樣算得的運(yùn)行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)）
【答案】⑴ ⑵1.01
【解析】 ⑴A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期。因此有
， ，連立解得 ，
對A根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得
化簡得
⑵將地月看成雙星，由⑴得
將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得
化簡得
所以兩種周期的平方比值為
【考點(diǎn)模擬演練】
1．近年來，人類發(fā)射的多枚火星探測器已經(jīng)相繼在火星上著陸，正在進(jìn)行著激動人心的科學(xué)探究，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星資源奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．如果火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動，并測得該運(yùn)動的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達(dá)式為(k為某個(gè)常數(shù))(　　)
A．ρ＝kT　　　　　　 B．ρ＝kT
C．ρ＝kT2　　　　　　 D．ρ＝kT2
【答案】D
【詳解】火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動時(shí)，GMmR2＝m4π2T2R，又M＝43πR3?ρ，可得：ρ＝3πGT2＝kT2，故只有D正確．
2．(2011?輔仁檢測)宇宙飛船在半徑為R1的軌道上運(yùn)行，變軌后的半徑為R2，R1＞R2.宇宙飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動，則變軌后宇宙飛船的(　　)
A．線速度變小 B．角速度變小
C．周期變大 D．向心加速度變大
【答案】D
【詳解】根據(jù)GmMr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2rT2＝ma向得v＝ GMr，可知變軌后飛船的線速度變大，A錯(cuò)；角速度變大，B錯(cuò)；周期變小，C錯(cuò)；向心加速度變大，D正確．
3．在圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動的國際空間站里，一宇航員手拿一只小球相對于太空艙靜止“站立”于艙內(nèi)朝向地球一側(cè)的“地面”上，如圖所示．下列說法正確的是(　　)
A．宇航員相對于地球的速度介于7.9 km/s與11.2 km/s之間
B．若宇航員相對于太空艙無初速釋放小球，小球?qū)⒙涞健暗孛妗鄙?br>C．宇航員將不受地球的引力作用
D．宇航員對“地面”的壓力等于零
【答案】D
【詳解】7.9 km/s是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，是衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的最大速度，可見，所有環(huán)繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的衛(wèi)星、飛船等，其運(yùn)行速度均小于7.9 km/s，故A錯(cuò)誤；若宇航員相對于太空艙無初速釋放小球，由于慣性，小球仍具有原來的速度，所以地球?qū)π∏虻娜f有引力正好提供它做勻速圓周運(yùn)動需要的向心力，即GMm′r2＝m′v2r，其中m′為小球的質(zhì)量，
故小球不會落到“地面”上，而是沿原來的軌道繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動，故B錯(cuò)誤；宇航員受地球的引力作用，此引力提供宇航員隨空間站繞地球作圓周運(yùn)動的向心力，否則宇航員將脫圓周軌道，故C錯(cuò)；因宇航員受的引力全部提供了向心力，宇航員不能對“地面”產(chǎn)生壓力，處于完全失重狀態(tài)，D正確．
4．我國未來將建立月球基地，并在繞月軌道上建造空間站．如圖4－4－10所示，關(guān)閉動力的航天飛機(jī)在月球引力作用下經(jīng)橢圓軌道向月球靠近，并將與空間站在B處對接．已知空間站繞月軌道半徑為r，周期為T，萬有引力常量為G，下列說法中正確的是(　　)
A．圖中航天飛機(jī)在飛向B處的過程中，月球引力做正功
B．航天飛機(jī)在B處由橢圓軌道可直接進(jìn)入空間站軌道
C．根據(jù)題中條件可以算出月球質(zhì)量
D．根據(jù)題中條件可以算出空間站受到月球引力的大小
【答案】AC
【詳解】航天飛機(jī)在飛向B處的過程中，飛機(jī)受到的引力方向和飛行方向之間的夾角是銳角，月球引力做正功；由運(yùn)動的可逆性知，航天飛機(jī)在B處先減速才能由橢圓軌道進(jìn)入空間站軌道；設(shè)繞月球飛行的空間站質(zhì)量為m，GMmr2＝m4π2T2r，可以算出月球質(zhì)量M；空間站的質(zhì)量不知，不能算出空間站受到的月球引力大小．
5．為紀(jì)念伽利略將望遠(yuǎn)鏡用于天文觀測400周年，2009年被定為以“探索我的宇宙”為主題的國際天文年．我國發(fā)射的“嫦娥一號”衛(wèi)星繞月球經(jīng)過一年多的運(yùn)行，完成了既定任務(wù)，于2009年3月1日16時(shí)13分成功撞月．如圖所示為“嫦娥一號”衛(wèi)星撞月的模擬圖，衛(wèi)星在控制點(diǎn)開始進(jìn)入撞月軌道．假設(shè)衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，周期為T，引力常量為G.根據(jù)題中信息，以下說法正確的是(　　)
A．可以求出月球的質(zhì)量
B．可以求出月球?qū)Α版隙鹨惶枴毙l(wèi)星的引力
C．“嫦娥一號”衛(wèi)星在控制點(diǎn)處應(yīng)減速
D．“嫦娥一號”在地面的發(fā)射速度大于11.2 km/s
【答案】AC
【詳解】衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動萬有引力提供向心力，有
GM月mR2＝m4π2T2R，則M月＝4π2R3GT2，選項(xiàng)A正確；因衛(wèi)星質(zhì)量m未知，無法求出月球?qū)Α版隙鹨惶枴毙l(wèi)星的引力，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；衛(wèi)星在控制點(diǎn)開始進(jìn)入撞月軌道，做近心運(yùn)動，則速度要減小，選項(xiàng)C正確；“嫦娥一號”在地面的發(fā)射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
6．(2011?廣東六校聯(lián)合體聯(lián)考)我們在推導(dǎo)第一宇宙速度的公式v＝gR時(shí)，需要做一些假設(shè)和選擇一些理論依據(jù)，下列必要的假設(shè)和理論依據(jù)有(　　)
A．衛(wèi)星做半徑等于2倍地球半徑的勻速圓周運(yùn)動
B．衛(wèi)星所受的重力全部作為其所需的向心力
C．衛(wèi)星所受的萬有引力僅有一部分作為其所需的向心力
D．衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期必須等于地球的自轉(zhuǎn)周期
【答案】　B
【詳解】第一宇宙速度是衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，只有其運(yùn)行軌道半徑最小時(shí)，它的運(yùn)行速度才最大，而衛(wèi)星的最小軌道半徑等于地球半徑，故A錯(cuò)誤；在地球表面附近我們認(rèn)為萬有引力近似等于重力，故B正確，C錯(cuò)誤；同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，而同步衛(wèi)星的運(yùn)行軌道半徑大于地球半徑，即大于近地軌道衛(wèi)星半徑，故同步衛(wèi)星的周期大于近地軌道衛(wèi)星，D錯(cuò)誤．
7．1970年4月24日，我國自行設(shè)計(jì)、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”發(fā)射成功，開創(chuàng)了我國航天事業(yè)的新紀(jì)元．“東方紅一號”的運(yùn)行軌道為橢圓軌道，其近地點(diǎn)M和遠(yuǎn)地點(diǎn)N的高度分別為439 km和2 384 km，則(　　)
A．衛(wèi)星在M點(diǎn)的勢能大于N點(diǎn)的勢能
B．衛(wèi)星在M點(diǎn)的角速度小于N點(diǎn)的角速度
C．衛(wèi)星在M點(diǎn)的加速度大于N點(diǎn)的加速度
D．衛(wèi)星在N點(diǎn)的速度大于7.9 km/s
【答案】　C
【詳解】衛(wèi)星從M點(diǎn)到N點(diǎn)，萬有引力做負(fù)功，勢能增大，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由開普勒第二定律知，M點(diǎn)的角速度大于N點(diǎn)的角速度，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由于衛(wèi)星在M點(diǎn)所受萬有引力較大，因而加速度較大，C項(xiàng)正確；衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)N的速度小于其在該點(diǎn)做圓周運(yùn)動的線速度，而第一宇宙速度7.9 km/s是線速度的最大值，D項(xiàng)錯(cuò)誤．
8．如圖所示，是美國的“卡西尼”號探測器經(jīng)過長達(dá)7年的“艱苦”旅行，進(jìn)入繞土星飛行的軌道．若“卡西尼”號探測器在半徑為R的土星上空離土星表面高h(yuǎn)的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時(shí)間為t，已知引力常量為G，則下列關(guān)于土星質(zhì)量M和平均密度ρ的表達(dá)式正確的是(　　)
A．M＝4π2?R＋h?3Gt2，ρ＝3π??R＋h?3Gt2R3
B．M＝4π2?R＋h?2Gt2，ρ＝3π??R＋h?2Gt2R3
C．M＝4π2t2?R＋h?3Gn2，ρ＝3π?t2??R＋h?3Gn2R3
D．M＝4π2n2?R＋h?3Gt2，ρ＝3π?n2??R＋h?3Gt2R3
【答案】　D
【詳解】　設(shè)“卡西尼”號的質(zhì)量為m，土星的質(zhì)量為M，“卡西尼”號圍繞土星的中心做勻速圓周運(yùn)動，其向心力由萬有引力提供，GMm?R＋h?2＝m(R＋h)2πT2，其中T＝tn，解得M＝4π2n2?R＋h?3Gt2.又土星體積V＝43πR3，所以ρ＝MV＝3π?n2??R＋h?3Gt2R3.
9．宇航員在月球上做自由落體實(shí)驗(yàn)，將某物體由距月球表面高h(yuǎn)處釋放，經(jīng)時(shí)間t后落到月球表面(設(shè)月球半徑為R)．據(jù)上述信息推斷，飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動所必須具有的速率為
(　　)
A.2Rht B.2Rht
C.Rht D.Rh2t
【答案】B
【詳解】設(shè)月球表面處的重力加速度為g0，則h＝12g0t2，設(shè)飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動所必須具有的速率為v，由牛頓第二定律得mg0＝mv2R，兩式聯(lián)立解得v＝2Rht，選項(xiàng)B對．
10．下表是衛(wèi)星發(fā)射的幾組數(shù)據(jù)，其中發(fā)射速度v0是燃料燃燒完畢時(shí)火箭具有的速度，之后火箭帶著衛(wèi)星依靠慣性繼續(xù)上升，到達(dá)指定高度h后再星箭分離，分離后的衛(wèi)星以環(huán)繞速度v繞地球運(yùn)動．根據(jù)發(fā)射過程和表格中的數(shù)據(jù)，下面哪些說法是正確的
(　　)
衛(wèi)星離地面
高度h(km)環(huán)繞速度
v(km/s)發(fā)射速度v0
(km/s)
07.917.91
2007.788.02
5007.618.19
10007.358.42
50005.529.48
∞011.18
A.不計(jì)空氣阻力，在火箭依靠慣性上升的過程中機(jī)械能守恒
B．離地越高的衛(wèi)星機(jī)械能越大
C．離地越高的衛(wèi)星環(huán)繞周期越大
D．當(dāng)發(fā)射速度達(dá)到11.18 km/s時(shí)，衛(wèi)星能脫離地球到達(dá)宇宙的任何地方
【答案】AC
【詳解】由機(jī)械能守恒定律知，A正確．對B選項(xiàng)，由于衛(wèi)星的機(jī)械能除了與高度有關(guān)外，還與質(zhì)量有關(guān)，所以是錯(cuò)誤的；由GMmr2＝m4π2T2r知，離地面越高的衛(wèi)星周期越大，C正確；從列表中可以看出，11.18 km/s的發(fā)射速度是第二宇宙速度，此速度是使衛(wèi)星脫離地球圍繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)，成為太陽的人造行星的最小發(fā)射速度，但逃逸不出太陽系，D錯(cuò)誤．
11．如圖所示，A是地球的同步衛(wèi)星，另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h，已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心．
(1)求衛(wèi)星B的運(yùn)動周期；
(2)若衛(wèi)星B運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星相距最近(O、B、A在同一直線上)，則至少經(jīng)過多少時(shí)間，它們再一次相距最近？
【答案】(1)2π?R＋h?3gR2　(2)2πg(shù)R2?R＋h?3－ω0
【詳解】根據(jù)萬有引力提供向心力，列出萬有引力與周期的關(guān)系，即可求出衛(wèi)星B的運(yùn)行周期．第二問關(guān)鍵是要尋找A、B兩衛(wèi)星再一次相距最近時(shí)它們轉(zhuǎn)過的角度關(guān)系，只要分析出A、B兩衛(wèi)星哪一個(gè)角速度大，就能確定相同時(shí)間內(nèi)A、B轉(zhuǎn)過的角度之間的關(guān)系．
(1)設(shè)衛(wèi)星B的運(yùn)行周期為TB，由萬有引力定律和向心力公式得
GMm?R＋h?2＝m4π2TB2(R＋h)，①
GMmR2＝mg，②
聯(lián)立①②得TB＝2π?R＋h?3gR2.③
(2)用ω表示衛(wèi)星的角速度，r表示衛(wèi)星的軌道半徑，由萬有引力定律和向心力公式得GMmr2＝mrω2，④
聯(lián)立②④得ω＝gR2r3，⑤
因?yàn)閞A>rB，所以ω0<ωB，用t表示所需的時(shí)間
(ωB－ω0)t＝2π，⑥
由③得ωB＝gR2?R＋h?3，⑦
代入⑥得t＝2πg(shù)R2?R＋h?3－ω0.
12．(17分)一飛船在某星球表面附近，受星球引力作用而繞其做勻速圓周運(yùn)動的速率為v1，飛船在離該星球表面高度為h處，受星球引力作用而繞其做勻速圓周運(yùn)動的速率為v2，已知萬有引力常量為G.試求：
(1)該星球的質(zhì)量；
(2)若設(shè)該星球的質(zhì)量為M，一個(gè)質(zhì)量為m的物體在離該星球球心r遠(yuǎn)處具有的引力勢能為Ep＝－GMmr，則一顆質(zhì)量為m1的衛(wèi)星由r1軌道變?yōu)閞2(r1＜r2)軌道，對衛(wèi)星至少做多少功？(衛(wèi)星在r1、r2軌道上均做勻速圓周運(yùn)動，結(jié)果請用M、m1、r1、r2、G表示)
設(shè)星球的半徑為R，質(zhì)量為M，則
【答案】(1)hv21v22G?v21－v22?　(2)G(Mm12r1－Mm12r2)
【詳解】 (1)飛船需要的向心力由萬有引力提供，則
GMmR2＝mv21R
GMm?R＋h?2＝mv22?R＋h?
解得M＝hv21v22G?v21－v22?.
(2)衛(wèi)星在軌道上有動能和勢能，其總和為E(機(jī)械能)，則GMm1r2＝m1v2r
E＝Ek＋Ep＝12m1v2＋(－GMm1r)＝－GMm12r
W＝ΔE＝E2－E1＝G(Mm12r1－Mm12r2)．


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