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第五章　三角函數(shù)

高考導(dǎo)航

考試要求重難點擊命題展望
　　1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.
2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 ，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y＝sin x， y＝cos x ， y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.
4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在(－ , )上的單調(diào)性.
5.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1 ， ＝tan x.
6.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響.
7.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.
8.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).
9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題，能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.本章重點：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的運用；2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，y＝Asin(ωx＋)
(ω＞0)的性質(zhì)、圖象及變換；3.用三角函數(shù)模型解決實際問題；4.以和、差、倍角公式為依據(jù)，提高推理、運算能力；5.正、余弦定理及應(yīng)用.
本章難點：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系；2.靈活運用三角公式化簡、求值、證明； 3.三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，最值的求法；4.探索兩角差的余弦公式；5.把實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.　　三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)必考的基礎(chǔ)知識之一.在高考中主要考查對三角函數(shù)概念的理解；運用函數(shù)公式進行恒等變形、化簡、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換、作圖、識圖等.解三角形的問題往往與其他知識(如立體幾何、解析幾何、向量等)相聯(lián)系，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，體現(xiàn)以能力立意的高考命題原則.



知識網(wǎng)絡(luò)





5.1　任意角的三角函數(shù)的概念

典例精析
題型一　象限角與終邊相同的角
【例1】若α是第二象限角，試分別確定2α、 的終邊所在的象限.
【解析】因為α是第二象限角，
所以k 360°＋90°＜α＜k 360°＋180°(k∈Z).
因為2k 360°＋180°＜2α＜2k 360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的終邊在y軸的負(fù)半軸上.
因為k 180°＋45°＜α2＜k 180°＋90°(k∈Z)，
當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，n 360°＋45°＜α2＜n 360°＋90°，
當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，n 360°＋225°＜α2＜n 360°＋270°.
所以α2是第一或第三象限角.
【點撥】已知角α所在象限，應(yīng)熟練地確定α2所在象限.

如果用α1、α2、α3、α4分別表示第一、二、三、四象限角，則α12、α22、α32、α42分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟記右圖，解有關(guān)問題就方便多了.
【變式訓(xùn)練1】若角2α的終邊在x軸上方，那么角α是(　　)
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
【解析】由題意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＜α＜kπ＋π2，k∈Z.
當(dāng)k是奇數(shù)時，α是第三象限角.
當(dāng)k是偶數(shù)時，α是第一象限角.故選C.
題型二　弧長公式，面積公式的應(yīng)用
【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；
(2)若扇形的周長是一定值C(C＞0)，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形的面積有最大值？并求出這個最大值.
【解析】(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，
因為α＝60°＝π3，R＝10 cm，所以l＝10π3 cm，
S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm2.
(2)因為C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝C2＋α，
S扇＝12αR2＝12α(C2＋α)2＝C22 αα2＋4α＋4＝C22 1α＋4α＋4≤C216，
當(dāng)且僅當(dāng)α＝4α?xí)r，即α＝2(α＝－2舍去)時，扇形的面積有最大值為C216.
【點撥】用弧長公式l＝ α R與扇形面積公式S＝12lR＝12R2α?xí)r，α的單位必須是弧度.
【變式訓(xùn)練2】已知一扇形的面積為定值S，當(dāng)圓心角α為多少弧度時，該扇形的周長C有最小值？并求出最小值.
【解析】因為S＝12Rl，所以Rl＝2S，
所以周長C＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S，
當(dāng)且僅當(dāng)l＝2R時，C＝4S，
所以當(dāng)α＝lR＝2時，周長C有最小值4S.


題型三　三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應(yīng)用
【例3】(1)已知角α的終邊與函數(shù)y＝2x的圖象重合，求sin α；(2)求滿足sin x≤32的角x的集合.
【解析】(1)由 ?交點為(－55，－255)或(55，255)，
所以sin α＝±255.
(2)①找終邊：在y軸正半軸上找出點(0，32)，過該點作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點，連接OP1、OP2，則為角x的終邊，并寫出對應(yīng)的角.
②畫區(qū)域：畫出角x的終邊所在位置的陰影部分.

③寫集合：所求角x的集合是{x2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
【點撥】三角函數(shù)是用角α的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)來定義的，因此，用定義求值，轉(zhuǎn)化為求交點的問題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等式更簡潔、直觀.
【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y＝lg sin x＋cos x－12的定義域為　　　　　　　　　　　　.
【解析】

?2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.
所以函數(shù)的定義域為{x2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
總結(jié)提高
1.確定一個角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號，還要考慮它的函數(shù)值的大小.
2.在同一個式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如k?360°＋π3的錯誤書寫.
3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙.

　




5.2　同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式

典例精析
題型一　三角函數(shù)式的化簡問題

【點撥】運用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號，前提是將α視為銳角后，再判斷所求角的象限.
【變式訓(xùn)練1】已知f(x)＝1－x，θ∈(3π4，π)，則f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝　　　　.
【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ.
因為θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.
所以sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.
題型二　三角函數(shù)式的求值問題
【例2】已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2).
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若a＝b，0＜θ＜π，求 θ的值.
【解析】(1)因為a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.
(2)由a＝b知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
于是sin(2θ＋π4)＝－22.
又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，
所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.
因此θ＝π2或θ＝3π4.
【變式訓(xùn)練2】已知tan α＝12，則2sin αcos α＋cos2α等于(　　)
A.45 B.85 C.65 D.2
【解析】原式＝2sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan α＋11＋tan2α＝85.故選B.
題型三　三角函數(shù)式的簡單應(yīng)用問題
【例3】已知－π2＜x＜0且sin x＋cos x＝15，求：
(1)sin x－cos x的值；
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.
【解析】(1)由已知得2sin xcos x＝－2425，且sin x＜0＜cos x，
所以sin x－cos x＝－(sin x－cos x)2＝－1－2sin xcos x＝－1＋2425＝－75.
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x－sin3x＝(cos x－sin x)(cos2x＋cos xsin x＋sin2x)
＝75×(1－1225)＝91125.
【點撥】求形如sin x±cos x的值，一般先平方后利用基本關(guān)系式，再求sin x±cos x取值符號.
【變式訓(xùn)練3】化簡1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.
【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]
＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.
總結(jié)提高
1.對于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中“同角”的含義，只要是“同一個角”，那么基本關(guān)系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.
2.誘導(dǎo)公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負(fù)為正，化復(fù)雜為簡單.

5.3　兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)

典例精析
題型一　三角函數(shù)式的化簡
【例1】化簡 (0＜θ＜π).
【解析】因為0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，
所以原式＝
＝ ＝－cos θ.
【點撥】先從角度統(tǒng)一入手，將θ化成θ2，然后再觀察結(jié)構(gòu)特征，如此題中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ.
【變式訓(xùn)練1】化簡2cos4x－2cos2x＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).
【解析】原式＝12(2cos2x－1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x2sin(π2－2x)＝12cos 2x.
題型二　三角函數(shù)式的求值
【例2】已知sin x2－2cos x2＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.
【解析】(1)由sin x2－2cos x2＝0?tan x2＝2，所以tan x＝ ＝2×21－22＝－43.
(2)原式＝cos2x－sin2x2(22cos x－22sin x)sin x
＝(cos x－sin x)(cos x＋sin x)(cos x－sin x)sin x＝cos x＋sin xsin x＝1tan x＋1＝(－34)＋1＝14.
【變式訓(xùn)練2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝　　　　　.
【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝3.
題型三　已知三角函數(shù)值求解
【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
【解析】因為tan 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，
所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，
又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，
因為α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，
又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.
【點撥】由三角函數(shù)值求角時，要注意角度范圍，有時要根據(jù)三角函數(shù)值的符號和大小將角的范圍適當(dāng)縮小.
【變式訓(xùn)練3】若α與β是兩銳角，且sin(α＋β)＝2sin α，則α與β的大小關(guān)系是(　　)
A.α＝βB.α＜β
C.α＞β D.以上都有可能
【解析】方法一：因為2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是銳角，所以α≤30°.
又當(dāng)α＝30°，β＝60°時符合題意，故選B.
方法二：因為2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，
所以sin α＜sin β.
又因為α、β是銳角，所以α＜β，故選B.
總結(jié)提高
1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.
(1)它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡題，證明題；
(2)對公式會“正用”、“逆用”、“變形使用”；
(3)掌握角的演變規(guī)律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.
2.通過運用公式，實現(xiàn)對函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以達到求解的目的，在運用公式時，注意公式成立的條件.


　5.4　三角恒等變換

典例精析
題型一　三角函數(shù)的求值
【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值.
【解析】由4tan α2＝1－tan2α2，得tan α＝ ＝12.
由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1.
又因為α、β∈(0，π4)，所以α＋β＝π4.
【點撥】三角函數(shù)式的化簡與求值的主要過程是三角變換，要善于抓住已知條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，找到解題的突破口與方向.
【變式訓(xùn)練1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于(　　)
A.1318 　B.1322 C.723 D.318
【解析】因為α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，
所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.
故選C.

題型二　等式的證明
【例2】求證：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β).
【證明】證法一：
右邊＝sin [(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α
＝sin [(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝左邊.
證法二：sin(2α＋β)sin α－sin βsin α＝sin(2α＋β)－sin βsin α＝2cos(α＋β)sin αsin α＝2cos(α＋β)，
所以sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.
【點撥】證法一將2α＋β寫成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同運算；證法二把握結(jié)構(gòu)特征，用“變更問題法”證明，簡捷而新穎.
【變式訓(xùn)練2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求證：tan(α－β)＋4tan β＝0.
【證明】因為5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，
所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β，
所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0.
即tan(α－β)＋4tan β＝0.
題型三　三角恒等變換的應(yīng)用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求證：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；
(2)若A＞B且tan A＝－2tan B，求證：tan C＝sin 2B3－cos 2B；
(3)在(2)的條件下，求tan C的最大值.
【解析】(1)因為C＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－tan(A＋B)＝－(tan A＋tan B)1－tan Atan B，
所以tan C－tan Atan Btan C＝－tan A－tan B，
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
(2)由(1)知tan C＝－(tan A＋tan B)1－tan Atan B＝tan B1＋2tan2B＝sin Bcos Bcos2B＋2sin2B＝
＝sin 2B2(2－1＋cos 2B2)＝sin 2B3－cos 2B.
(3)由(2)知tan C＝tan B1＋2tan2B＝12tan B＋1tan B≤122＝24，
當(dāng)且僅當(dāng)2tan B＝1tan B，即tan B＝22時，等號成立.
所以tan C的最大值為24.
【點撥】熟練掌握三角變換公式并靈活地運用來解決與三角形有關(guān)的問題，要有較明確的目標(biāo)意識.
【變式訓(xùn)練3】在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3，3tan A＋3tan B＋1＝tan Atan B，試判斷△ABC的形狀.
【解析】由已知得tan B＋tan C＝3(1－tan Btan C)，
3(tan A＋tan B)＝－(1－tan Atan B)，
即tan B＋tan C1－tan Btan C＝3，tan A＋tan B1－tan Atan B＝－33.
所以tan(B＋C)＝3，tan(A＋B)＝－33.
因為0＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝π3，A＋B＝5π6.
又A＋B＋C＝π，故A＝2π3，B＝C＝π6.
所以△ABC是頂角為2π3的等腰三角形.
總結(jié)提高
三角恒等式的證明，一般考慮三個“統(tǒng)一”：①統(tǒng)一角度，即化為同一個角的三角函數(shù)；②統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù)；③統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式.

　5.5　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

典例精析
題型一　三角函數(shù)的周期性與奇偶性
【例1】已知函數(shù)f(x)＝2sin x4cos x4＋3cos x2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)令g(x)＝f(x＋π3)，判斷g(x)的奇偶性.
【解析】(1)f(x)＝2sin x4cos x4＋3cos x2＝sin x2＋3cos x2＝2sin(x2＋π3)，
所以f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.
(2)g(x)＝f(x＋π3)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π2)＝2cos x2.
所以g(x)為偶函數(shù).
【點撥】解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題，常常要化簡三角函數(shù).
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y＝sin2x＋sin xcos x的最小正周期T等于(　　)
A.2π B.π C.π2 D.π3
【解析】y＝1－cos 2x2＋12sin 2x＝22(22sin 2x－22cos 2x)＋12
＝22sin(2x－π4)＋12，所以T＝2π2＝π.故選B.
題型二　求函數(shù)的值域
【例2】求下列函數(shù)的值域：
(1)f(x)＝sin 2xsin x1－cos x；
(2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cos x.
【解析】(1)f(x)＝2sin xcos xsin x1－cos x＝2cos x(1－cos2x)1－cos x＝2cos2x＋2cos x
＝2(cos x＋12)2－12，
當(dāng)cos x＝1時，f(x)max＝4，但cos x≠1，所以f(x)＜4，
當(dāng)cos x＝－12時，f(x)min＝－12，所以函數(shù)的值域為[－12，4).
(2)f(x)＝2(cos π3cos x－sin π3sin x)＋2cos x
＝3cos x－3sin x＝23cos(x＋π6)，
所以函數(shù)的值域為[－23，23].
【點撥】求函數(shù)的值域是一個難點，分析函數(shù)式的特點，具體問題具體分析，是突破這一難點的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練2】求y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域.
【解析】令t＝sin x＋cos x，則有t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝t2－12.
所以y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.
又t＝sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)，所以－2≤t≤2.
故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)，
從而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.
所以函數(shù)的值域為[－1，2＋12].
題型三　三角函數(shù)的單調(diào)性
【例3】已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，φ＜π)的部分圖象如圖所示.
(1)求ω，φ的值；
(2)設(shè)g(x)＝f(x)f(x－π4)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【解析】(1)由圖可知，T＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.
又由f(π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.
因為φ＜π，所以φ＝－π2.
(2)f(x)＝sin(2x－π2)＝－cos 2x.
所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x－π2)]＝cos 2xsin 2x＝12sin 4x.
所以當(dāng)2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2，即kπ2－π8≤x≤kπ2＋π8(k∈Z)時g(x)單調(diào)遞增.
故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ2－π8，kπ2＋π8](k∈Z).
【點撥】觀察圖象，獲得T的值，然后再確定φ的值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想與方法.
【變式訓(xùn)練3】使函數(shù)y＝sin(π6－2x)(x∈[0，π])為增函數(shù)的區(qū)間是(　　)
A.[0，π3] B.[π12，7π12]
C.[π3，5π6] D.[5π6，π]
【解析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則判定，選C.
總結(jié)提高
1.求三角函數(shù)的定義域和值域應(yīng)注意利用三角函數(shù)圖象.
2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因而特別要注意題設(shè)中所給的區(qū)間.
3.求三角函數(shù)的最小正周期時，要盡可能地化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對值、定義域?qū)χ芷诘挠绊?
4.判斷三角函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對稱性.

　5.6　函數(shù)y＝Asin(ωx＋ )的圖象和性質(zhì)

典例精析
題型一　“五點法”作函數(shù)圖象
【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期為π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；
(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.
【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2(12sin ωx＋32cos ωx)＝2sin(ωx＋π3)，
又因為T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋π3)，
所以函數(shù)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的振幅為2，初相為π3.
(2)列出下表，并描點畫出圖象如圖所示.


　　(3)把y＝sin x圖象上的所有點向左平移π3個單位，得到y(tǒng)＝sin(x＋π3)的圖象，再把
y＝sin(x＋π3)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的12(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin(2x＋π3)的圖象，然后把y＝sin(2x＋π3)的圖象上的所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin(2x＋π3)的圖象.
【點撥】用“五點法”作圖，先將原函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個周期內(nèi)的五個點，用平滑的曲線連接五個點，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個定義域上的圖象.


【變式訓(xùn)練1】函數(shù)

的圖象如圖所示，則(　　)
A.k＝12，ω＝12，φ＝π6
B.k＝12，ω＝12，φ＝π3
C.k＝12，ω＝2，φ＝π6
D.k＝－2，ω＝12，φ＝π3
【解析】本題的函數(shù)是一個分段函數(shù)，其中一個是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k＝12.另一個函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)ω由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為T＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.將點(5π3，0)代入解析式y(tǒng)＝2sin(12x＋φ)，得12×5π3＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－5π6，k∈Z.結(jié)合各選項可知，選項A正確.
題型二　三角函數(shù)的單調(diào)性與值域
【例2】已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋3sin ωxsin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)為π6.
(1)求ω的值；
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間.
【解析】(1)f(x)＝32sin 2ωx＋12cos 2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32.
令2ωx＋π6＝π2，將x＝π6代入可得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π6)＋32，經(jīng)過題設(shè)的變化得到函數(shù)g(x)＝sin(12x－π6)＋32，
當(dāng)x＝4kπ＋43π，k∈Z時，函數(shù)g(x)取得最大值52.
令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π，
即[4kπ＋4π3，4kπ＋103π](k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【點撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象性質(zhì)及變換.
【變式訓(xùn)練2】若將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移π4個單位后得到的圖象關(guān)于點(π3，0)對稱，則φ的最小值是(　　)
A.π4B.π3C.π2D.3π4
【解析】將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移π4個單位后得到y(tǒng)＝2sin[3(x－π4)＋φ]＝2sin(3x－3π4＋φ)的圖象.
因為該函數(shù)的圖象關(guān)于點(π3，0)對稱，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，
故有π4＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－π4(k∈Z).
當(dāng)k＝0時，φ取得最小值π4，故選A.
題型三　三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(1,2).
(1)求φ的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).
【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝A2－A2cos(2ωx＋2φ)，
因為y＝f(x)的最大值為2，又A＞0，
所以A2＋A2＝2，所以A＝2，
又因為其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，ω＞0，
所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.
所以f(x)＝22－22cos(π2x＋2φ)＝1－cos(π2x＋2φ)，
因為y＝f(x)過點(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.
所以π2＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，
又因為0＜φ＜π2，所以φ＝π4.
(2)方法一：因為φ＝π4，
所以y＝1－cos(π2x＋π2)＝1＋sin π2x，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，
又因為y＝f(x)的周期為4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
方法二：因為f(x)＝2sin2(π4x＋φ)，
所以f(1)＋f(3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，
f(2)＋f(4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，
又因為y＝f(x)的周期為4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
【點撥】函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ，可得x＝kπ－φω，兩相鄰對稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問題可畫出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值為6，其相鄰兩條對稱軸間的距離為4，則f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝　　　　.
【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×1＋cos 2ωx2＋2＝Acos 2ωx2＋A2＋2，則由題意知A＋2＝6，2π2ω＝8，所以A＝4，ω＝π8，所以f(x)＝2cos π4x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…觀察周期性規(guī)律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.
總結(jié)提高
1.用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，關(guān)鍵是五個點的選取，一般令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作圖所需的五個點的坐標(biāo)，同時，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整ωx＋φ的取值，以便列表時能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.
2.在圖象變換時，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長度單位是不同的，這是因為變換總是對字母x本身而言的，無論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x.
3.在解決y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)性質(zhì)時，應(yīng)將ωx＋φ視為一個整體x后再與基本函數(shù)
y＝sin x的性質(zhì)對應(yīng)求解.

5.7　正弦定理和余弦定理

典例精析
題型一　利用正、余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，AB＝2，BC＝1，cos C＝34.
(1)求sin A的值；(2)求 的值.
【解析】(1)由cos C＝34得sin C＝74.
所以sin A＝BC sin CAB＝1×742＝148.
(2)由(1)知，cos A＝528.
所以cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C
＝－15232＋7232＝－24.
所以 ? ＝ ?( ＋ )＝ ＋
＝－1＋1×2×cos B＝－1－12＝－32.
【點撥】在解三角形時，要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識.
【變式訓(xùn)練1】在△ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為a2＋b2－c24，則∠C＝　　　.
【解析】S＝a2＋b2－c24＝12absin C.
所以sin C＝a2＋b2－c22ab＝cos C.所以tan C＝1，
又∠C∈(0，π)，所以∠C＝π4.
題型二　利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問題
【例2】設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對的邊長，并且sin2A＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若 ＝12，a＝27，求b，c(其中b＜c).
【解析】(1)因為sin2A＝(32cos B＋12sin B)(32cos B－12sin B)＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sin A＝±32.又A為銳角，所以A＝π3.
(2)由 ＝12可得cbcos A＝12.①
由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②
由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，將a＝27及①代入得c2＋b2＝52.③
③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.
因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的兩個根.
又b＜c，所以b＝4，c＝6.
【點撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識，考查綜合運算求解能力.
【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，且滿足(2a－c)cos B＝
bcos C.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面積.
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入(2a－c)cos B＝bcos C，
整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin C cos B，
即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A，
在△ABC中，sin A＞0,2cos B＝1，
因為∠B是三角形的內(nèi)角，所以B＝60°.
(2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B
＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B，
將b＝7，a＋c＝4代入整理，得ac＝3.
故S△ABC＝12acsin B＝32sin 60°＝334.
題型三　正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用
【例3】(2010陜西)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋3)海里的兩個觀測點.現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距203海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，則該救援船到達D點需要多長時間？
【解析】由題意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，
所以DB＝ ＝
＝ ＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，
所以CD＝30(海里)，則需要的時間t＝3030＝1(小時).
所以，救援船到達D點需要1小時.
【點撥】應(yīng)用解三角形知識解決實際問題的基本步驟是：
(1)根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形；
(2)確定實際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對應(yīng)關(guān)系；
(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解；
(4)給出結(jié)論.
【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進m km后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件　　　時，該船沒有觸礁危險.
【解析】由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得BMsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得BM＝mcos αsin(α－β)，要使船沒有觸礁危險需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos βsin(α－β)＞n.所以α與β的關(guān)系滿足mcos αcos β＞nsin(α－β)時，船沒有觸礁危險.
總結(jié)提高
1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角A＞B與sin A＞sin B是一種等價關(guān)系.
2.在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會漏解.
3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解.


5.8 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

典例精析
題型一　利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題
【例1】如圖，ABCD是一塊邊長為100 m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在 上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值.
【解析】如圖，連接AP，過P作PM⊥AB于M.
設(shè)∠PAM＝α，0≤α≤π2，
則PM＝90sin α，AM＝90cos α，
所以PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin α，
于是S四邊形PQCR＝PQ?PR
�。�(100－90cos α)(100－90sin α)
　＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000.
設(shè)t＝sin α＋cos α，則1≤t≤2，sin αcos α＝t2－12.
S四邊形PQCR＝8 100?t2－12－9 000t＋10 000
＝4 050(t－109)2＋950 (1≤t≤2).
當(dāng)t＝2時，(S四邊形PQCR)max＝14 050－9 0002 m2；
當(dāng)t＝109時，(S四邊形PQCR)min＝950 m2.
【點撥】同時含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函數(shù)求最值時，可設(shè)sin θ±cos θ＝t，把sin θcos θ用t表示，從而把問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問題.注意t的取值范圍.
【變式訓(xùn)練1】若0＜x＜π2，則4x與sin 3x的大小關(guān)系是(　　)
A.4x＞sin 3xB.4x＜sin 3x
C.4x≥sin 3xD.與x的值有關(guān)
【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，則f′(x)＝4－3cos 3x.因為f′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)為增函數(shù).又0＜x＜π2，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故選A.
題型二　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)模型的應(yīng)用
【例2】已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，記作y＝f(t).下表是某日各時的浪花高度數(shù)據(jù).

經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acos ωt＋b.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式；
(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放. 請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？
【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T＝12，所以ω＝2πT＝2π12＝π6.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
所以A＝0.5，b＝1，所以振幅為12.所以y＝12cos π6t＋1.
(2)由題知，當(dāng)y＞1時才可對沖浪者開放，
所以12cos π6t＋1＞1，所以cos π6t＞0，
所以2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，即12k－3＜t＜12k＋3.①
因為0≤t≤24，故可令①中k分別為0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
故在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00.
【點撥】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解實際問題，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式.
【變式訓(xùn)練2】如圖，一個半徑為10 m的水輪按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈，記水輪上的點P到水面的距離為d m(P在水面下則d為負(fù)數(shù))，則d(m)與時間t(s)之間滿足關(guān)系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且當(dāng)點P從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間，有以下四個結(jié)論：①A＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k＝5.其中正確結(jié)論的序號是　　　　　.
【解析】①②④.
題型三　正、余弦定理的應(yīng)用
【例3】為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機能測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：(1)指出需測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)示)；(2)用文字和公式寫出計算M、N間距離的步驟.

【解析】(1)如圖所示：①測AB間的距離a；②測俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中 ，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得
BM＝ABsin φsin∠AMB＝asin φsin(φ＋β)，
同理在△BAN中，BN＝ABsin θsin∠ANB＝asin θsin(θ＋γ)，
所以在△BMN中，由余弦定理得
MN＝
＝a2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sin θsin φcos(γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ).
【變式訓(xùn)練3】一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見其中一座燈塔在南偏西60°方向上，另一燈塔在南偏西75°方向上，則該船的速度是　　　海里/小時.

【解析】本題考查實際模型中的解三角形問題.依題意作出簡圖，易知AB＝10，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我們只需計算出OC的長，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，顯然有OBOC＝tan∠OCB＝tan 60°且OAOC＝tan∠OCA＝tan 75°，
因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有
OC＝ABtan 75°－tan 60°＝10tan 75°－tan 60°
＝10tan(30°＋45°)－tan 60°
＝10tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°－tan 60°＝1013＋11－13－3＝5.
由此可得船的速度為5海里÷0.5小時＝10海里/小時.
總結(jié)提高
1.解三角形的應(yīng)用題時應(yīng)注意：
(1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等；
(2)將所有已知條件化入同一個三角形中求解；
(3)方程思想在解題中的運用.
2.解三角函數(shù)的綜合題時應(yīng)注意：
(1)與已知基本函數(shù)對應(yīng)求解，即將ωx＋φ視為一個整體X；
(2)將已知三角函數(shù)化為同一個角的一種三角函數(shù)，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c；
(3)換元方法在解題中的運用.

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