高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第四章 平面向量與復(fù)數(shù)

【知識(shí)圖解】
Ⅰ.平面向量知識(shí)結(jié)構(gòu)表

Ⅱ.復(fù)數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)表


【方法點(diǎn)撥】
由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系眾多知識(shí)內(nèi)容的媒介。所以，向量成為了“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的很好載體。從高考新課程卷來看，對(duì)向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合，在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，既是當(dāng)今高考的熱點(diǎn)，又是重點(diǎn)。
復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識(shí)，既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識(shí)，又要注意平面向量與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高分析問題與綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，站在新的高度來認(rèn)識(shí)和理解向量。
1.向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問題時(shí)注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
2.平面向量基本定理是處理向量問題的基礎(chǔ)，也是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個(gè)不共線向量的線性組合.
3.向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標(biāo)表示，可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.
4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡單問題的方法.


第1課　向量的概念及基本運(yùn)算
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示.
2.掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義.
3.了解平面向量基本定理及其意義.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.出下列命題：①若 ，則 ；②若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則 是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若 ，則 ；④ 的充要條件是 且 ；⑤若 ， ，則 。其中，正確命題材的序號(hào)是②③

2. 化簡 得
3.在四邊形ABCD中， =a+2b， =－4a－b， =－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為梯形
4.如圖，設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，
若 ＝a， ＝b，則 ＝ ，
＝ (用a、b表示)

【范例導(dǎo)析】
例1 .已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F，
求證： .
分析:構(gòu)造三角形,利用向量的三角形法則證明.
證明：如圖，連接EB和EC ，
由 和 可得， （1）
由 和 可得， （2）
（1）+（2）得， （3）
∵E、F分別為AD和BC的中點(diǎn)，∴ ， ，
代入（3）式得，
點(diǎn)撥:運(yùn)用向量加減法解決幾何問題時(shí),需要發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形.



例2.已知 不共線， ,求證：A,P,B三點(diǎn)共線的充要條件是
分析：證明三點(diǎn)共線可以通過向量共線來證明.
解：先證必要性：若A,P,B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù) ，使得 ,即 ,∴ ∵ ,∴ ，∴
再證充分性：若 則 = = ,∴
與 共線，∴A,P,B三點(diǎn)共線.
點(diǎn)撥:向量共線定理是向量知識(shí)中的一個(gè)基本定理,通常可以證明三點(diǎn)共線、直線平行等問題.
【反饋練習(xí)】
1．已知向量a和b反向，則下列等式成立的是（C）
A. a－b=a－b B. a－b=a+b C.a＋b=a－b D. a＋b=a+b
2.設(shè)四邊形ABCD中，有 則這個(gè)四邊形是（C）
A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡：
① ， ② ， ③ 。
解析：①原式= ；
②原式= ；
③原式= 。
4.設(shè) 為未知向量， 、 為已知向量， 滿足方程2 -(5 +3 -4 )+ -3 =0，
則 = （用 、 表示）
5.在四面體O-ABC中， 為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則 = （用a，b，c表示）
6如圖平行四邊形OADB的對(duì)角線OD,AB相交于點(diǎn)C，線段BC上有一點(diǎn)M滿足BC=3BM,線段CD上有一點(diǎn)N滿足CD＝3CN,設(shè)
解：
.


第2課　向量的數(shù)量積
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.理解平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義.
2.掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.
3.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式.
4.能用平面向量數(shù)量積處理有關(guān)垂直、角度、長度的問題.

【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知 均為單位向量，它們的夾角為 ，那么
2.在直角坐標(biāo)系 中， 分別是與 軸， 軸平行的單位向量，若直角三角形 中， ， ，則 的可能值個(gè)數(shù)為2個(gè)
3. 若 , ， 與 的夾角為 ，若 ，則 的值為
4.若 ，且 ，則向量 與 的夾角為 120°
【范例導(dǎo)析】

例1.已知兩單位向量 與 的夾角為 ，若 ，試求 與 的夾角的余弦值。
分析:利用 及 求解.
解：由題意， ，且 與 的夾角為 ，所以， ， ，同理可得 而 ，設(shè) 為 與 的夾角，則
點(diǎn)評(píng)：向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見一斑。
例2.已知平面上三個(gè)向量 、 、 的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°，
（1）求證： ⊥ ；（2）若 ，求 的取值范圍.
分析:問題（1）通過證明 證明 ,問題（2）可以利用
解：（1）∵ ，且 、 、 之間的夾角均為120°，
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴
所以 或 ．
解:對(duì)于有關(guān)向量的長度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運(yùn)用平面向量的數(shù)量積解決.
例3.如圖，在直角△ABC中，已知 ，若長為 的線段 以點(diǎn) 為中點(diǎn)，問 的夾角 取
何值時(shí) 的值最大？并求出這個(gè)最大值
分析:本題涉及向量較多,可通過向量的加減法則得
,再結(jié)合直角三
角形和各線段長度特征法解決問題
解：



點(diǎn)撥:運(yùn)用向量的方法解決幾何問題,充分體現(xiàn)了向量的工具性,對(duì)于大量幾何問題,不僅可以用向量語言加以敘述,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解,從而把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的向量運(yùn)算.
【反饋練習(xí)】
1.已知向量 滿足 則 與 的夾角為
2.如圖，在四邊形ABCD中，
，則 的值為4
3.若向量 滿足 , 的夾角為60°，則 =
4.若向量 ,則
5.已知 a=4,b=5,a+b= ,求：① a?b ；②(2a－b) ?(a+3b)
解：（1）a+b2=（a+b）2=a2+2ab+b2=a2+2a?b+b2，∴
（2）（2a－b）?（a+3b）=2a2+5a?b－3b2=2a2+5a?b－3b2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.
6.已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角.
解：∵且a+3b與7a-5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，
∴（a+3b）?（7a-5b）=0，（a－4b）?（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 a?b－15 b2=0，7a2－30 a?b＋8 b2=0，
∴b2=2 a?b，a=b ∴ ∴


第3課　向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.
2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加減及數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算.
3.掌握平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示,并利用它解決向量平行的有關(guān)問題.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1 若 = ， = ，則 =
2 平面向量 中，若 ， =1，且 ，則向量 =
3.已知向量 ，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k=
4.已知平面向量 ， ，且 ，則 1
【范例導(dǎo)析】
例1.平面內(nèi)給定三個(gè)向量 ，回答下列問題：
（1）求滿足 的實(shí)數(shù)m,n；
（2）若 ，求實(shí)數(shù)k；
（3）若 滿足 ，且 ，求
分析:本題主要考察向量及向量模的坐標(biāo)表示和向量共線的充要條件.



解：（1）由題意得
所以 ，得
（2）

（3）設(shè) ，則
由題意得
得 或 ∴
點(diǎn)撥:根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則及兩個(gè)向量平等行的充要條件、模的計(jì)算公式，建立方程組求解。

例2.已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC邊上的高為AD，求 及點(diǎn)D的坐標(biāo)、
分析:注意向量坐標(biāo)法的應(yīng)用,及平行、垂直的充要條件.
解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)
∵AD是邊BC上的高，
∴AD⊥BC，∴ ⊥
又∵C、B、D三點(diǎn)共線，
∴ ∥
又 =(x－2,y－1), =(－6,－3)
=(x－3,y－2)
∴
解方程組，得x= ,y=
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為( ， )， 的坐標(biāo)為(－ ， )
點(diǎn)撥:在解題中要注意綜合運(yùn)用向量的各種運(yùn)算解決問題.
例3．已知向量 且
求（1） 及 ；（2）若 的最小值是 ，求 的值。
分析:利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.
解：（1）
，
。
（2）

（1）當(dāng) 時(shí)，
（2）當(dāng) 時(shí)，
（3）當(dāng) 時(shí)，
綜上所述： 。
點(diǎn)撥:注意運(yùn)用不同章節(jié)知識(shí)綜合處理問題,對(duì)于求二次函數(shù)得分最值問題,注意分類討論.
【反饋練習(xí)】
1．已知向量 ， ，則 與 （A）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

2.與向量a= b= 的夾解相等，且模為1的向量是
3.已知向量 且 則向量 等于
4.已知向量 120°
5.若 ，試判斷則△ABC的形狀____直角三角形_____
6.已知向量 ，向量 ，則 的最大值是 4
7.若 是非零向量且滿足 ， ，則 與 的夾角是
8.已知： 、 、 是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中 =（1，2）
（1）若 ，且 ，求 的坐標(biāo)；
（2）若 = 且 與 垂直，求 與 的夾角 .
解：（1）設(shè) ，由 和 可得：
∴ 　或
∴ ，或
（2） 即

∴ ， 所以
∴ ∵
∴ .
9.已知點(diǎn) 是 且 試用 .
解：以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB所在的直線為 軸和 軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.
由OA=2， ，所以 ，
易求 ，設(shè)



第4課　 向量綜合應(yīng)用
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.能綜合運(yùn)用所學(xué)向量知識(shí)及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法解決向量知識(shí)內(nèi)部綜合問題和與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)的綜合問題.
2.能從實(shí)際問題中提煉概括數(shù)學(xué)模型,了解向量知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），則與2a－3b平行的單位向量為
2.已知 ＝1， ＝1，a與b的夾角為60°，x＝2a－b,y＝3b－a，則x與y的夾角的余弦值為
【范例導(dǎo)析】
例1.已知平面向量a＝( ，－1)，b＝( , ).
(1) 若存在實(shí)數(shù)k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函數(shù)的關(guān)系式k＝f（t）；
(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定k＝f(t)的單調(diào)區(qū)間。
分析:利用向量知識(shí)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解.
解:（1）法一：由題意知x＝( , ), y＝( t－ k， t＋k)，又x⊥y
故x ? y＝ ×（ t－ k）＋ ×( t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝ t3－ t.
法二：∵a＝( ，－1)，b＝( , ), ∴. ＝2， ＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x ? y＝0，即－k 2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝ t3－ t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝ t3－ t ∴k＝f(t) ＝ t2－ ,
令k＜0得－1＜t＜1；令k＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
點(diǎn)撥:第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的（但運(yùn)算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用。

例2.已知兩個(gè)力（單位：牛） 與 的夾角為 ，其中 ，某質(zhì)點(diǎn)在這兩個(gè)力的共同作用下，由點(diǎn) 移動(dòng)到點(diǎn) （單位：米）
（1）求 ；
（2）求 與 的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功
分析:理解向量及向量數(shù)量積的物理意義,將物理中的求力和功的問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決.



點(diǎn)撥:學(xué)習(xí)向量要了解向量的實(shí)際背景,并能用向量的知識(shí)解決方一些簡單的實(shí)際問題.
【反饋練習(xí)】
1.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3, 1)，B(－1, 3)， 若點(diǎn)C滿足 ，其中 ， ∈R且 + =1，則點(diǎn)C的軌跡方程為x＋2y－5=0
2.已知a,b是非零向量且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，則a與b的夾角是
3. 已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn),且 + = - ,其中O為原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為2或-2
4.已知向量a=( )，向量b=( )，則2a－b的最大值是 4
5．如圖， ，
（1）若 ∥ ，求x與y間的關(guān)系；
（2）在（1）的條件下，若有 ，求x,y的值及四邊形ABCD的面積.
解（1） 又 ∥
①
（2）由 ⊥ ，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)?(y＋1)＝0,②
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0 由①，②得 或

第5課　復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.了解數(shù)系的擴(kuò)充的基本思想,了解引入復(fù)數(shù)的必要性.
2.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.設(shè) 、 、 、 ，若 為實(shí)數(shù)，則
2.復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是
3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) ＋(1＋ i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
4.若復(fù)數(shù) 滿足方程 ，則
【范例導(dǎo)析】
例 .m取何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù) （1）是實(shí)數(shù)？（2）是虛數(shù)？（3）是純虛數(shù)？
分析：本題是判斷復(fù)數(shù)在何種情況下為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)．由于所給復(fù)數(shù)z已寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即 ，所以只需按題目要求，對(duì)實(shí)部和虛部分別進(jìn)行處理，就極易解決此題．
解：（1）當(dāng) 即 ∴ 時(shí)，z是實(shí)數(shù)．
（2）當(dāng) 即 ∴當(dāng) 且 時(shí)，z是虛數(shù)．
（3）當(dāng) 即 ∴當(dāng) 或 時(shí)，z是純虛數(shù)．
點(diǎn)撥：研究一個(gè)復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時(shí)，首先要保證這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部是有意義的，這是一個(gè)前提條件，學(xué)生易忽略這一點(diǎn)．如本題易忽略分母不能為0的條件，丟掉 ，導(dǎo)致解答出錯(cuò)．

【反饋練習(xí)】
1.如果復(fù)數(shù) 是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)
2.已知復(fù)數(shù)z滿足（ ＋3i）z＝3i，則z＝
3.若復(fù)數(shù)Z= ，則Z +Z +1+i的值為0
4.設(shè) 、 為實(shí)數(shù)，且 ，則 + =4.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/82650.html

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