高中數(shù)學復習講義 第四章 平面向量與復數(shù)

【知識圖解】
Ⅰ.平面向量知識結構表

Ⅱ.復數(shù)的知識結構表


【方法點撥】
由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學數(shù)學知識的一個重要交匯點，成為聯(lián)系眾多知識內容的媒介。所以，向量成為了“在知識網(wǎng)絡交匯處設計試題”的很好載體。從高考新課程卷來看，對向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、向量與三角等內容相結合，在知識交匯點處命題，既是當今高考的熱點，又是重點。
復習鞏固相關的平面向量知識，既要注重回顧和梳理基礎知識，又要注意平面向量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，站在新的高度來認識和理解向量。
1.向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點，向量是數(shù)形結合的橋梁，在處理向量問題時注意用數(shù)形結合思想的應用.
2.平面向量基本定理是處理向量問題的基礎，也是平面向量坐標表示的基礎，它表明同一平面內任意向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合.
3.向量的坐標表示實際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標表示，可以把幾何問題轉化為代數(shù)問題解決.
4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡單問題的方法.


第1課　向量的概念及基本運算
【考點導讀】
1.理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示.
2.掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義.
3.了解平面向量基本定理及其意義.
【基礎練習】
1.出下列命題：①若 ，則 ；②若A、B、C、D是不共線的四點，則 是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若 ，則 ；④ 的充要條件是 且 ；⑤若 ， ，則 。其中，正確命題材的序號是②③

2. 化簡 得
3.在四邊形ABCD中， =a+2b， =－4a－b， =－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為梯形
4.如圖，設點P、Q是線段AB的三等分點，
若 ＝a， ＝b，則 ＝ ，
＝ (用a、b表示)

【范例導析】
例1 .已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F，
求證： .
分析:構造三角形,利用向量的三角形法則證明.
證明：如圖，連接EB和EC ，
由 和 可得， （1）
由 和 可得， （2）
（1）+（2）得， （3）
∵E、F分別為AD和BC的中點，∴ ， ，
代入（3）式得，
點撥:運用向量加減法解決幾何問題時,需要發(fā)現(xiàn)或構造三角形或平行四邊形.



例2.已知 不共線， ,求證：A,P,B三點共線的充要條件是
分析：證明三點共線可以通過向量共線來證明.
解：先證必要性：若A,P,B三點共線，則存在實數(shù) ，使得 ,即 ,∴ ∵ ,∴ ，∴
再證充分性：若 則 = = ,∴
與 共線，∴A,P,B三點共線.
點撥:向量共線定理是向量知識中的一個基本定理,通�？梢宰C明三點共線、直線平行等問題.
【反饋練習】
1．已知向量a和b反向，則下列等式成立的是（C）
A. a－b=a－b B. a－b=a+b C.a＋b=a－b D. a＋b=a+b
2.設四邊形ABCD中，有 則這個四邊形是（C）
A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.設A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：
① ， ② ， ③ 。
解析：①原式= ；
②原式= ；
③原式= 。
4.設 為未知向量， 、 為已知向量， 滿足方程2 -(5 +3 -4 )+ -3 =0，
則 = （用 、 表示）
5.在四面體O-ABC中， 為BC的中點，E為AD的中點，則 = （用a，b，c表示）
6如圖平行四邊形OADB的對角線OD,AB相交于點C，線段BC上有一點M滿足BC=3BM,線段CD上有一點N滿足CD＝3CN,設
解：
.


第2課　向量的數(shù)量積
【考點導讀】
1.理解平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義.
2.掌握平面向量數(shù)量積的性質及運算律.
3.掌握平面向量數(shù)量積的坐標表達式.
4.能用平面向量數(shù)量積處理有關垂直、角度、長度的問題.

【基礎練習】
1.已知 均為單位向量，它們的夾角為 ，那么
2.在直角坐標系 中， 分別是與 軸， 軸平行的單位向量，若直角三角形 中， ， ，則 的可能值個數(shù)為2個
3. 若 , ， 與 的夾角為 ，若 ，則 的值為
4.若 ，且 ，則向量 與 的夾角為 120°
【范例導析】

例1.已知兩單位向量 與 的夾角為 ，若 ，試求 與 的夾角的余弦值。
分析:利用 及 求解.
解：由題意， ，且 與 的夾角為 ，所以， ， ，同理可得 而 ，設 為 與 的夾角，則
點評：向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。
例2.已知平面上三個向量 、 、 的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°，
（1）求證： ⊥ ；（2）若 ，求 的取值范圍.
分析:問題（1）通過證明 證明 ,問題（2）可以利用
解：（1）∵ ，且 、 、 之間的夾角均為120°，
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴
所以 或 ．
解:對于有關向量的長度、夾角的求解以及垂直關系的判斷通常是運用平面向量的數(shù)量積解決.
例3.如圖，在直角△ABC中，已知 ，若長為 的線段 以點 為中點，問 的夾角 取
何值時 的值最大？并求出這個最大值
分析:本題涉及向量較多,可通過向量的加減法則得
,再結合直角三
角形和各線段長度特征法解決問題
解：



點撥:運用向量的方法解決幾何問題,充分體現(xiàn)了向量的工具性,對于大量幾何問題,不僅可以用向量語言加以敘述,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解,從而把抽象的問題轉化為具體的向量運算.
【反饋練習】
1.已知向量 滿足 則 與 的夾角為
2.如圖，在四邊形ABCD中，
，則 的值為4
3.若向量 滿足 , 的夾角為60°，則 =
4.若向量 ,則
5.已知 a=4,b=5,a+b= ,求：① a?b ；②(2a－b) ?(a+3b)
解：（1）a+b2=（a+b）2=a2+2ab+b2=a2+2a?b+b2，∴
（2）（2a－b）?（a+3b）=2a2+5a?b－3b2=2a2+5a?b－3b2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.
6.已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角.
解：∵且a+3b與7a-5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，
∴（a+3b）?（7a-5b）=0，（a－4b）?（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 a?b－15 b2=0，7a2－30 a?b＋8 b2=0，
∴b2=2 a?b，a=b ∴ ∴


第3課　向量的坐標運算
【考點導讀】
1.掌握平面向量的正交分解及坐標表示.
2.會用坐標表示平面向量的加減及數(shù)乘、數(shù)量積運算.
3.掌握平面向量平行的充要條件的坐標表示,并利用它解決向量平行的有關問題.
【基礎練習】
1 若 = ， = ，則 =
2 平面向量 中，若 ， =1，且 ，則向量 =
3.已知向量 ，且A、B、C三點共線，則k=
4.已知平面向量 ， ，且 ，則 1
【范例導析】
例1.平面內給定三個向量 ，回答下列問題：
（1）求滿足 的實數(shù)m,n；
（2）若 ，求實數(shù)k；
（3）若 滿足 ，且 ，求
分析:本題主要考察向量及向量模的坐標表示和向量共線的充要條件.



解：（1）由題意得
所以 ，得
（2）

（3）設 ，則
由題意得
得 或 ∴
點撥:根據(jù)向量的坐標運算法則及兩個向量平等行的充要條件、模的計算公式，建立方程組求解。

例2.已知△ABC的頂點分別為A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC邊上的高為AD，求 及點D的坐標、
分析:注意向量坐標法的應用,及平行、垂直的充要條件.
解：設點D的坐標為(x,y)
∵AD是邊BC上的高，
∴AD⊥BC，∴ ⊥
又∵C、B、D三點共線，
∴ ∥
又 =(x－2,y－1), =(－6,－3)
=(x－3,y－2)
∴
解方程組，得x= ,y=
∴點D的坐標為( ， )， 的坐標為(－ ， )
點撥:在解題中要注意綜合運用向量的各種運算解決問題.
例3．已知向量 且
求（1） 及 ；（2）若 的最小值是 ，求 的值。
分析:利用向量的坐標運算轉化為函數(shù)的最值問題求解.
解：（1）
，
。
（2）

（1）當 時，
（2）當 時，
（3）當 時，
綜上所述： 。
點撥:注意運用不同章節(jié)知識綜合處理問題,對于求二次函數(shù)得分最值問題,注意分類討論.
【反饋練習】
1．已知向量 ， ，則 與 （A）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

2.與向量a= b= 的夾解相等，且模為1的向量是
3.已知向量 且 則向量 等于
4.已知向量 120°
5.若 ，試判斷則△ABC的形狀____直角三角形_____
6.已知向量 ，向量 ，則 的最大值是 4
7.若 是非零向量且滿足 ， ，則 與 的夾角是
8.已知： 、 、 是同一平面內的三個向量，其中 =（1，2）
（1）若 ，且 ，求 的坐標；
（2）若 = 且 與 垂直，求 與 的夾角 .
解：（1）設 ，由 和 可得：
∴ 　或
∴ ，或
（2） 即

∴ ， 所以
∴ ∵
∴ .
9.已知點 是 且 試用 .
解：以O為原點，OC，OB所在的直線為 軸和 軸建立如圖3所示的坐標系.
由OA=2， ，所以 ，
易求 ，設



第4課　 向量綜合應用
【考點導讀】
1.能綜合運用所學向量知識及有關數(shù)學思想方法解決向量知識內部綜合問題和與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等知識的綜合問題.
2.能從實際問題中提煉概括數(shù)學模型,了解向量知識的實際應用.
【基礎練習】
1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），則與2a－3b平行的單位向量為
2.已知 ＝1， ＝1，a與b的夾角為60°，x＝2a－b,y＝3b－a，則x與y的夾角的余弦值為
【范例導析】
例1.已知平面向量a＝( ，－1)，b＝( , ).
(1) 若存在實數(shù)k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函數(shù)的關系式k＝f（t）；
(2) 根據(jù)(1)的結論，確定k＝f(t)的單調區(qū)間。
分析:利用向量知識轉化為函數(shù)問題求解.
解:（1）法一：由題意知x＝( , ), y＝( t－ k， t＋k)，又x⊥y
故x ? y＝ ×（ t－ k）＋ ×( t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝ t3－ t.
法二：∵a＝( ，－1)，b＝( , ), ∴. ＝2， ＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x ? y＝0，即－k 2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝ t3－ t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝ t3－ t ∴k＝f(t) ＝ t2－ ,
令k＜0得－1＜t＜1；令k＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的單調遞減區(qū)間是(－1, 1 )，單調遞增區(qū)間是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
點撥:第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標運算分別求得兩個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的（但運算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函數(shù)的極值運用的是求導的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用。

例2.已知兩個力（單位：牛） 與 的夾角為 ，其中 ，某質點在這兩個力的共同作用下，由點 移動到點 （單位：米）
（1）求 ；
（2）求 與 的合力對質點所做的功
分析:理解向量及向量數(shù)量積的物理意義,將物理中的求力和功的問題轉化為向量問題解決.



點撥:學習向量要了解向量的實際背景,并能用向量的知識解決方一些簡單的實際問題.
【反饋練習】
1.平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3, 1)，B(－1, 3)， 若點C滿足 ，其中 ， ∈R且 + =1，則點C的軌跡方程為x＋2y－5=0
2.已知a,b是非零向量且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，則a與b的夾角是
3. 已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點,且 + = - ,其中O為原點,則實數(shù)a的值為2或-2
4.已知向量a=( )，向量b=( )，則2a－b的最大值是 4
5．如圖， ，
（1）若 ∥ ，求x與y間的關系；
（2）在（1）的條件下，若有 ，求x,y的值及四邊形ABCD的面積.
解（1） 又 ∥
①
（2）由 ⊥ ，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)?(y＋1)＝0,②
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0 由①，②得 或

第5課　復數(shù)的概念和運算
【考點導讀】
1.了解數(shù)系的擴充的基本思想,了解引入復數(shù)的必要性.
2.理解復數(shù)的有關概念,掌握復數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義.
【基礎練習】
1.設 、 、 、 ，若 為實數(shù)，則
2.復數(shù) 的共軛復數(shù)是
3.在復平面內，復數(shù) ＋(1＋ i)2對應的點位于第二象限
4.若復數(shù) 滿足方程 ，則
【范例導析】
例 .m取何實數(shù)時，復數(shù) （1）是實數(shù)？（2）是虛數(shù)？（3）是純虛數(shù)？
分析：本題是判斷復數(shù)在何種情況下為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)．由于所給復數(shù)z已寫成標準形式，即 ，所以只需按題目要求，對實部和虛部分別進行處理，就極易解決此題．
解：（1）當 即 ∴ 時，z是實數(shù)．
（2）當 即 ∴當 且 時，z是虛數(shù)．
（3）當 即 ∴當 或 時，z是純虛數(shù)．
點撥：研究一個復數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時，首先要保證這個復數(shù)的實部、虛部是有意義的，這是一個前提條件，學生易忽略這一點．如本題易忽略分母不能為0的條件，丟掉 ，導致解答出錯．

【反饋練習】
1.如果復數(shù) 是實數(shù)，則實數(shù)
2.已知復數(shù)z滿足（ ＋3i）z＝3i，則z＝
3.若復數(shù)Z= ，則Z +Z +1+i的值為0
4.設 、 為實數(shù)，且 ，則 + =4.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/82650.html

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