第4節(jié) 平衡條的應(yīng)用之動態(tài)分析
物體在做勻速直線運動或在緩慢移動的過程中，其中有一部分力是變力，是動態(tài)力，力的大小和方向均要發(fā)生變化，這類問題是動態(tài)平衡問題．
例1：如圖所示，用 AO、BO 細(xì)繩吊一重物 P 靜止，其中 AO 繩水平．現(xiàn)用水平向右的力 F 緩慢拉起重物 P 的過程中，繩 OB 所受的拉力變化為（ ）
A．變大 B．變小
C．先變小再變大 D．不變
[分析]由于緩慢拉起重物 P 的過程中，F(xiàn)的大小在改變，OP繩拉力大小和方向都在改變，為了避開研究F及OP繩拉力的變化情況，可以結(jié)點O、OP繩及重物整體為研究對象，用解析法求解．
[解答]以結(jié)點O、OP繩及重物整體為研究對象，受到重力mg、F、AO繩拉力FAO和BO繩拉力FOB而平衡，如圖所示．由平衡條得FOB = mgsinθ ，可見，F(xiàn)BO與F變化情況無關(guān)．
答案D．
[規(guī)律小結(jié)]①物體處于動態(tài)平衡時，可以用解析法求解，但要對研究對象的任一狀態(tài)進(jìn)行受力分析，根據(jù)具體情況引入自變參量，建立平衡方程，找出待求量與自變參量的一般函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)自變參量的變化確定待求量的變化．
②在物體受力動態(tài)平衡問題上，是用隔離法還是用整體法求解，要根據(jù)具體題目具體問題定．如果本題改為求AO繩所受的拉力變化情況，應(yīng)先對重物P用隔離法判斷F變大，再用整體法判斷AO繩所受的拉力變大．
注意：本題極易認(rèn)為拉力FAO不變，F(xiàn) 緩慢拉起重物 P 的過程中可知F緩慢變大， 所以FBO的水平分力緩慢變小而錯選B。
例2：繩的一端A固定在豎直墻壁上,另一端通過固定在直桿BE的定滑輪吊一重物，如圖所示，桿BE可以繞B點轉(zhuǎn)動．桿、滑輪、繩的質(zhì)量及摩擦均不計，設(shè)AC段繩的拉力大小為F，BE桿受的壓力大小為FN，把繩端A點沿墻稍向下移一微小距離，整個裝置再一次平衡后有（ ）
A．F、FN均增大 B．F先減小后增大、FN增大
C．F不變、FN增大 D．F、FN均不變
[分析]當(dāng)繩端A點沿墻稍向下移一微小距離時，AC繩上的拉力F方向發(fā)生變化，兩段繩的夾角變小，使桿的方向即BE的支持力FN′方向發(fā)生變化，即FN的方向也發(fā)生變化，而FN的大小如何變化呢？
思路一：由于本題屬于三力動態(tài)平衡問題可以應(yīng)用圖解法直觀解決．
思路二：利用三角形相似的性質(zhì)，找出關(guān)系式進(jìn)行討論。
[解答]由于繩通過定滑輪吊一重物，所以兩段繩上的拉力大小均為重物的重力G，所以選項A、B錯誤．以與定滑輪接觸的那一小段繩C為研究對象，受到三個力作用：豎直繩對C的拉力F1、AC繩對C的拉力F、桿BE對C的支持力FN′．
解法一：用圖解法判斷FN大小變化情況。作出恒力F1的平衡力F1′，以作用點C為圓心，以F1的大小為半徑作圓，則力F和F1′的矢端一定落在圓周上．根據(jù)平行四邊形定則作圖，如圖甲所示，可知當(dāng)A點沿墻稍向下移一微小距離時FN = FN′增大，選項C正確，D錯誤．
解法二：受力如圖乙所示，由于FF2∥AB，△CAB與△CFF2相似，有
F2BC = F1AB ，　　　　　�、�
又　　　　FN = FN′ = F2，F(xiàn)1 = G　　　　　②
由①、②式得　FN = BCAB G，　　　 ③
當(dāng)繩端A點沿墻稍向下移一微小距離時，AB變小，而BC、G均不變，由③式可知，F(xiàn)N變大，選項C正確，D錯誤．
解法三：F與F1相等，F(xiàn)N必在F與F1的夾角的角平分線上，由于F = F1 = G，且AC下移時兩力的夾角減小，故F與F1的合力F2增大，所以FN′ = F2增大。
答案C．
[規(guī)律小結(jié)]①圖解法是根據(jù)平行四邊形定則進(jìn)行力的合成或分解，利用鄰邊及其夾角跟對角線的關(guān)系分析力的大小或方向變化情況的方法．圖解法具有直觀簡便的特點，多用于定性研究，對三個共點力平衡的動態(tài)分析問題應(yīng)用圖解法尤其有效，但要求平行四邊形要畫準(zhǔn)確些．
②動態(tài)平衡問題用圖解法解題四步驟：
a．對研究對象進(jìn)行受力分析，判斷是否屬于共點的三力平衡問題．
b．分析物體所受各力的大小、方向在動態(tài)平衡中變化特點，明確哪個是恒力；哪個是大小不變、方向變的力；哪個是方向不變、大小變的力；哪個是大小和方向都變的力．
c．作出恒力的平衡力．
若存在大小不變、方向變的力，以作用點為圓心以此力的大小為半徑作圓，則此圓上的任一點與平衡力矢端的連線為第三個力．
若存在方向不變、大小變的力，過恒力的矢端作此力方向的平行線，則第三個力的矢端一定落在這條平行線上．
d．根據(jù)平行四邊形定則利用三力的矢量三角形討論有關(guān)問題．
③利用三角形相似的性質(zhì)，把力的矢量三角形與結(jié)構(gòu)三角形聯(lián)系越，建立力的大小與邊長的函數(shù)關(guān)系，也是處理動態(tài)平衡問題的一個重要解題方法．
④若直桿是輕桿，且只有兩端受力，則桿兩端所受的力一定都沿桿的方向．
注意：本題極易因沒有理解“整個裝置再一次平衡”和E處滑輪的作用而認(rèn)為當(dāng)AC繩與豎直繩垂直時，AC繩上的拉力F有最小值，錯選B。
例3：如圖所示，在半徑為R的光滑半球面的正上方懸掛一個光滑的小定滑輪（距地面高度為h）．重為G的小球A（可視為質(zhì)點）用繞過滑輪的細(xì)繩被站在地面上的人拉�。�人拉動細(xì)繩，在與球面相切的某點緩慢運動到接近頂點的過程中，試分析球面對小球的支持力和細(xì)繩拉力大小各如何變化．
[分析]為什么要設(shè)置球面而不設(shè)置成斜面呢？小定滑輪為什么要設(shè)置在半球面的正上方而不設(shè)置在左上方或右上方？這說明了支持力FN、拉力F的大小可能受到R、h等的限制，要求找出其函數(shù)關(guān)系．本題從幾何關(guān)系入手，尋找與力的矢量三角形相似的結(jié)構(gòu)三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，建立比例關(guān)系，把力的大小變化問題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)三角形邊長的大小變化問題進(jìn)行討論．
[解答] 由于小球緩慢運動，受力平衡有FN′ = FN，觀察圖不難發(fā)現(xiàn)：F′FN′∥OB，△AF′FN′與△ABO相似，則有
FN′ G = OA OB = R h ，即FN　= R h G，　　　　　　　①
F′ G = AB OB = AB h ，即F = F′ = AB h G，　　　　　②
球緩慢上移的過程中，由于G、R、h都不變，而細(xì)繩長AB逐漸減小，由①式可知，支持力FN大小不變；由②式可知，細(xì)繩的拉力F′逐漸減�。�
[規(guī)律小結(jié)]①本題是屬于三個共點力平衡問題，雖然可以用圖解法處理，但是要求畫圖要十分準(zhǔn)確，兩次的小球位置要相距大一些，小球、定滑輪都要畫成一個點，定滑輪一定要畫在半球面的正上方，只有這樣，才能確定球面對小球的支持力和細(xì)繩拉力大小的變化情況．
②對受一恒定外力和方向都變化的另外兩個外力作用而平衡的討論問題，單純應(yīng)用平衡條列出方程，用解析法求解有時不易討論清楚，若能結(jié)合相應(yīng)的三角形的知識、正弦定理等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行討論，往往會得到事半功倍之功效．
注意：本題極易受到斜面上物體平衡時FN = mgcosα、F = mgsinα思維定勢的影響，在小球緩慢運動到接近頂點的過程中，錯認(rèn)為繩AB沿切線方向，相當(dāng)于斜面的傾角α變小，支持力FN逐漸增大。
同步訓(xùn)練：
1、如圖所示，物塊靜止于傾斜的木板上，若木板的傾角θ緩慢減小到0°，則木板對物塊的支持力FN和摩擦力Ff的變化情況是（ ）
A．FN、Ff都增大 B．FN、Ff都減小
C．FN減小，F(xiàn)f增大 D．FN增大，F(xiàn)f減小
2、如圖3所示，小船用繩索拉向岸邊，設(shè)船在水中運動時所受水的阻力不變，那么小船在勻速靠岸過程中，下面說法哪些是正確的（ ）
　　A．繩子的拉力F不斷增大
　　B．繩子的拉力F不變
　　C．船所受的浮力不斷減小
　　D．船所受的浮力不斷增大
3、如圖所示，繩與桿均不計重力，承受彈力的最大值一定，A端用絞鏈固定，滑輪O在A點正上方， B端吊一重物P，繩與B端是連接在一起的，滑輪大小及摩擦均可忽略�，F(xiàn)施拉力F將B緩慢上拉，在桿達(dá)到豎直前（繩子、桿均均未斷） （ ）
A．繩子OB越越容易斷． B．繩子OB越越不容易斷．
C．桿越越容易斷． D．桿越越不容易斷．
4、（2005•蘇州）當(dāng)物體從高空下落時，所受阻力會隨物體的速度增大而增大，因此經(jīng)過下落一段距離后將勻速下落，這個速度稱為此物體下落的收尾速度．研究發(fā)現(xiàn)，在相同環(huán)境條下，球形物體的收尾速度僅與球的半徑和質(zhì)量有關(guān)，已知g取10m/s2．下表是某次研究的實驗數(shù)據(jù)
小球編號ABCDE
小球的半徑（×10 3m）0.50.51.522.5
小球的質(zhì)量（×10 6kg）254540100
小球的收尾速度（m/s）1640402032
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出B球與C球在達(dá)到終極速度時所受阻力之比．
（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，歸納出球型物體所受阻力Ff與球的速度大小及球的半徑的關(guān)系（寫出有關(guān)表達(dá)式、并求出比例系數(shù)）．
（3）現(xiàn)將C號和D號小球用輕質(zhì)細(xì)線連接，若它們在下落時所受阻力與單獨下落時的規(guī)律相同．讓它們同時從足夠高的同一高度下落，試求出它們的收尾速度；并判斷它們落地的順序（不需要寫出判斷理由）．
[參考答案]
1、D[解析]解法一：以物體為研究對象，受到重力g、木板的支持力FN和靜摩擦力Ff的作用，作出重力g的平衡力F，過F的矢端分別作FN、Ff的平行線以確定FN、Ff的大�。�由圖可知θ緩慢減小到0°時，F(xiàn)N增大，F(xiàn)f減�。�
解法二：在木板的傾角θ緩慢減小到0°的過程中，物體受力平衡，有
FN = gcosθ，F(xiàn)f = gsinθ，
由于0 ≤ θ < 90°，所以θ↓→ cosθ↑→ FN↑，θ↓→ sinθ↓→ Ff↓
2、AC[解析]小船共受四個力作用：重力G、浮力F1、水的阻力Ff、繩子拉力F．引入繩與水平方向的夾角θ為參量．
對小船，有Fcosθ = Ff，F(xiàn)1 = G ? Fsinθ．　
由于重力G和水對小船的阻力Ff不變，在靠岸過程中θ不斷增大，所以F不斷增大，F(xiàn)1不斷減�。�
3、B[解析]BP繩的拉力F1 = G，由三角形相似的性質(zhì)有
FOB = FNAB = F1OA，得F = OBOAG，F(xiàn)N = ABOAG，B緩慢上拉的過程中，OB變小，但OA、AB均不變，所以F變小，F(xiàn)N不變．
4、[解析]（1）球在達(dá)到收尾速度時為平衡狀態(tài)，有 Ff = mg
所以 　　　 FfB∶FfC = mB∶mC
代入數(shù)據(jù)得　　 FfB∶FfC = 1∶9
（2）由表中A、B號球的有關(guān)數(shù)據(jù)可得，阻力與速度成正比，即　Ff ∝ υ
由表中B、C號球有關(guān)數(shù)據(jù)可得，阻力與球的半徑的平方成正比，即 Ff ∝ r2
得　　　　　　 　　　Ff = kυr2
對D號球，F(xiàn)fD = kυDrD2，k = FfDυDrD2 = 40×10-6×1020×(2×10-3 )2 N• s/m3 = 5N• s/m3
（3）將C號和D號小球用細(xì)線連接后，其收尾速度應(yīng)滿足
mCg + mDg = FfC + FfD
即　　　　　 ( mC + mD ) g = kυ ( rC2 + rD2 )
代入數(shù)據(jù)得　 　υ = 27.3m/s　
比較C號和D號小球的質(zhì)量和半徑，可判斷C球先落地．


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