19.3.2正方形的判定與性質(zhì)
一．選擇題（共5小題）
1．下列說法錯誤的是（　�。�
A． 有一個角為直角的菱形是正方形
B． 有一組鄰邊相等的矩形是正方形
C． 對角線相等的菱形是正方形
D． 對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

2．在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點E、F、G、H．這樣得到的四邊形EFGH中，是正方形的有（　�。�
A．1個 B．2個 C．4個 D．無窮多個

3．如圖，四邊形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四邊形ABCD面積為16，則DE的長為（　�。�
 
A．3 B．2 C．4 D．8
4．△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點O到三邊AB、AC、BC的距離為（　�。�
A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm

5．如圖，在一個大正方形內(nèi)，放入三個面積相等的小正方形紙片，這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，且未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，則大正方形的面積是（單位：平方厘米）（　�。�
 
A．40 B．25 C．26 D．36
二．填空題（共4小題）
6．現(xiàn)有一張邊長等于a（a＞16）的正方形紙片，從距離正方形的四個頂點8cm處，沿45°角畫線，將正方形紙片分成5部分，則陰影部分是　_________�。ㄌ顚憟D形的形狀）（如圖），它的一邊長是　_________�。�
 

7．如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，以AD為邊向外作Rt△ADE，∠AED=90°，連接OE，DE=6，OE=8 ，則另一直角邊AE的長為　_________�。�
 

8．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是　_________�。�
 

9．四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，設(shè)有下列條件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，則在下列推理不成立的是　_________　
A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④
三．解答題（共11小題）
10．如圖，已知點E、F、G、H分別在正方形ABCD的各邊上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分別相交于點A′、B′、C′、D′．
求證：四邊形A′B′C′D′是正方形．
 

11．如圖，在正方形ABCD中，點M在邊AB上，點N在邊AD的延長線上，且BM=DN．點E為MN的中點，DE的延長線與AC相交于點F．試猜想線段DF與線段AC的關(guān)系，并證你的猜想．
 

12．如圖，正方形ABCD邊長為6．菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，且AH=2，連接CF．
（1）當(dāng)DG=2時，求證：菱形EFGH為正方形；
（2）設(shè)DG=x，試用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積．
 

13．如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．
 （1）求證：BF=DE；
（2）當(dāng)點E運動到AC中點時（其他條件都保持不變），問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．
 

14．已知，如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．
（1）若DG=2，求證四邊形EFGH為正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面積；
（3）當(dāng)DG為何值時，△FCG的面積最小．
 

15．如圖，正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q．
（1）如圖1，當(dāng)點Q在DC邊上時，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系；并加以證明；
（2）如圖2，當(dāng)點Q落在DC的延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想．
 

16．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，分別過A、C兩點作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、ND分別交l2于Q、P．求證：四邊形PQMN是正方形．
 

17．在正方形ABCD各邊上一次截取AE=BF=CG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．試問四邊形EFGH是否是正方形？
 

18．如圖，四邊形ABCD是正方形，點P是BC上任意一點，DE⊥AP于點E，BF⊥AP于點F，CH⊥DE于點H，BF的延長線交CH于點G．
（1）求證：AF?BF=EF；
（2）四邊形EFGH是什么四邊形？并證明；
（3）若AB=2，BP=1，求四邊形EFGH的面積．
 
19．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分線相交于點D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F．問四邊形CFDE是正方形嗎？請說明理由．
 
20．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分別為E，F(xiàn)．求證：四邊形DEAF是正方形．
 

19.3.2正方形的判定與性質(zhì)
參考答案與試題解析

一．選擇題（共5小題）
1．下列說法錯誤的是（　�。�
A． 有一個角為直角的菱形是正方形
B． 有一組鄰邊相等的矩形是正方形
C． 對角線相等的菱形是正方形
D． 對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

考點： 正方形的判定．
分析： 正方形：四個角都是直角，四條邊都相等，對角線相等，且互相垂直平分的平行四邊形；
菱形：四條邊都相等，對角線互相垂直平分的平行四邊形；
矩形：四個角都相等，對角線相等的平行四邊形．
解答： 解：A、有一個角為直角的菱形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角，則該菱形是正方形．故本選項說法正確；
B、有一組鄰邊相等的矩形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角．則該矩形為正方形．故本選項說法正確；
C、對角線相等的菱形的特征是：四條邊都相等，對角線相等的平行四邊形，即該菱形為正方形．故本選項說法正確；
D、對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形．故本選項說法錯誤；
故選D．
點評： 本題考查了正方形的判定．正方形集矩形、菱形的性質(zhì)于一身 ，是特殊的平行四邊形．

2．在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點E、F、G、H．這樣得到的四邊形EFGH中，是正方形的有（　�。�
A． 1個 B．2個 C．4個 D． 無窮多個

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定．
專題： 計算題．
分析： 在正方形四邊上任意取點E、F、G、H，若能證明四邊形EFGH為正方形，則說明可以得到無窮個正方形．
解答： 解：無窮多個．如圖正方形ABCD：
AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，
有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
則EH=HG=GF=FE，
另外 很容易得四個角均為90°
則四邊形EHGF為正方形．
故選D．
 
點評： 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，難度適中，利用三角形全等的判定證明EH=HG=GF=FE．

3．如圖，四邊形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四邊形ABCD面積為16，則DE的長為（　�。�
 
A． 3 B．2 C．4 D． 8

考點： 正方形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 如圖，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于F，利用互余關(guān)系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判斷△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四邊形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．
解答： 解：過點D作BC的垂線，交BC的延長線于F，
∵∠ADC=∠ABC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
S四邊形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4．
故選C．
 
點評： 本題運用割補法，或者旋轉(zhuǎn)法將四邊形ABCD轉(zhuǎn)化為正方形，根據(jù)面積保持不變，來求正方形的邊長．

4．△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點O到三邊AB、AC、BC的距離為（　　）
A． 2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C． 4cm，4cm，4cm D． 2cm，3cm，5cm

考點： 正方形的判定與性質(zhì)．
分析： 連接OA，OB，OC，利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又因為點O到三邊AB、AC、BC的距離是CD，∴AB=8?CD+6?CD=10，解得CD=2，所以點O到三邊AB、AC、BC的距離為2．
解答： 解：連接OA，OB，OC，則△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，
又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O為△ABC三條角平分線的交點
∴四邊形OECD是正方形，
則點O到三邊AB、AC、BC的距離=CD，
∴AB=8?CD+6?CD=?2CD+14，又根據(jù)勾股定理可得：AB=10，
即?2CD+1 4=10
∴CD=2，
即點O到三邊AB、AC、BC的距離為2cm．
故選A
 
點評： 本題主要考查垂直平分線上的點到線段兩段的距離相等的性質(zhì)和邊的和差關(guān)系．

5．如圖，在一個大正方形內(nèi)，放入三個面積相等的小正方形紙片，這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，且未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，則大正方形的面積是（單位：平方厘米）（　�。�
 
A． 40 B．25 C．26 D． 36

考點： 正方形的判定與性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 設(shè)小正方形的邊長為a，大正方形的邊長為b，由正方形的面積公式，根據(jù)題意列出方程組解方程組得出大正方形的邊長，則可求出面積．
解答： 解：設(shè)小正方形的邊長為a，大正方形的邊長為b，
由這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，可得ab+a（b?a）=24    ①，
由未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，可得（b?a）2= a2?3，②
將①②聯(lián)立解方程組可得：a=4，b=5，
∴大正方形的邊長為5，
∴面積是25．
故選B．
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)及面積公式，難度較大，關(guān)鍵根據(jù)題意列出方程．

二．填空題（共4小題）

6．現(xiàn)有一張邊長等于a（a＞16）的正方形紙片，從距離正方形的四個頂點8cm處，沿45°角畫線，將正方形紙片分成5部分，則陰影部分是　正方形�。ㄌ顚憟D形的形狀）（如圖），它的一邊長是　 cm�。�
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 延長小正方形的一邊交大正方形于一點，連接此點與距大正方形頂點8cm處的點，構(gòu)造直角邊長為8的等腰直角三角形，將小正方形的邊長轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的斜邊長來求解即可．
解答： 解：如圖，作AB平行于小正方形的一邊，延長小正方形的另一邊與大正方形的一邊交于B點，
∴△ABC為直角邊長為8cm的等腰直角三角形，
∴AB= AC=8 ，
∴陰影正方形的邊長=AB=8  cm．
故答案為：正方形， cm．
 
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)與勾股定理的知識，題目同時也滲透了轉(zhuǎn)化思想．

7．如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，以AD為邊向外作Rt△ADE，∠AED=90°，連接OE，DE=6，OE=8 ，則另一直角邊AE的長為　10�。�
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
分析： 首先過點O作OM⊥AE于點M，作ON⊥DE，交ED的延長線于點N，易得四邊形EMON是正方形，點A，O，D，E共圓，則可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的長，繼而證得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM=DN，繼而求得答案．
解答： 解：過點O作OM⊥AE于點M，作ON⊥DE，交ED的延長線于點N，
∵∠AED=90°，
∴四邊形EMON是矩形，
∵正方形ABCD的對角線交于點O，
∴∠AOD=90°，OA=OD，
∴∠AOD+∠AED=180°，
∴點A，O，D，E共圓，
∴ = ，
∴∠AEO=∠DEO= ∠AED=45°，
∴OM=ON，
∴四邊形EMON是正方形，
∴EM=EN=ON，
∴△OEN是等腰直角三角形，
∵OE=8 ，
∴EN=8，
∴EM=EN=8，
在Rt△AOM和Rt△DON中，
 ，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴AM=DN=EN?ED=8?6=2，
∴AE=AM+EM=2+8=10．
故答案為：10．
 
點評： 此題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

8．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是　3 　．
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
分析： 過點D作DE⊥DP交BC的延長線于E，先判斷出四邊形DPBE是矩形 ，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角邊”證明△ADP和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DP，然后判斷出四邊形DPBE是正方形，再根據(jù)正方形的面積公式解答即可．
解答： 解：如圖，過點D作DE⊥DP交BC的延長線于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四邊形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
 ，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四邊形ABCD的面積=四邊形DPBE的面積=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP= =3 ．
故答案為：3 ．
 
點評： 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和正方形是解題的關(guān)鍵．

9．四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，設(shè)有下列條件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，則在下列推理不成立的是　C　
A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理，對角線互相平分的四邊形 為平行四邊形，再由鄰邊相等，得出是菱形，和一個角為直角得出是正方形，根據(jù)已知對各個選項進行分析從而得到最后的答案．
解答： 解：A、由①④得，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故正確；
B、由③得，四邊形是平行四邊形，再由①，一組鄰邊相等的平 行四邊形是菱形，故正確；
C、由①②不能判斷四邊形是正方形；
D、由③得，四邊形是平行四邊形，再由②，一個角是直角的平行四邊形是矩形，故正確．
故選C．
點評： 此題用到的知識點是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一組鄰邊相等的矩形是正方形；對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形；對角線互相平分且一個角是直角的四邊形是矩形．靈活掌 握這些判定定理是解本題的關(guān)鍵．

三．解答題（共11小題）
10．如圖，已知點E、F、G、H分別在正方形ABCD的各邊上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分別相交于點A′、B′、C′、D′．
求證：四邊形A′B′C′D′是正方形．
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可以判定四邊形A′B′C′D′的三個角是直角，則四邊形是矩形，然后證明一組鄰邊相等，可以證得四邊形是正方形．
解答： 證明：在正方形ABCD中，
∵在△ABF和△BCG中，
 
∴△ABF≌△BCG（SAS）
∴∠BAF=∠GBC，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠GBC+∠AFB=90°，
∴∠BB′F=90°，
∴∠A′B′C′=90°．
∴同理可得∠B′C′D′=∠C′D′A′=90°，
∴四邊形A′B′C′D′是矩形．
∵在△AB′B和△BC′C中，
 
∴△AB′B≌△BC′C（AAS），
∴AB′=BC′
∵在△AA′E和△BB′F中，
 
∴△AA′E≌△BB′F（AAS），
∴AA′=BB′
∴A′B′=B′C′
∴矩形A′B′C′D′是正方形．
 
點評： 本題考查了正方形的判定，判定的方法是證明是矩形同時是菱形．

11．如圖，在正方形ABCD中，點M在邊AB上，點N在邊AD的延長線上，且BM=DN．點E為MN的中點，DE的延長線與AC相交于點F．試猜想線段DF與線段AC的關(guān)系，并證你的猜想．
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．
專題： 探究型．
分析： 猜想：線段DF垂直平分線段AC，且DF= AC，過點M作MG∥AD，與DF的延長線相交于點G，作GH⊥BC，垂足為H，連接AG、CG． 根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明△AMG≌△CHG即可．
解答： 猜想：線段DF垂直平分線段AC，且DF= AC，
證明：過點M作MG∥AD，與DF的延長線相交于點G．
則∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，
∵∠MEG=∠NED，ME=NE，
∴△MEG≌△NED，
∴MG=DN．
∵BM=DN，
∴MG=BM．
作GH⊥BC，垂足為H，連接AG、CG．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°，
∴四邊形MBHG是矩形．
∵MG=MB，
∴四邊形MBHG是正方形，
∴MG=GH=BH=MB， ∠AMG=∠CHG=90°，
∴AM=CH，
∴△AMG≌△CHG．
∴GA=GC．
又∵DA=DC，
∴DG是線段AC的垂直平分線．
∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴DF= AC
即線段DF垂直平分線段AC，且DF= AC．
 
點評： 本題綜合考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，此題綜合性比較強，難度較大，但題型較好，訓(xùn)練了學(xué)生分析問題和解決問題以及敢于猜想的能力．

12．如圖，正方形ABCD邊長為6．菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，且AH=2，連接CF．
（1）當(dāng)DG=2時，求證：菱形EFGH為正方形；
（2）設(shè)DG=x，試用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積．
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．
分析： （1）由于 四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；
（2）欲求△FCG的面積，由已知得CG的長易求，只需求出GC邊的高，通過證明△AHE≌△MFG可得．
解答： （1）證明：在△HDG和△AEH中，
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
∵DG=AH=2，
∴Rt△HDG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH為正方形；
（2）解：過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
∵ ，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM，
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6?x．
∴S△FCG= CG•FM=6?x．
 
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線：過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，構(gòu)造全等三角形和內(nèi)錯角．

13．如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．
（1）求證：BF=DE；
（2）當(dāng)點E運動到AC中點時（其他條件都保持不變），問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理 由．
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；
（2）利用正方形的判定方法判定四邊形AFBE為正方形即可．
解答： （1）證明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中
 
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；

（2）解：當(dāng)點E運動到AC的中點時四邊形AFBE是正方形，
理由：∵點E運動到AC的中點，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四邊形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四邊形AFBE是正方形．
 
點評： 本題考查了正方 形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的利用正方形的性質(zhì)．

14．已知，如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．
（1）若DG=2，求證四邊形EFGH為正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面積；
（3）當(dāng)DG為何值時，△FCG的面積最�。�
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．
專題： 計算題；壓軸題．
分析： （1）由于四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；
（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性質(zhì)有∠AEH=∠MGF，再結(jié)合∠A=∠M=90°，HE=FG，可證△AHE≌△MFG，從而有FM=HA=2（即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2），進而可求三角形面積；
（3）先設(shè)DG=x，由第（2）小題得，S△FCG=7?x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，進而可求x≤ ，從而可得當(dāng)x= 時，△GCF的面積最�。�
解答： 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，
∴∠D=∠A=9 0°，HG=HE，又AH=DG=2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG=∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形HEFG為正方形；

（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2，
因此 ；

（3）設(shè)DG=x，則由第（2）小題得，S△FCG=7?x，在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤ ，
∴S△FCG的最小值為 ，此時DG= ，
∴當(dāng)DG= 時，△FCG的面積最小為（ ）．
 
點評： 本題考查了矩形、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是作輔助線：過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，構(gòu)造全等三角形和內(nèi)錯角．

15．如圖，正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點B，直角頂點P在射線 AC上移動，另一邊交DC于Q．
（1）如圖1，當(dāng)點Q在DC邊上時，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系；并加以證明；
（2）如圖2，當(dāng)點Q落在DC的延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想．
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）過P作PE⊥BC，PF⊥CD，證明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；
（2）證明思路同（1）
解答： （1）PB=PQ，
證明：過P作PE⊥BC ，PF⊥CD，
∵P，C為正方形對角線AC上的點，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四邊形PECF為正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；

（2）PB=PQ，
證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C為正方形對角線AC上的點，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四邊形PECF為正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．
 
 
點評： 此題考查了正方形，角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形判定與性質(zhì)．此題綜合性較強，注意數(shù)形結(jié)合思想．

16．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，分別過A、C兩點作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、ND分別交l2于Q、P．求證：四邊形PQMN是正方形．
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題；壓軸題．
分析： 可由Rt△ABM≌Rt△DAN，AM=DN同理可得AN=NP，所以MN=PN，進而可得其為正方形．
解答： 證明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2，
∴∠QMN=∠P=∠N=90°，
∴四邊形PQMN為矩形，
∵AB=AD，∠M=∠N=90°
∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°，
∴∠ADN=∠BAM，
又∵AD=BA，
∴Rt△ABM≌Rt△DAN（AAS），
∴AM=DN
同理AN=DP，
∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN．
∴四邊形PQMN是正方形．
 
點評： 本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種幾何圖形的性質(zhì)和判定方法．

17．在正方形ABCD各邊上一次截取AE=BF=CG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．試問四邊形EFGH是否是正方形？
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)．
分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，然后求出BE=CF=DG=AH，再利用“邊角邊”證明△AHE和△BEF和△CFG和△DGH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=FG=GH=EH，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，再求出∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°，從而得到四邊形EFGH是正方形．
解答： 解：四邊形EFGH是正方形．
理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AB?AE=BC?BF=CD?CG=AD?DH，
即BE=CF=DG=AH，
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH，
∴EF=FG=GH=EH，∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，
∴∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．
點評： 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出被截取的四個小直角三角形全等是解題的關(guān)鍵．

18．如圖，四邊形ABCD是正方形，點P是BC上任意一點，DE⊥AP于點E，BF⊥AP于點F，CH⊥DE于點H，BF的延長線交CH于點G．
（1）求證：AF?BF=EF；
（2）四邊形EFGH是什么四邊形？并證明；
 

考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；
分析： （1）利用全等三角形的判定首先得出△AED≌△BFA，進而得出AE=BF，即可證明結(jié)論；
（2）首先得出四邊形EFGH是矩形，再利用△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，進而得出EF=EH，即可得出答案；

解答： （1）證明：∵DE⊥AP于點E，BF⊥AP于點F，CH⊥DE于點H，
∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
又∵∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
在△AED和△BFA中，
 ，
∴△AED≌△BFA，
∴AE=BF，
∴AF?AE=EF，即AF?BF=EF；

（2）證明：
∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，
∴四邊形EFGH是矩形，
∵△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，
∴△AED≌△BFA≌△DHC，
∴DH=AE=BF，AF=DE=CH，
∴DE?DH=AF?AE，
∴EF=EH，
∴矩形EFGH是正方形；

19．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分線相交于點D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F．問四邊形CFDE是正方形嗎？請說明理由．
 

考點： 正方形的判定；角平分線的性質(zhì)．
分析： 首先利用垂直的定義證得四邊形CFDE是矩形，然后利用角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，從而判定該四邊形是正方形．
解答： 證明：∵∠C=90°，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，
∴四邊形DECF為矩形，
∵∠A、∠B的平分線交于點D，
∴DF=DE，
∴四邊形CFDE是正方形．
點評： 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是利用正方形的判定方法證得四邊形CFDE是正方形．

20．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分別為E，F(xiàn)．求證：四邊形DEAF是正方形．
 

考點： 正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 由題意先證明□AEDF是矩形，再根據(jù)兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等來證△BDE≌△CDF，根據(jù)有一組對邊相等的矩形證明□AEDF是正方形．
解答： 證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=90°，∠AFD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠EDF=90°
∴□AEDF是矩形
在△BDE和△CDF中
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC
又∵D是BC的中點
∴BD=DC
∴△BDE≌△CDF
∴DE=DF
∴□AEDF是正方形
點評： 本題考查的是正方形的判定方法，考查了矩形、全等三角形等基礎(chǔ)知識的靈活運用，判別一個四邊形是正方形主要是根據(jù)正方形的定義及其性質(zhì)．

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