數(shù)和形是數(shù)學研究的基本對象，是數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的兩塊基石，在數(shù)學發(fā)展的過程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在方法上互相滲透，在內(nèi)容上互相聯(lián)系．
以數(shù)助形，即恰當?shù)匾齾⒒蛟O元，把一些幾何量如角度的大小、線段的長度等用字母或代數(shù)式表示，利用圖形的性質(zhì)，尋找?guī)缀螆D形元素之間的關系，通過解方程、等式變形、等式運算等代數(shù)方法解證幾何題．
用形輔數(shù)，即把一個代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一個圖形，問題中的條件與結(jié)論直觀地、整體地表示出來，借助圖形的直觀性輔助解題，在代數(shù)的學習中，我們廣泛地使用了用形輔數(shù)的方法，如用數(shù)軸賦予抽象的代數(shù)概念以直觀的形象、乘法公式的幾何表示、解應用題時常借助直線圖、圖表幫助分析等．
例題求解
【例1】 若a、b均為正數(shù)，且 ， ， 是一個三角形的三
條邊的長，那么這個三角形的面積等于 ． ( “希望杯”邀請賽試題)
思路點撥 直接用三角形面積公式求面積較為復雜，利用 的幾何意義(表示直角邊分別為m，n的直角三角形斜邊長)，構(gòu)造圖形求面積．
注 古埃及，在長期土地測量、劃分界限的過程中形成了最初的幾何學．“Geometry(幾何)”一詞在希臘文中意為“測量”，我國宋元時期巳將某些幾何問題代數(shù)化，把圖形之間的幾何關系，表示成代數(shù)式之間的代數(shù)關系．
17世紀笛卡爾的解析幾何引進坐標，用“數(shù)”研究“形”，為18、19世紀數(shù)學的空前發(fā)展作了準備．
【例2】 如圖，在△ABD中，C為AD上一點，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，則AC=( )
A．1 B． C． D． (武漢市選拔賽試題)
思路點撥 過D作DE⊥AB交AB延長線于E，設AC=x，BE=y，運用平行線分線段成比例、直角三角形邊角關系、勾股定理等知識建立方程組，通過解方程組求AC的值．
【例3】 如圖，E、F分別是邊長為4的正方形ABCD的邊BC、CD上的點，CE=1，CF= ，直線FC交AB的延 長線于G，過線段FG上的動點H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分別為M，N，設HM=x，矩形AMHN的面積為y．
(1)用x的代數(shù)式表示y；
(2)當x為何值時，矩形AMHN的面積最大，最大面積是多少?
(2001年南京市中考題)
思路點拔 對于(1)S矩形AMHN= HM×AM，AM=AB+BM，只需把BM用x的代數(shù)式表示即可，對于(2)，把關于x的代數(shù)式通過配方變形可獲解．注意相似三角形基本圖形的運用．
【例4】已知正數(shù) a、b、c和x、y、z滿足 ，求證： ．
思路點撥 相等的量賦予它的幾何意義，易想到等邊三角形、正方形，從構(gòu)造邊長為 的正方形入手．
注 對于一個幾何問題，能否通過代數(shù)運算解塊，關鍵在于幾何問題中數(shù)量關系能否方便地表示成適應代數(shù)適算的表達式：一個幾何問題，能否通過列方程的手段解決，在于問題本身是否存 在著構(gòu)成方程的等量關系，在尋找等量關系的過程中，常用到勾股定理、全等三角形、相似三角形等知識與方法．
美國數(shù)學家斯蒂思說：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思維就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思考問題的解法．”圖形能直觀、形象地表示數(shù)量關系，能幫助分析、理順復雜的數(shù)量關系．用形輔數(shù)目前常見的方式是：
(1)利用等量構(gòu)造等邊三角形、正方形；
(2)利用根式的幾何意義構(gòu)造直角三角形、矩形．
【例5】 如圖，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米．點P沿AB邊從點A開始向點B以2厘米／秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1厘米／秒的速度移
動．如果P、Q同時出發(fā)，用t(秒)表示移動的時間(0≤t≤6)，那么：
(1)當t為何值時，△QAP為等腰直角三角形?
(2)求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果有關的結(jié)論；
(3)當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似? (2002年山西省中考題)
思路點撥 (1)把相關線段用t的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立t的方程，(2)注意動態(tài)變化過程中某些量的不變性，從而提出相關問題，(3)借助三角形相似的判定方法，探求質(zhì)點運動的時間，其中蘊含著分類討論的思想方法．
學力訓練
1．如圖是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個顏色不同的正方形組成，設中間最小的一個正方形邊長為1，則這個矩形色塊圖的面積為 ．
2．用8塊相同的長方形地磚拼成一個矩形，則每個長方形地磚的面積是 ．
(黑龍江省中考題)
3．如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②~⑥中，與三角形①相似的是( )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
4．已知一個直角三角形 的兩直角邊上的中線長分別為5和2 ，那么這個三角形的斜邊長為( )
A．10 B．4 C． D．
5．如圖，以長為2的定線段為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，在BA的延長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上．
(1)求AM，DM的長；
(2)求證：AM2=AD×DM．
6．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD＝80mm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，設該矩形的長QM=ymm，寬MN=xmm．
(1)求證：y= ；
(2)當x與y分別取 什么值時，矩形P QMN的面積最大?最大面積是多少?
7．已知：如圖，正方形ABCD的周長為4 a，四邊形EFGH的四個頂點F、F，G、H分別在AB、BC、CD、DA上滑動，在滑動過程中，始終有EH∥BD∥FG，且EH=FG，那么四邊形EFGH的周長是否可求?若能求出，它的周長是多少?若不能求出，請說明理由．
(2003年新疆建設兵團中考題)
8．如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，∠ACB=60°，將△ABC折疊，使點B和點C重合，折痕 為DE，則△AZC的面積是 ．
9．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，C為CD的中點，BE=13，梯形ABCD的面積為120，那么AB+BC+DA= ．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，M、N是BC邊上的點，BM=MN=NC，如果AM=4，AN=3，則MN= ． (上海市高中理科實驗班招生試題)
11．代數(shù)式 的最小值是 ．
12．在方格紙中，每個小格的頂點叫做格點．以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形．請你在右圖所示的10×10的方格紙中，畫出兩個相似但不全等的格點三角形，并加以證明． 要求所畫三角形是鈍角三角形，并標明相應字母． (山西省中考題)
13．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=10，AB=DC=5，P是BC邊上的一個動點，直線 過點P且平行于DC，交梯形另外一邊于E點，設BP=x，梯形位于直線 左側(cè)的圖形的面積為S，分別求出當點E位于BA、AD上時，S與x之間的關系 式，并分別指出x的取值范圍． (威海市中考題)
14．如圖，已知正方形ABCD，直線AG分別交BD、CD于點E、F，交BC的延長線于點G，點H是線段FG上的點，且HC⊥C E．
(1)求證：點H是GF的中點；
(2)設 (0
16．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D，E是BC邊上的兩點， 且∠ABC= ∠ADC= ∠AEC，已知BD=11，DE＝5，求AC長． (北京市競賽題)
17．如圖，在△AB C中，BE、CF是中線，且BE⊥CF，AC=b ，AB= c (c> b )
(1)求BC的長；
(2)若△ABC存在，討論 的取值范圍．
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