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第三十一講 完全平方數(shù)和完全平方式
設n是自然數(shù)，若存在自然數(shù)m，使得n=m2，則稱n是一個完全平方數(shù)(或平方數(shù))．常見的題型有：判斷一個數(shù)是否是完全平方數(shù)；證明一個數(shù)不是完全平方數(shù)；關于存在性問題和其他有關問題等．最常用的性質(zhì)有：
(1)任何一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9，個位數(shù)字是2，3，7，8的數(shù)一定不是平方數(shù)；
(2)個位數(shù)字和十位數(shù)字都是奇數(shù)的兩位以上的數(shù)一定不是完全平方數(shù)，個位數(shù)字為6，而十位數(shù)字為偶數(shù)的數(shù)，也一定不是完全平方數(shù)；
(3)在相鄰兩個平方數(shù)之間的數(shù)一定不是平方數(shù)；
(4)任何一個平方數(shù)必可表示成兩個數(shù)之差的形式；
(5)任何整數(shù)平方之后，只能是3n或3n+1的形式，從而知，形如3n+2的數(shù)絕不是平方數(shù)；任何整數(shù)平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，從而知5n+2或5n+3的數(shù)絕不是平方數(shù)；
(6)相鄰兩個整數(shù)之積不是完全平方數(shù)；
(7)如果自然數(shù)n不是完全平方數(shù)，那么它的所有正 因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)；如果自然數(shù)n是完全平方數(shù)，那么它的所有正因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)；
(8)偶數(shù)的平方一定能被4整除；奇數(shù)的平方被8除余1，且十位數(shù)字必是偶數(shù)．
例題求解
【例1】 n是正整數(shù)，3n+1是完全平方數(shù)，證明：n+l是3個完全 平方數(shù)之和．
思路點撥 設3n+1=m2，顯然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整數(shù))．
若rn=3k+1，則 ．
∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2．
若m=3k+2，則
∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2．
故n+1是3個完全平方數(shù)之和．
【例2】一個正整數(shù)，如果加上100是一個平方數(shù)，如果加上168，則是另一個平方數(shù)，求這個正整數(shù)．
思路點撥 引入?yún)��?shù)，利用奇偶分析求解．
設所求正整數(shù)為x，則
x+ 100=m2 ----①
x+168==n2 -----②
其中m，n 都是正整數(shù)， ②?①得n2?m2 =68，即 （n?m）(n+m)=22×17．---- ③
因n?m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n?m，n+m都是偶數(shù)．注意到0 解得n=18．代人②得x=156，即為所求．
【例3】 一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=52?32，16就是一個“智慧數(shù)”．在正整數(shù)中從1開始數(shù)起，試問第1998個“智慧數(shù)”是哪個數(shù)?并請你說明理由．
思路點撥 1不能表為兩個正整數(shù)的平方差，所以1不是“智慧數(shù)”．對于大于1的奇正整數(shù)2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)”．
對于被4整除的偶數(shù)4k，有4k=(k+1)2?(k?1)2 (k=2，3，…)．即大于4的被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”，而4不能表示為兩個正整數(shù)平方差，所以4不是“智慧數(shù)”．
對于被4除余2的數(shù)4k+2 (k=0，1，2，3，…)，設4k+2=x2?y2=(x+y)(x－y)，其中x，y為正整數(shù)，當x，y奇偶性相同時，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；當x，y奇偶性相異時，(x+y)(x－y)為奇數(shù)，而4k+2為偶數(shù)，總得矛盾．所以不存在自然數(shù)x，y使得x2?y2=4k+2．即形如4k+2的數(shù)均不為“智慧數(shù)”．
因此，在正整數(shù)列中前四個正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后，每連續(xù)四個數(shù)中有三個“智慧數(shù)”．
因為1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996個“智慧數(shù)”，2665是第1997個“智慧數(shù)”，注意到2666不是“智慧數(shù)” ，因此2667是第1998個“智慧數(shù)”，即第1998個“智慧數(shù)”是2667．
【例4】(太原市競賽題)已知：五位數(shù) 滿足下列條件：
(1)它的各位數(shù)字均不為零；
(2)它是一個完全平方數(shù)；
(3)它的萬位上的數(shù)字a是一個完全平方數(shù)，干位和百位上的數(shù)字順次構成的兩位數(shù) 以及十位和個位上的數(shù)字順次構成的兩位數(shù) 也都是完全平方數(shù)．
試求出滿足上述條件的所有五位數(shù)．
思路點撥 設 ，且 (一位數(shù))， (兩位數(shù))， (兩位數(shù))，則 ①
由式①知 ②
比較式①、式②得n2=2mt．
因為n2是2的倍數(shù)，故n也是2的倍數(shù)，所以，n2是4的倍數(shù)，且是完全平方數(shù)．
故n2=16或36或64．
當n2=16時，得 ，則m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合條件，舍去；
故 或41616．
當n2=36時，得 ．則m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合條件，舍去．
故 或93636．
當n2= 64時，得 ．則m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合條件，舍去．
因此，滿足條件的五位數(shù)只有4個：11 664，41 616，43 681，93 636．
【例5】 (2002年北京)能 夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)嗎?若能夠，請舉出一例；若不能夠；請說明理由．
思路點撥 不能找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)．
理由如下：
偶數(shù)的平方能被4整除，奇數(shù)的平方被4除余1，也就是正 整數(shù)的平方被4除余0或1．若存在正整數(shù)滿足 ； =1，2，3，4，rn是正整數(shù)；因為2002被4除余2，所以 被4除應余2或3．
(1)若正整數(shù)n1，n2，n3，n4中有兩個是偶數(shù)，不妨設n1，n2是偶數(shù)，則 被4除余2，與正整數(shù)的平方被4除余0或1不符，所以正整數(shù)n1，n2，n3，n4中至多有?個是偶數(shù)，至少有三個是奇數(shù)．
(2)在這三個奇數(shù)中，被4除的余數(shù)可分為余1或3兩類，根據(jù)抽屜原則，必有兩個奇數(shù)屬于同一類，則它們的乘積被4除余1，與 被4除余2或3的結論矛盾．
綜上所述，不能找到這樣的四個正整數(shù)，使得褥它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)．
【例6】 使得(n2?19n+91)為完全平方數(shù)的自然數(shù)n的個數(shù)是多少?
思路點撥 若(n2?19n+91)處在兩個相鄰整數(shù)的完全平方數(shù)之間，則它的取值便固定了．
∵ n2一19n+91=(n-9)2 +(10一n)
當n>10時，(n－10)2∴ 當n>10時(n2?19n+19)不會成為完全平方數(shù)
∴ 當n≤10時，(n2?19n+91)才是完全平方數(shù)
經(jīng)試算，n=9和n=10時，n2?19n+91是完全平方數(shù)．
所以滿足題意的值有2個．
【例7】 (“我愛數(shù)學”夏令營)已知 的值都是1或?1，設m是這2002個數(shù)的兩兩乘積之和．
(1)求m的最大值和最小值，并指出能達到最大值、最小值的條件；
(2 )求m的最小正值，并指出能達到最小正值的條件．
思路點撥 (1) ， ．
當 或 時，m取最大值2003001．
當 中恰有1001個1，1001個 時，m取最小值?1001．
(2)因為大于2002的最小完全平方數(shù)為452=2025，且 必為偶數(shù)，所以，當 或 ；
即 中恰有1024個1，978個 或恰有1024個 ，978個1時，m取最小值 ．
【例8】 (全國競賽題)如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項式 都是平方數(shù)(即整數(shù)的平方)，證明：
(1) 2a、2b都是整數(shù)；
( 2)a、b、c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)．
反過來，如果(2) 成立，是否對一切x的整數(shù)值， 的值都是平方數(shù)?
思路點撥 (1) 令x=0，得c=平方數(shù)= ；
令x=±1，得 ， ，其中m、n都是整數(shù)．所以， ， 都是整數(shù)．
(2) 如果2b是奇數(shù)2k+l(k是整數(shù))，令x=4得 ，其中h是整數(shù)．
由于2a是整數(shù)，所以16a被4整除，有 除以4余2．
而 ，在h 、l的奇偶性不同時， 是奇數(shù)；在h、l的奇偶性相同時， 能被4整除．
因此， ，從而2b是偶數(shù)，b是整數(shù)， ^也是整數(shù)．
在(2)成立時， 不一定對x的整數(shù)值都是平方數(shù)．例如，a=2，b=2，c=4，x=1時， =8不是平方數(shù)．
另解(2)：
令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a?2b+c=k2，其中h、k為整數(shù)．兩式相減得
4b=h2?k2=(h+k)(h?k)．
由于4b=2(2b)是偶數(shù)，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h?k)能被4整除．
因此，b是整數(shù)， 也是整數(shù)．


學力訓練
(A級)
1．(山東省競賽題)如果 是整數(shù)，那么a滿足( )
A．a(chǎn)>0，且a是完全平方數(shù) B．a(chǎn)<0，且－a是完全平方數(shù)
C．a(chǎn)≥0，且a是完全平方數(shù) D．a(chǎn)≤0，且?a是完全平方數(shù)
2．設n是自然數(shù)，如果n2的十位數(shù)字是7，那么n2的末位數(shù)字是( )
A．1 B．4 C．5 D．6
3．(五羊杯，初二)設自然數(shù)N是完全平方數(shù)，N至少是3位數(shù)，它的末2位數(shù)字不是00，且去掉此2位數(shù)字后，剩下的數(shù)還是完全平方數(shù)，則N的最大值是 ．
4．使得n2?19n+95為完全平方數(shù)的自然數(shù)n的值是 ．
5．自然數(shù)n減去52的差以及n加上37的和都是整數(shù)的平方，則n= ．
6．兩個兩位數(shù)，它們的差是56，它們的平方數(shù)的末兩位數(shù)字相同，則這兩個數(shù)分別是
．
7．是否存在一個三位數(shù) (a，b，c取從1到9的自然數(shù))，使得 為完全平方數(shù)?
8．求證：四個連續(xù)自然數(shù)的積加l，其和必為完全平方數(shù)．

（B級）
1．若x是自然數(shù)，設 ，則 ( )
A．y一定是完全平方數(shù) B．存在有限個，使y是完全平方數(shù)
C．y一定不是完全平方數(shù) D．存在無限多個，使y是完全平方數(shù)
2．已知a和b是兩個完全平方數(shù)，b的個位數(shù)字為l，十位數(shù)字為x；b的個位數(shù)為6，十位數(shù)字為y，則( )
A．x，y都是奇數(shù) B．x，y都是偶數(shù)
C．x是奇數(shù)，y是偶數(shù) D．x為偶數(shù)，y為奇數(shù)
3．若四位數(shù) 是一個完全平方數(shù)，則這個四位數(shù)是 ．
4．設m是一個完全平方數(shù)，則比m大的最小完全平方數(shù)是 ．
5．(全國聯(lián)賽題)設平方數(shù)y2是11個連續(xù)整數(shù)的平方和，則y的最小值是 ．
6．(北京市競賽，初二)p是負整數(shù)，且2001+p是?個完全平方數(shù)，則p的最大值為 ．
7．有若干名戰(zhàn)士，恰好組成一個八列長方形隊列．若在隊列中再增加120人或從隊列中減去120人后，都能 組成一個正方形隊列．問原長方形隊列共有多少名戰(zhàn)士?
8．證明： 是一個完全平方數(shù)．


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