1．三角形的不等關系是研究許多幾何不等問題的基礎，這種不等關系分為兩類：一類是在同一三角形中進行比較；一類是在兩個三角形中比較．這里主要 方法是把要比較的邊或角如何轉(zhuǎn)化到同一個三角形或適當安排在兩個三角形之中．
2．在同一個三角形中有關邊或角不等關系的證明，常有以下定理：
(1)三角形任何兩邊之和大于第三邊．
(2)三角形任何兩邊之差小于第三邊．
(3)三角形的一個外角大于任 何一個與它不相鄰的內(nèi)角．
(4)同一三角形中大邊對大角．
(5)同一三角形中大角對大邊．
例題求解
【例1】 如圖19-2，在等腰梯形ABCD中，A∥BC，AB=CD，E、F分別在AB、CD上且AE=CF．求證： ．
思路點撥 如圖所示，延長AD至D1使DD1=BC，延長BC至Cl，使CCl =AD，連結ClDl，則ABC1Dl是平行四邊形，ABCD和CDDlCl是兩個全等的梯形，在D1C1上取一點G使D1G=AE，連結FG和EG．
由AE=CF，則EF=FG，又EG=AD1=AD+BC，
∴ 2EF=EF+FG≥EG=A D+BC．
即 ．
注 當且僅當點F落在EG上時，即E為AB的中點時，結論中的等號成立．證明這類不等式的一個常用方法是能過添加輔助線，把要比較大小的線段或角集中到一個三角形中，或者適當?shù)匕才旁趦蓚�三角形中，以便應用上述基本不等式關系．
【例2】 如圖19-3，△ABC中，AB>AC，BE、CF是中線，求證：B E>CF．
思路點撥 將BE、CE分別平移到 FG、FD，則四邊形EFDC為平行四邊形，作FH⊥BC于H．
∴AB>AC，且F，E分別為AB、AC的中點，∴ FB>CE．
∴ FB>FD，由勾股定理得：HB>HD，即FB>FD．
又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH，
即GH>CH， ∴ GF>CF． 即 BE>CF．
【例3】 如圖19-4，在等腰△ABC中，AB=AC，D為形內(nèi)一點，∠ADC>∠ADB，
求證：DB>DC．
思路點撥 把△ABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)△BAC
至△ACD′，連接DD′，則AD=AD'．
∴∠ADD′ =∠AD′D，而∠ADC>∠ADB，
∴ ∠ADC>∠AD′C，
∴ ∠ADD′+∠D′DC>∠AD′D+∠CD′D
∴ ∠D'DC>∠DD'C．
∴ CD′>DC，即DB>DC．
注 幾何圖形在平移、對稱、旋轉(zhuǎn)變換中，只是圖形位置發(fā)生變化，而線段的長度、角的大小不變．
【例4】 如圖19-5，在△ABC 中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，且2 b < a +c，求證：2∠B<∠A+∠C．
思路點撥 延長BA到D，使AD=BC= a，延長BC到E，使CE=AB=，連結DE，
這就把圖形補成一個等腰三角形，即有BD=BE= a + c．
∴∠BDE=∠BED．
作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，連結EF，則ADFC是平行四邊形．
∴CF=AD=BC．
又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA
∴ EF=AC= b．
于是 DE≤DF+EF=2 b < a+c=BD=BE．
這樣，在△BDE中，便有∠B<∠BDE=∠BED
∴ ∠2B<∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，
即2∠B<∠A+∠C．
【例5】 過三角形的重心任作一直線，把這個三角形分成兩部分，求證：這兩部分面積之差不大于整個三角形面積的 ．
思路點撥 如圖19-6，設△ABC重心為，過點G分別作各邊的平行線與各邊交點依次為A1、B1、B2、C1、C2、A2
連結A1A2；B1B2、C1C2，
∵ 三角形重心到一個頂點的距離等于它到對邊中點距離的二倍，
∴ A1A=A1Bl=B1B， BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A．
∵ A1A2∥BC，B1B2∥AC，C1C2∥AB，
∴ 圖中的9個三角形全等．
即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌…≌△C2ClC．
所以上述9個小三角形的面積均等于△ABC面積的 ．
若過點C作的直線恰好與直線A1C1、B1C2、B2A2重合，則△ABC被分成的兩部分的面積之差等于一個小三角形的面積，即等于△ABC面積的 ．
若過點C作的直線不與直線A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，設此直線交AC于F，交AB于E，交C1C2于D，
∵ GBl=GC2，∠EB1G=∠DC2C，∠B1GE=∠C2GD，
∴ △B1GE≌△C2GD．
∴ EF分△ABC成兩部分的面積之差等于 ，
而這個差的絕對值不會超過S△C1C2C的面積．
從而EF分△ABC成兩部分的面積之差不大于△ABC面積的 ．
綜上所述：過三角形重心的任一直線分三角形成兩部分的面積之差不大于整個三角形面積的 ．
【例6】 如圖19-12，在△ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在A B上，求證： ．
思路點撥 易想到作△ABC和△PQR的高，將三角形的面積比化成線段的乘積比，并利用平行線截線段成比例定理，把其中兩條高的比轉(zhuǎn)換成三角形邊上 線段的比．
如圖19-12，作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，則 ．
不妨設△ABC的周長為1，則PQ= ，AB< ，
∴ ．
∵AP≤AP+BQ=AB—PQ< ，
∴AR= —AP> － ．
又AC< ，從而 ，∴ ．
【例7】 (2000年江蘇省初三競賽題)如圖19-13，四邊形A BCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠APD=120°．
證明：PA+PD+PC≥BD．
思路點撥 在四邊形ABCD外側作等邊三角形AB′D，由∠APD=120°可證明B'P=AP+PD．易知B' C≥PB'+PC．得B' C≤AP+PD+PC．下證BD= B'C．
∵△AB'D是等邊三角形，∴ AB'=AD，∠B'AD=60°，又易知△ABC是等邊三角形，故AC=AB，∠BAC=60°，于是△AB'C≌△ADB，∴ B'C= DB．
【例8】 設 、 、 是銳角△ABC三邊上的高，求證： ．
思路點撥 如圖19-14， 在Rt△ADC中，由于AC>AD，故 ，
同理可證 ，
∴ ，即 ①
設△ABC的垂心為H點，
由于HA+HB>AB，HB+HC>BC，HC+HA>AC，即HA+HB+HC> ．
從而 ， 即 ②
由①、②得 ．
學歷訓練
（A級）
1．在△ABC中，AD為中線，AB=7，AC=5，則AD的取值范圍為 ．
2．(安徽省數(shù)學競賽)已知在△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，且2∠B=5∠A，則AB的敢值范圍是 ．
3．(太原市初中數(shù)學競賽試題)用長度相等的100根火柴棍，擺放成一個三角形，使最大邊的長度是最小邊長度的3倍，求滿足此條件的每個三角形的各邊所用火柴棍的根數(shù) ．
4．(全國高中理科試驗班招生數(shù)學試題)面積為1的三角形中，三邊長分別為a、b、c，且滿足a≤b≤c，則a+b的最小值是 ．
5． (江蘇數(shù)學競賽培訓題)在任意△ABC中，總存在一個最小角α，則這個角α的取值范圍為 ．
（B級）
1．如圖19-16，△ABC中，E、F分別為AC、AB上任一點，BE、CF交于P，求證：PE+PF
3．如圖19-18，矩形ABCD中，E、F別是AB、CD上的點，求證：EF
5．如圖19-19，在△ABC中，∠B=2∠C，求證：AC<2AB．
6．平面上有n個點，其中任意三點構成一個直角三角形，求n的最大值．
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