第二十七章圓章末測試（一）

                                  總分120分120分鐘       
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．如圖，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，則∠CAD的度數等于（　�。�
 
A．15° B．20° C．25° D．30°

2．從下列直角三角板與圓弧的位置關系中，可判斷圓弧為半圓的是（　�。�
A．  B．  C．  D．

3．兩圓的半徑分別為2cm，3cm，圓心距為2cm，則這兩個圓的位置關系是（　�。�
A．外切 B．相交 C．內切 D．內含

4．如圖，當半徑分別是5和r的兩圓⊙O1和⊙O2外切時，它們的圓心距O1O2=8，則⊙O2的半徑r為（　�。�
 
A．12 B．8 C．5 D．3

5．圓錐體的底面半徑為2，側面積為8π，則其側面展開圖的圓心角為（　　）
A．90° B．120° C．150° D．180°

6．已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長為5cm，則這個圓錐的側面積是（　�。�
A．20πcm2 B．20cm2 C．40πcm2 D．40cm2

7．如圖，⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為（　　）
 
A．   B．   C．   D． 

8．如圖，某同學用一扇形紙板為一個玩偶制作一個圓錐形帽子，已知扇形半徑OA=13cm，扇形的弧長為10πcm，那么這個圓錐形帽子的高是（　�。ヽm．（不考慮接縫）
 
A．5 B．12 C．13 D．14
二．填空題（共6小題，每題3分）
9．如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r=2cm，扇形的圓心角θ=120°，則該圓錐的母線長l為　_________　cm．
 

10．如圖，在一張正方形紙片上剪下一個半徑為r的圓形和一個半徑為R的扇形，使之恰好圍成圖中所示的圓錐，則R與r之間的關系是　_________�。�
 

11．已知⊙O1與⊙2外切，圓心距為7cm，若⊙O1的半徑為4cm，則⊙O2的半徑是　_________　cm．

12．如圖，⊙A與⊙B外切于⊙O的圓心O，⊙O的半徑為1，則陰影部分的面積是　_________�。�
 

13．如圖，已知A、B、C三點都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=　_________�。�
 

14．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B=　_________　度．
 
三．解答題（共10小題）
15．（6分）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大�。�
（2）求弦BD的長．
 

16（6分）．如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，AB⊥CD，⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F．
（1）求證：CD∥BF；
（2）若⊙O的半徑為5，cos∠BCD=0.8，求線段AD與BF的長．
 

17．（6分）如圖，平面直角坐標系中，以點C （2， ）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于A，B兩點．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）若二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A，B，試確定此二次函數的解析式．
 

 

 

 

18．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，OF⊥AC于點F，
（1）請?zhí)剿鱋F和BC的關系并說明理由；
（2）若∠D=30°，BC=1時，求圓中陰影部分的面積．（結果保留π）
 

19（8分）．如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為點E，AO=1．
（1）求∠C的大�。�
（2）求陰影部分的面積．
 

20．（8分）已知：AB是⊙O的直徑，直線CP切⊙O于點C，過點B作BD⊥CP于D．
（1）求證：△ACB∽△CDB；
（ 2）若⊙O的半徑為1，∠BCP=30°，求圖中陰影部分的面積．
 

21．（8分）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點恰好為BC的中點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
 

 

 

22（8分）．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D點，連接CD．
（1）求證：∠A=∠BCD；
（2）若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時 ，直線DM與⊙O相切？并說明理由．
 

23（10分）．如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為 ，OP=1，求BC的長．
 

24．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
 
 

第二十七章圓章末測試（一）
參考答案與試題解析

一．選擇題（共8小題）
1．如圖，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，則∠CAD的度數等于（　�。�
 
A． 15° B．20° C．25° D． 30°

考點： 圓周角定理；垂徑定理．
專題： 計算題．
分析： 由在⊙O中，OD⊥BC，根據垂徑定理的即可求得： = ，然后利用圓周角定理求解即可求得答案．
解答： 解：∵在⊙O中，OD⊥BC，
∴ = ，
∴∠CAD= ∠BOD= ×60°=30°．
故選：D．
點評： 此題考查了圓周角定理以及垂徑定理．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．

2．從下列直角三角板與圓弧的位置關系中，可判斷圓弧為半圓的是（　�。�
A．       B．  C．  D． 

考點： 圓周角定理．
分析： 根據圓周角定理（直徑所對的圓周角是直角）求解， 即可求得答案．
解答： 解：∵直徑所對的圓周角等于直角，
∴從下列直角三角板與圓弧的位置關系中，可判斷圓弧為半圓的是B．
故選：B．
點評： 此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用．

3．兩圓的半徑分別為2cm，3cm，圓心距為2cm，則這兩個圓的位置關系是（　�。�
A． 外切 B．相交 C．內切 D． 內含

考點： 圓與圓的位置關系．
分析： 由兩個圓的半徑分別是3cm和2cm，圓心距為2cm，根據兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關系．
解答： 解：∵兩個圓的半徑分別是3cm和2cm，圓心距為2cm，
又∵3+2=5，3?2=1，1＜2＜5，
∴這兩個圓的位置關系是相交．
故選：B．
點評： 此題考查了圓與圓的位置關系．注意掌握兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯(lián)系是解此題的關鍵．

4．如圖，當半徑分別是5和r的兩圓⊙O1和⊙O2外切時，它們的圓心距O1O2=8，則⊙O2的半徑r為（　�。�
 
A． 12 B．8 C．5 D． 3

考點： 圓與圓的位置關系．
分析： 根據兩圓外切時，圓心距=兩圓半徑的和求解．
解答： 解：根據兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑之和，得該圓的半徑是8?5=3．
故選：D．
點評： 本題考查了圓與圓的位置關系，注意：兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑之和．

5．圓錐體的底面半徑為2，側面積為8π，則其側面展開圖的圓心角為（　　）
A． 90° B．120° C．150° D． 180°

考點： 圓錐的計算．
專題： 計算題．
分析： 設圓錐的側面展開圖的圓心角為n°，母線長為R，先根據錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式得到 •2π•2•R=8π，解得R=4，然后根據弧長公式得到 =2•2π，再解關于n的方程即可．
解答： 解：設圓錐的側面展開圖的圓心角為n°，母線長為R，
根據題意得 •2π•2•R=8π，解得R=4，
所以 =2•2π，解得n=180，
即圓錐的側面展開圖的圓心角為180°．
故選：D．
點評： 本題考查了圓錐的計算：錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．

6．已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長為5cm，則這個圓錐的側面積是（　�。�
A． 20πcm2 B．20cm2 C．40πcm2 D． 40cm2

考點： 圓錐的計算．
專題： 計算題．
分析： 圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2，把相應數值代入即可求解．
解答： 解：圓錐的側面積=2π×4×5÷2=20π．
故選：A．
點評： 本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是弄清圓錐的側面積的計算方法，特別是圓錐的底面周長等于圓錐的側面扇形的弧長．

7．如圖，⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為（　　）
 
A．    B．   C．   D．  

考點： 正多邊形和圓．
專題： 壓軸 題．
分析： 由于六邊形ABCDEF是正六邊形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2，設點G為AB與⊙O的切點，連接OG，則OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根據S陰影=S△OAB?S扇形OMN，進而可得出結論．
解答： 解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2，
設點G為AB與⊙O的切點，連接OG，則OG⊥AB，
∴OG=OA•sin60°=2× = ，
∴S陰影=S△OAB?S扇形OMN= ×2× ? = ? ．
故選A．
 
點評： 本題考查的是正多邊形和圓，根據正六邊形的性質求出△OAB是等邊三角形是解答此題的關鍵．

8．如圖，某同學用一扇形紙板為一個玩偶制作一個圓錐形帽子，已知扇形半徑OA=13cm，扇形的弧長為10πcm，那么這個圓錐形帽子的高是（　�。ヽm．（不考慮接縫）
 
A． 5 B．12 C．13 D． 14

考點： 圓錐的計算．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 首先求得圓錐的底面半徑，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可．
解答： 解：先求底面圓的半徑，即2πr=10π，r=5cm，
∵扇形的半徑13cm，
∴圓錐的高= =12cm．
故選：B．
點評： 此題主要考查圓錐的側面展開圖和勾股定理的應用，牢記有關公式是解答本題的關鍵，難度不大．

二．填空題（共6小題）
9．如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r=2cm，扇形的圓心角θ=120°，則該圓錐的母線長l為　6　cm．
 

考點： 圓錐的計算．
分析： 易得圓錐的底面周長，也就是側面展開圖的弧長，進而利用弧長公式即可求得圓錐的母線長．
解答： 解：圓錐的底面周長=2π×2=4πcm，
設圓錐的母線長為R，則： =4π，
解得R=6．
故答案為：6．
點評： 本題考查了圓錐的計算，用到的知識點為：圓錐的側面展開圖的弧長等于底面周長；弧長公式為： ．

10．如圖，在一張正方形紙片上剪下一個半徑為r的圓形和一個半徑為R的扇形，使之恰好圍成圖中所示的圓錐，則R與r之間的關系是　R=4r�。�
 

考點： 圓錐的計算．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 利用圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長，根據弧長公式計算．
解答： 解：扇形的弧長是： = ，
圓的半徑為r，則底面圓的周長是2πr，
圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長則得到： =2πr，
∴ =2r，
即：R=4r，
r與R之間的關系是R=4r．
故答案為：R=4r．
點評： 本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵．

11．已知⊙O1與⊙2外切，圓心距為7cm，若⊙O1的半徑為4cm，則⊙O2的半徑是　3　cm．

考點： 圓與圓的位置關系．
分析： 根據兩圓外切時，圓心距=兩圓半徑的和求解．
解答： 解：根據兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑之和，得該圓的半徑是7?4=3cm．
故答案為：3．
點評： 本題考查了圓與圓的位置關系，注意：兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑之和．

12．如圖，⊙A與⊙B外切于⊙O的圓心O，⊙O的半徑為1，則陰影部分的面積是　 ? �。�
 

考點： 圓與圓的位置關系；扇形面積的計算．
專題： 壓軸題．
分析： 陰影部分的面積等于⊙O的面積減去4個弓形ODF的面積即可．
解答： 解：如圖，連接DF、DB、FB、OB，
∵⊙O的半徑為1，
∴OB=BD=BF=1，
∴DF= ，
∴S弓形ODF=S扇形BDF?S△BDF= ? × × = ? ，
∴S陰影部分=S⊙O?4S弓形ODF=π?4×（ ? ）= ? ．
故答案為： ．
 
點評： 本題考查了圓與圓的位置關系，解題的關鍵是明確不規(guī)則的陰影部分的面積如何轉化為規(guī)則的幾何圖形的面積．

13．如圖，已知A、B、C三點都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=　30°�。�
 

考點： 圓周角定理．
分析： 由∠ACB是⊙O的圓周角，∠AOB是圓心角，且∠AOB=60°，根據圓周角定理，即可求得圓周角∠ACB的度數．
解答： 解：如圖，∵∠AOB=60°，
∴∠ACB= ∠AOB=30°．
故答案是：30°．
點評： 此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用．

14．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形， 如果∠AOC=100°，那么∠B=　50　度．
 

考點： 圓周角定理．
專題： 計算題．
分析： 直接根據圓周角定理求解．
解答： 解：∠B= ∠AOC= ×100°=50°．
故答案為 ：50．
點評： 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

三．解答題（共10小題）
15．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大�。�
（2）求弦BD的長．
 

考點： 圓周角定理；垂徑定理．
分析： （1）先根據三角形外角的性質求出∠C的度數，由圓周角定理即可得出結論；
（2）過點O作O E⊥BD于點E，由垂徑定理可知BD=2BE，再根據直角三角形的性質可求出BE的長，進而得出結論．
解答： 解：（1）∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，
∴∠C=80°?50°=30°，
∴∠ABD=∠C=30°；

（2）過點O作OE⊥BD于點E，則BD=2BE，
∵∠ABD=30°，OB=5cm，
∴BE=OB•cos30°=5× = cm，
∴BD=2BE=5 cm．
 
點評： 本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等是解答此題的關鍵．

16．如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，AB⊥CD，⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F．
（1）求證：CD∥BF；
（2）若⊙O的半徑為5，cos∠BCD=0.8，求線段AD與BF的長．
 

考點： 圓周角定理；解直角三角形．
分析： （1）由BF是圓O的切線，AB是圓O的直徑，可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可證得CD∥BF；
（2）由圓周角定理可證得∠BAD=∠BCD，然后利用三角函數的性質求得答案．
解答： （1）證明：∵BF是圓O的切線，AB是圓O的直徑，
∴BF⊥AB．
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF；

（2）解：∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴cos∠BAD=cos∠BCD=0.8，
在Rt△ABD中，AB=10，cos∠BAD= ，
∴AD=AB•cos∠BAD=10×0.8=8，
在Rt△ABF中，AB=10，cos∠BAF= ，
∴ ，
 ．
點評： 此題考查了圓周角定理、切線的性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握數 形結合思想的應用．

17．如圖，平面直角坐標系中，以點C（2， ）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于A，B兩點．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）若二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A，B，試確定此二次函數的解析式．
 

考點： 垂徑定理；待定系數法求二次函數解析式；勾股定理．
專題： 計算題．
分析： （1）連接AC，過點C作CM⊥x軸于點M，根據垂徑定理得MA=MB；由C點坐標得到OM=2，CM= ，再根據勾股定理可計算出AM，可計算出OA、OB，然后寫出A，B兩點的坐標；
（2）利用待定系數法求二次函數的解析式．
解答： 解：（1）過點C作CM⊥x軸于點M，則MA=MB，連結AC，如圖
∵點C的坐標為（2， ），
∴OM=2，CM= ，
在Rt△ACM中，CA=2，
∴AM= =1，
∴OA=OM?AM=1，OB=OM+BM=3，
∴A點坐標為（1，0），B點坐標為（3，0）；

（2）將A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得
 ，
解得 ．
所以二次函數的解析式為y=x2?4x+3．
 
點評： 本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的�。� 也考查了勾股定理和待定系數法求二次函數的解析式．

18．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，OF⊥AC于點F，
（1）請?zhí)剿鱋F和BC的關系并說明理由；
（2）若∠D=30°，BC=1時，求圓中陰影部分的面積．（結果保留π）
 

考點： 垂徑定理；三角形中位線定理；圓周角定理；扇形面積的計算．
分析： （1）先根據垂徑定理得出AF=CF，再根據AO=BO得出OF是△ABC的中位線，由三角形的中位線定理即可得出結論；
（2）連接OC，由（1）知OF= ，再根據直角三角形的性質得出AB及AC的長，根據扇形的面積公式求出扇形AOC的度數，根據S陰影=S扇形AOC?S△AOC即可得出結論．
解答： 解：（1）OF∥BC，OF= BC．
理由：由垂徑定理得AF=CF．
∵AO=BO，
∴OF是△ABC的中位線．
∴OF∥BC，OF= BC．

（2）連接OC．由（1）知OF= ．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵∠D=30°，
∴∠A=30°．
∴AB=2BC=2．
∴AC= ．
∴S△AOC= ×AC×OF= ．
∵∠AOC=120°，OA=1，
∴S扇形AOC= = ．
∴S陰影=S扇形AOC?S△AOC= ? ．
 
點評： 本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．

19．如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為點E，AO=1．
（1）求∠C的大��；
（2）求陰影部分的面積．
 

考點： 垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系；扇形面積的計算．
分析： （1）根據垂徑定理可得 = ，∠C= ∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度數．
（2）連接OB，根據（1）可求出∠AOB=120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根據S陰影=S扇形OAB?S△OAB，即可得出答案．
解答： 解：（1）∵CD是圓O的直徑，CD⊥AB，
∴ = ，
∴∠C= ∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C= ∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠C=30°．

（2）連接OB，
由（1）知，∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，
∴AF= ，OF= ，
∴AB= ，
∴S陰影=S扇形OADB?S△OAB= ? × × = π? ．
 
點評： 本題考查了垂徑定理及扇形的面積計算，解答本題的關鍵是利用解直角三角形的知識求出∠C、∠AOB的度數，難度一般．

20．已知：AB是⊙O的直徑，直線CP切⊙O于點C，過點B作BD⊥CP于D．
（1）求證：△ACB∽△CDB；
（2）若⊙O的半徑為1，∠BCP=30°，求圖中陰影部分的面積．
 
考點： 切線的性質；扇形面積的計算；相似三角形的判定與性質．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）由CP是⊙O的切線，得出∠BCD=∠BAC，AB是直徑，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出結論△ACB∽△CDB；
（2）求出△OCB是正三角形，陰影部分的面積=S扇形OCB?S△OCB= π? ．
解答： （1）證明：如圖，連接OC，
 
∵直線CP是⊙O的切線，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠BCD=∠ACO，
又∵∠BAC=∠ACO，
∴∠BCD=∠BAC，
又∵BD⊥CP
∴∠CDB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°
∴△ACB∽△CDB；
（2）解：如圖，連接OC，
 
∵直線CP是⊙O的切線，∠BCP=30°，
∴∠COB=2∠BCP=60°，
∴△OCB是正三角形，
∵⊙O的半徑為1，
∴S△OCB= ，S扇形OCB= = π，
故陰影部分的面積=S扇形OCB?S△OCB= π? ．
點評： 本題主要考查了切線的性質及扇形面積，三角形的面積，解題的關鍵是利用弦切角找角的關系．

21．如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點恰好為BC的中點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．
 

考點： 切線的性質．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）連接OD，可以證得DE⊥OD，然后證明OD∥AC即可證明DE⊥AC；
（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE與CE的比值即可．
解答： （1）證明：連接OD，
∵D是BC的中點，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；

（2）解：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，
∴∠ADE=∠DCE
在△ADE和△CDE中，
 
∴△CDE∽△DAE，
∴ ，
設tan∠ACB=x，CE=a，則DE=ax，AC=3ax，AE=3ax?a，
∴ ，整理得：x2?3x+1=0，
解得：x= ，
∴tan∠ACB= 或 ．
 
點評： 本題主要考查了切線的性質的綜合應用，解答本題的關鍵在于如何利用三角形相似求出線段DE與CE的比值．

22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D點，連接CD．
（1）求證：∠A=∠BCD；
（2）若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由．
 

考點： 切線的判定．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）根據圓周角定理可得∠ADC =90°，再根據直角三角形的性質可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB =∠A；
（2）當MC=MD時，直線DM與⊙O相切，連接DO，根據等等邊對等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根據∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，進而證得直線DM與⊙O相切．
解答： （1）證明：∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠DCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠DCB=∠A；

（2）當MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切；
解：連接DO，
∵DO=CO，
∴∠1=∠2，
∵DM=CM，
∴∠4=∠3，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴直線DM與⊙O相切，
故當MC=MD（或點M是BC的中點 ）時，直線DM與⊙O相切．
 
點評： 此題主要考查了切線的判定，以及圓周角定理，關鍵是掌握切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

23如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為 ，OP=1，求BC的長．
 

考點： 切線的判定．
專題： 幾何圖形問題．
分析： （1）由垂直定義得∠A+∠APO=90°，根據等腰三角形的性質由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根據對頂角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根據切線的判定定理得到BC是⊙O的切線；
（2）設BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據勾股定理得到（ ）2+x2=（x+1）2，然后解方程 即可．
解答： （1）證明 ：連接OB，如圖，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP=90°，
∴∠A+∠APO=90°，
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APO，
∴∠APO=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：設BC=x，則PC=x，
在Rt△OBC中，OB= ，OC=CP+OP=x+1，
∵OB2+BC2=OC2，
∴（ ）2+x2=（x+1）2，
解得x=2，
即BC的長為2．
 
點評： 本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理．

24．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
 

考點： 扇形面積的計算；垂徑定理．
分析： （1）在△OCE中，利用三角函數即可求得CE，OE的長，再根據垂徑定理即可求得CD的長；
（2）根據半圓的面積減去△ABC的面積，即可求解．
解答： 解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE= OC=1，
∴CE= OC= ，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD= ；

（2）∵S△ABC= AB•EC= ×4× =2 ，
∴ ．
點評： 本題主要考查了垂徑定理以及三角函數，一些不規(guī)則的圖形的面積可以轉化為規(guī)則圖形的面積的和或差求解．

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