福建省三明市2013年中考數(shù)學試卷
一、（共10題，每題4分，滿分40分，每題只有一個正確選項，請在答題卡的相應位置填涂）
1．（4分）（2013?三明）?6的絕對值是（　�。�
　A．?6B．? C． D．6
考點：絕對值．
分析：根據(jù)絕對值的定義求解．
解答：解：?6=6．
故選D．
點評：本題考查了絕對值的定義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．
　
2．（4分）（2013?三明）三明市地處福建省中西部，面積為22900平方千米，將22900用科學記數(shù)法表示為（　　）
　A．229×102B．22.9×103C．2.29×104D．0.229×105
考點：科學記數(shù)法―表示較大的數(shù)．
分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
解答：解：將22900用科學記數(shù)法表示為2.29×104．
故選C．
點評：此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
3．（4分）（2013?三明）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：軸對稱圖形．
分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解答：解：A、不是軸對稱圖形，故本選項正確；
B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
D、是軸對稱圖形，故本選項錯誤．
故選A．
點評：本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
　
4．（4分）（2013?三明）計算 ? 的結(jié)果是（　　）
　A．1B．?1C．0D．a(chǎn)?5
考點：分式的加減法．
專題：．
分析：原式利用同分母分式的減法法則計算即可得到結(jié)果．
解答：解：原式=
=1．
故選A
點評：此題考查了分式的加減法，分式的加減運算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡公分母．
　
5．（4分）（2013?三明）如圖，直線a∥b，三角板的直角頂點在直線a上，已知∠1=25°，則∠2的度數(shù)是（　�。�
　A．25°B．55°C．65°D．155°
考點：平行線的性質(zhì)．
分析：先根據(jù)平角等于180°求出∠3，再利用兩直線平行，同位角相等解答．
解答：解：∵∠1=25°，
∴∠3=180°?90°?25°=65°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=65°．
故選C．
點評：本題考查了兩直線平行，同位角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
　
6．（4分）（2013?三明）如圖，A、B、C是⊙O上的三點，∠AOC=100°，則∠ABC的度數(shù)為（　�。�
　A．30°B．45°C．50°D．60°
考點：圓周角定理．
分析：根據(jù)同弧所對圓心角是圓周角2倍可求，∠ABC= ∠AOC=50°．
解答：解：∵∠AOC=100°，
∴∠ABC= ∠AOC=50°．
故選C．
點評：此題主要考查圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
　
7．（4分）（2013?三明）如圖是由五個完全相同的小正方體組成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（　　）
　A． B． C． D．
考點：簡單組合體的三視圖．
分析：找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在主視圖中．
解答：解：從正面看易得第一層有3個正方形，第二層最右邊有一個正方形．
故選D．
點評：本題考查了三視圖的知識，屬于基礎題，注意主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
　
8．（4分）（2013?三明）為了解某小區(qū)家庭垃圾袋的使用情況，小亮隨機調(diào)查了該小區(qū)10戶家庭一周的使用數(shù)量，結(jié)果如下（單位：個）：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是（　�。�
　A．極差是7B．眾數(shù)是8C．中位數(shù)是8.5D．平均數(shù)是9
考點：極差；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．3718684
分析：根據(jù)極差、眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的定義，依次計算各選項即可作出判斷．
解答：解：A、極差=14?7=7，結(jié)論正確，故本選項錯誤；
B、眾數(shù)為7，結(jié)論錯誤，故本選項正確；
C、中位數(shù)為8.5，結(jié)論正確，故本選項錯誤；
D、平均數(shù)是8，結(jié)論正確，故本選項錯誤；
故選B．
點評：本題考查了極差、平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的知識，屬于基礎題，掌握各部分的定義及計算方法是解題關(guān)鍵．
　
9．（4分）（2013?三明）如圖，已知直線y=mx與雙曲線y= 的一個交點坐標為（3，4），則它們的另一個交點坐標是（　�。�
　A．（?3，4）B．（?4，?3）C．（?3，?4）D．（4，3）
考點：反比例函數(shù)圖象的對稱性．
分析：反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則與經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱．
解答：解：因為直線y=mx過原點，雙曲線y= 的兩個分支關(guān)于原點對稱，
所以其交點坐標關(guān)于原點對稱，一個交點坐標為（3，4），另一個交點的坐標為（?3，?4）．
故選：C．
點評：此題考查了函數(shù)交點的對稱性，通過數(shù)形結(jié)合和中心對稱的定義很容易解決．
　
10．（4分）（2013?三明）如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，動點P從點C出發(fā)，沿DC方向勻速運動到終點C．已知P，Q兩點同時出發(fā)，并同時到達終點，連接OP，OQ．設運動時間為t，四邊形OPCQ的面積為S，那么下列圖象能大致刻畫S與t之間的關(guān)系的是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：動點問題的函數(shù)圖象．
分析：作OE⊥BC于E點，OF⊥CD于F點設BC=a，AB=b，點P的速度為x，點F的速度為y，則CP=xt，DQ=yt，CQ=b?yt，根據(jù)矩形和中位線的性質(zhì)得到OE= b，OF= a，根據(jù)P，Q兩點同時出發(fā)，并同時到達終點，則 = ，即ay=bx，然后利用S=S△OCQ+S△OCP= ? a?（b?yt）+ ? b?xt，再整理得到S= ab（0＜t＜ ），根據(jù)此解析式可判斷函數(shù)圖象線段（端點除外）．
解答：解：作OE⊥BC于E點，OF⊥CD于F點，如圖，設BC=a，AB=b，點P的速度為x，點F的速度為y，
則CP=xt，DQ=yt，所以CQ=b?yt，
∵O是對角線AC的中點，
∴OE= b，OF= a，
∵P，Q兩點同時出發(fā)，并同時到達終點，
∴ = ，即ay=bx，
∴S=S△OCQ+S△OCP
= ? a?（b?yt）+ ? b?xt
= ab? ayt+ bxt
= ab（0＜t＜ ），
∴S與t的函數(shù)圖象為常函數(shù)，且自變量的范圍為0＜t＜ ）．
故選A．
點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：先根據(jù)幾何性質(zhì)得到與動點有關(guān)的兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)畫出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍．
　
二、題（共6題，每題4分，滿分24分．請將答案填在答題卡的相應位置）
11．（4分）（2013?三明）分解因式：x2+6x+9=　（x+3）2�。�
考點：因式分解-運用公式法．3718684
分析：直接用完全平方公式分解即可．
解答：解：x2+6x+9=（x+3）2．
點評：本題考查了公式法分解因式，熟記完全平方公式法的結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)鍵．
　
12．（4分）（2013?三明） 如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的條件是　答案不唯一，如：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等�。�
考點：平行四邊形的判定．
專題：開放型．
分析：已知AB∥CD，可根據(jù)有一組邊平行且相等的四邊形是平行四邊形來判定，也可根據(jù)兩組分別平行的四邊形是平行四邊形來判定．
解答：解：∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴可添加的條件是：AB=DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
故答案為：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等．
點評：此題主要考查學生對平行四邊形的判定方法的理解能力，常用的平行四邊形的判定方法有：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
　
13．（4分）（2013?三明）八年級（1）班全體學生參加了學校舉辦的安全知識競賽，如圖是該班學生競賽成績的頻數(shù)分布直方圖（滿分為100分，成績均為整數(shù)），若將成績不低于90分的評為優(yōu)秀，則該班這次成績達到優(yōu)秀的人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是　30%�。�
考點：頻數(shù)（率）分布直方圖．
分析：首先求得總?cè)藬?shù)，確定優(yōu)秀的人數(shù)，即可求得百分比．
解答：解：總?cè)藬?shù)是：5+10+20+15=50（人），優(yōu)秀的人數(shù)是：15人，
則該班這次成績達到優(yōu)秀的人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是： ×100%=30%．
故答案是：30%．
點評：本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
　
14．（4分）（2013?三明）觀察下列各數(shù)，它們是按一定規(guī)律排列的，則第n個數(shù)是　 �。�
， ， ， ， ，…
考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
專題：規(guī)律型．
分析：觀察不難發(fā)現(xiàn)，分母為2的指數(shù)次冪，分子比分母小1，根據(jù)此規(guī)律解答即可．
解答：解：∵2=21，4=22，8=23，16=24，32=25，…
∴第n個數(shù)的分母是2n，
又∵分子都比相應的分母小1，
∴第n個數(shù)的分子為2n?1，
∴第n個數(shù)是 ．
故答案為： ．
點評：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，熟練掌握2的指數(shù)次冪是解題的關(guān)鍵．
　
15．（4分）（2013?三明）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步驟作圖：
①分別以A，B為圓心，以大于 AB的長為半徑做弧，兩弧相交于點P和Q．
②作直線PQ交AB于點D，交BC于點E，連接AE．若CE=4，則AE=　8　．
考點：作圖―復雜作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．
分析：根據(jù)垂直平分線的作法得出PQ是AB的垂直平分線，進而得出∠EAB=∠CAE=30°，即可得出AE的長．
解答：解：由題意可得出：PQ是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠CBA=30°，
∴∠EAB=∠CAE=30°，
∴CE= AE=4，
∴AE=8．
故答案為：8．
點評：此題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形中，30°所對直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)已知得出∠EAB=∠CAE=30°是解題關(guān)鍵．
　
16．（4分）（2013?三明）如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點P（3，2），與反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象交于點Q（m，n）．當一次函數(shù)y的值隨x值的增大而增大時，m的取值范圍是　1＜m＜3�。�
考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
專題：數(shù)形結(jié)合．
分析：過點P分別作y軸與x軸的垂線，分別交反比例函數(shù)圖象于A點和B點，先確定A點與B點坐標，由于一次函數(shù)y的值隨x值的增大而增大，則一次函數(shù)圖象必過第一、三象限，所以Q點只能在A點與B點之間，于是可確定m的取值范圍是1＜m＜3．
解答：解：過點P分別作y軸與x軸的垂線，分別交反比例函數(shù)圖象于A點和B點，如圖，
把y=2代入y= 得x=1；把x=3代入y= 得y= ，
所以A點坐標為（1，2），B點坐標為（3， ），
因為一次函數(shù)y的值隨x值的增大而增大，
所以Q點只能在A點與B點之間，
所以m的取值范圍是1＜m＜3．
故答案為1＜m＜3．
點評：本題考查倆反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．
　
三、解答題（共7題，滿分86分．請將解答過程寫在答題卡的相應位置）
17．（14分）（2013?三明）（1）計算：（?2）2+ ?2sin30°；
（2）先化簡，再求值：（a+2）（a?2）+4（a+1）?4a，其中a= ?1．
考點：整式的混合運算―化簡求值；實數(shù)的運算；特殊角的三角函數(shù)值
分析：（1）原式第一項表示兩個?2的乘積，第二項利用平方根的定義化簡，最后一項利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，計算即可得到結(jié)果；
（2）原式第一項利用平方差公式化簡，第二項利用單項式乘多項式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，將a的值代入計算即可求出值．
解答：解：（1）原式=4+3?2× =4+3?1=6；
（2）原式=a2?4+4a+4?4a=a2，
當a= ?1時，原式=（ ?1）2=2?2 +1=3?2 ．
點評：此題考查了整式的混合運算?化簡求值，以及實數(shù)的運算，涉及的知識有：完全平方公式，平方差公式，單項式乘多項式，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．
　
18．（16分）（2013?三明）（1）解不等式組 并把解集在數(shù)軸上表示出來；
（2）如圖，已知墻高AB為6.5米，將一長為6米的梯子CD斜靠在墻面，梯子與地面所成的角∠BCD=55°，此時梯子的頂端與墻頂?shù)木嚯xAD為多少米？（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題；在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組
分析：（1）先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，然后利用數(shù)軸表示不等式組的解集即可；
（2）在Rt△BCD中，根據(jù)∠BCD=55°，CD=6米，解直角三角形求出BD的長度，繼而可求得AD=AB?BD的長度．
解答：解：（1） ，
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得，x＞?1，
則不等式的解集為：?1＜x≤3，
不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：
；
（2）在Rt△BCD中，
∵∠DBC=90°，∠BCD=55°，CD=6米，
∴BD=CD×sin∠BCD=6×sin55°≈6×0.82=4.92（米），
∴AD=AB?BD≈6.5?4.92=1.58≈1.6（米）．
答：梯子的頂端與墻頂?shù)木嚯xAD為1.6米．
點評：（1）本題考查了解一元一次不等式組的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式組的解法：先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，然后利用數(shù)軸表示不等式組的解集即可；
（2）本題考查了解直角三角形的應用的知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形并利用解直角三角形的知識求解，難度適中．
　
19．（10分）（2013?三明）三張卡片的正面分別寫有數(shù)字2，5，5，卡片除數(shù)字外完全相同，將它們洗勻后，背面朝上放置在桌面上．
（1）從中任意抽取一張卡片，該卡片上數(shù)字是5的概率為　 �。�
（2）學校將組織部分學生參加夏令營活動，九年級（1）班只有一個名額，小剛和小芳都想去，于是利用上述三張卡片做游戲決定誰去，游戲規(guī)則是：從中任意抽取一張卡片，記下數(shù)字放回，洗勻后再任意抽取一張，將抽取的兩張卡片上的數(shù)字相加，若和等于7，小鋼去；若和等于10，小芳去；和是其他數(shù)，游戲重新開始．你認為游戲?qū)﹄p方公平嗎？請用畫樹狀圖或列表的方法說明理由．
考點：游戲公平性；概率公式；列表法與樹狀圖法．3718684
分析：（1）根據(jù)三張卡片的正面分別寫有數(shù)字2，5，5，再根據(jù)概率公式即可求出答案；
（2）根據(jù)題意列出圖表，再根據(jù)概率公式求出和為7和和為10的概率，即可得出游戲的公平性．
解答：解：（1）∵三張卡片的正面分別寫有數(shù)字2，5，5，卡片除數(shù)字外完全相同，
∴從中任意抽取一張卡片，該卡片上數(shù)字是5的概率為： ；
故答案為： ；
（2）根據(jù)題意列表如下：
255
2 （2，2）（4）（2，5）（7）（2，5）（7）
5（5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）
5（5，2）（7）（5，5）（10） （5，5）（10）
∵共有9種可能的結(jié)果，其中數(shù)字和為7的共有4種，數(shù)字和為10的共有4種，
∴P（數(shù)字和為7）= ，P（數(shù)字和為10）= ，
∴P（數(shù)字和為7）=P（數(shù)字和為10），
∴游戲?qū)﹄p方公平．
點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．游戲雙方獲勝的概率相同，游戲就公平，否則游戲不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
20．（10分）（2013?三明）興發(fā)服裝店老板用4500元購進一批某款T恤衫，由于深受顧客喜愛，很快售完，老板又用4950元購進第二批該款式T恤衫，所購數(shù)量與第一批相同，但每件進價比第一批多了9元．
（1）第一批該款式T恤衫每件進價是多少元？
（2）老板以每件120元的價格銷售該款式T恤衫，當?shù)诙�批T恤衫售出 時，出現(xiàn)了滯銷，于是決定降價促銷，若要使第二批的銷售利潤不低于650元，剩余的T恤衫每件售價至少要多少元？（利潤=售價?進價）
考點：分式方程的應用；一元一次不等式的應用．3718684
分析：（1）設第一批T恤衫每件進價是x元，則第二批每件進價是（x+9）元，再根據(jù)等量關(guān)系：第二批進的件數(shù)=第一批進的件數(shù)可得方程；
（2）設剩余的T恤衫每件售價y元，由利潤=售價?進價，根據(jù)第二批的銷售利潤不低于650元，可列不等式求解．
解答：解：（1）設第一批T恤衫每件進價是x元，由題意，得
= ，
解得x=90，
經(jīng)檢驗x=90是分式方程的解，符合題意．
答：第一批T恤衫每件的進價是90元；
（2）設剩余的T恤衫每件售價y元．
由（1）知，第二批購進 =50件．
由題意，得120×50× +y×50× ?4950≥650，
解得y≥80．
答：剩余的T恤衫每件售價至少要80元．
點評：本題考查分式方程、一元一次不等式的應用，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量作為等量關(guān)系列出方程，根據(jù)利潤作為不等關(guān)系列出不等式求解．
　
21．（10分）（2013?三明）如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB．
（1）求證：△BCP≌△DCP；
（2）求證：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=58°，則∠DPE=　58　度．
考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對角線平分一組對角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CBP=∠CDP，根據(jù)等邊對等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論解答．
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE，
∵∠1=∠2（對頂角相等），
∴180°?∠1?∠CDP=180°?∠2?∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC；
（3）解：與（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，
∵∠ABC=58°，
∴∠DPE=58°．
故答案為：58．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出∠BCP=∠DCP是解題的關(guān)鍵．
　
22．（12分）（2013?三明）如圖①，AB是半圓O的直徑，以OA為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個動點（P與點A，O不重合），AP的延長線交半圓O于點D，其中OA=4．
（1）判斷線段AP與PD的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）連接OD，當OD與半圓C相切時，求 的長；
（3）過點D作DE⊥AB，垂足為E（如圖②），設AP=x，OE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．
考點：圓的綜合題．
分析：（1）AP=PD．理由如下：如圖①，連接OP．利用圓周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性質(zhì)證得AP=PD；
（2）由三角形中位線的定義證得CP是△AOD的中位線，則PC∥DO，所以根據(jù)平行線的性質(zhì)、切線的性質(zhì)易求弧AP所對的圓心角∠ACP=90°；
（3）分類討論：點E落在線段OA和線段OB上，這兩種情況下的y與x的關(guān)系式．這兩種情況都是根據(jù)相似三角形（△APO∽△AED）的對應邊成比例來求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式的．
解答：解：（1）AP=PD．理由如下：
如圖①，連接OP．
∵OA是半圓C的直徑，
∴∠APO=90°，即OP⊥AD．
又∵OA=OD，
∴AP=PD；
（2）如圖①，連接PC、OD．
∵OD是半圓C的切線，
∴∠AOD=90°．
由（1）知，AP=PD．
又∵AC=OC，
∴PC∥OD，
∴∠ACP=∠AOD=90°，
∴ 的長= =π；
（3）分兩種情況：
①當點E落在OA上（即0＜x≤2 時），如圖②，連接OP，則∠APO=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△APO∽△AED，
∴ = ．
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4?y，
∴ = ，
∴y=? x2+4（0＜x≤2 ）；
②當點E落在線段OB上（即2 ＜x＜4）時，如圖③，連接OP．
同①可得，△APO∽△AED，
∴ = ．
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，
∴ = ，
∴y= x2+4（2 ＜x＜4）．
點評：本題綜合考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．解答（3）題時，要分類討論，以防漏解．解答幾何問題時，要數(shù)形結(jié)合，使抽象的問題變得形象化，降低題的難度與梯度．
　
23．（14分）（2013?三明）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（?6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點A的對應點為D，拋物線y=ax2?10ax+c經(jīng)過點C，頂點M在直線BC上．
（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點D的坐標；
（2）求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
考點：二次函數(shù)綜合題4
分析：（1）根據(jù)兩點之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質(zhì)可得AB=BD=CD=AC，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得點D的坐標；
（2）根據(jù)對稱軸公式可得拋物線的對稱軸，設M的坐標為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法可求M的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式；
（3）分點P在CD的上面和點P在CD的下面兩種情況，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可求點P的坐標．
解答：（1）證明：∵A（?6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AB=6+4=10，AC= =10，
∴AB=AC，
由翻折可得，AB=BD，AC=CD，
∴AB=BD=CD=AC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∵C（0，8），
∴點D的坐標是（10，8）；
（2）∵y=ax2?10ax+c，
∴對稱軸為直線x=? =5．
設M的坐標為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，
∴ ，
解得 ．
∴y=?2x+8．
∵點M在直線y=?2x+8上，
∴n=?2×5+8=?2．
又∵拋物線y=ax2?10ax+c經(jīng)過點C和M，
∴ ，
解得 ．
∴拋物線的函數(shù)表達式為y= x2?4x+8；
（3）存在．
△PBD與△PCD的面積相等，點P的坐標為P1（ ， ），P2（?5，38）．


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