廣西南寧市中考2013年數(shù)學(xué)試卷
一、（本大題共12小題，每小題3分，共36分）每小題都給出代號（A）、（B）、（C）、（D）四個結(jié)論，其中只有一個是正確的，請考上用2B鉛筆在答題卡上將選定答案標(biāo)號涂黑．
1．（3分）（2013?南寧）在?2，1，5，0這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（　�。�
　A．?3B．1C．5D．0
考點：有理數(shù)大小比較．
分析：根據(jù)有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0； ②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)進(jìn)行比較即可．
解答：解：在?2，1，5，0這四個數(shù)中，
大小順序為：?2＜0＜1＜5，
所以最大的數(shù)是5．
故選C．
點評：本題主要考查了有理數(shù)的大小的比較，解題的關(guān)鍵利用熟練掌握有理數(shù)的大小比較法則，屬于基礎(chǔ)題．
　
2．（3分）（2013?南寧）如圖所示，將平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：點、線、面、體．
分析：根據(jù)半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周形成球即可得出答案．
解答：解：半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周形成球體．
故選：A．
點評：本題考查了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間想象能力．
　
3．（3分）（2013?南寧）2013年6月11日，神舟十號飛船發(fā)射成功，神舟十號飛船身高9米，重約8噸，飛行速度約每秒7900米，將數(shù)7900用科學(xué)記數(shù)法表示，表示正確的是（　�。�
　A．0.79×104B．7.9×104C．7.9×103D．0.79×103
考點：科學(xué)記數(shù)法?表示較大的數(shù)．
分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
解答：解：將7900用科學(xué)記數(shù)法表示為：7.9×103．
故選：C．
點評：此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
4．（3分）（2013?南寧）小樂用一塊長方形硬紙板在陽光下做投影實驗，通過觀察，發(fā)現(xiàn)這塊長方形硬紙板在平整的地面上不可能出現(xiàn)的投影是（　�。�
　A．三角形B．線段C．矩形D．正方形
考點：平行投影．
分析：根據(jù)平行投影的性質(zhì)分別分析得出即可即可．
解答：解：將矩形木框立起與地面垂直放置時，形成的影子為線段；
將矩形木框與地面平行放置時，形成的影子為矩形；
將木框傾斜放置形成的影子為平行四邊形；
由物體同一時刻物高與影長成比例，且矩形對邊相等，故得到的投影不可能是三角形．
故選：A．
點評：本題考查了投影與視圖的有關(guān)知識，是一道與實際生活密切相關(guān)的熱點試題，靈活運用平行投影的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
　
5．（3分）（2013?南寧）甲、乙、丙、丁四名選手參加100米決賽，賽場只設(shè)1、2、3、4四個跑道，選手以隨機(jī)抽簽的方式?jīng)Q定各自的跑道，若甲首先抽簽，則甲抽到1號跑道的概率是（　　）
　A．1B． C． D．
考點：概率公式．
分析：由設(shè)1、2、3、4四個跑道，甲抽到1號跑道的只有1種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵設(shè)1、2、3、4四個跑道，甲抽到1號跑道的只有1種情況，
∴甲抽到1號跑道的概率是： ．
故選D．
點評：此題考查了概率公式的應(yīng)用．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
6．（3分）（2013?南寧）若分式 的值為0，則x的值為（　�。�
　A．?1B．0C．2D．?1或2
考點：分式的值為零的條件．
分析：根據(jù)分式值為零的條件可得x?2=0，再解方程即可．
解答：解：由題意得：x?2=0，且x+1≠0，
解得：x=2，
故選：C．
點評：此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不為零”這個條件不能少．
　
7．（3分）（2013?南寧）如圖，圓錐形的煙囪底面半徑為15cm，母線長為20cm，制作這樣一個煙囪帽所需要的鐵皮面積至少是（　�。�
　A．150πcm2B．300πcm2C．600πcm2D．150πcm2
考點：圓錐的計算．
專題：．
分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，然后根據(jù)扇形的面積公式計算即可．
解答：解：煙囪帽所需要的鐵皮面積= ×20×2π×15=300π（cm2）．
故選B．
點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
　
8．（3分）（2013?南寧）下列各式計算正確的是（　　）
　A．3a3+2a2=5a6B． C．a(chǎn)4?a2=a8D．（ab2）3=ab6
考點：二次根式的加減法；合并同類項；同底數(shù)冪的；冪的乘方與積的乘方．
專題：．
分析：分別根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的法則及冪的乘方與積的乘方法則對各選項進(jìn)行逐一判斷即可．
解答：解：A、3a3與2a2不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；
B、2 + =3 ，故本選項正確；
C、a4?a2=a6，故本選項錯誤；
D、（ab2）3=a3b6，故本選項錯誤．
故選B．
點評：本題考查的是二次根式的加減法，即二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．
　
9．（3分）（2013?南寧）陳老師打算購買氣球裝扮學(xué)�！傲�一”兒童節(jié)活動會場，氣球的種類有笑臉和愛心兩種，兩種氣球的價格不同，但同一種氣球的價格相同，由于會場布置需要，購買時以一束（4個氣球）為單位，已知第一、二束氣球的價格如圖所示，則第三束氣球的價格為（　�。�
　A．19B．18C．16D．15
考點：二元一次方程組的應(yīng)用．
分析：要求出第三束氣球的價格，先求出笑臉形和愛心形的氣球的單價就可以求出結(jié)論．
解答：解：設(shè)笑臉形的氣球x元一個，愛心形的氣球y元一個，由題意，得
，
解得：2x+2y=16．
故選C．
點評：本題考查了學(xué)生觀察能力和識圖能力，列二元一次方程組解實際問題的運用和數(shù)學(xué)整體思想的運用，解答本題時根據(jù)單價×數(shù)量=總價的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．
　
10．（3分）（2013?南寧）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（　�。�
　A．圖象關(guān)于直線x=1對稱B．函數(shù)ax2+bx+c（a≠0）的最小值是?4
　C．?1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個根D．當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大
考點：二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析：根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
解答：解：A、觀察圖象，可知拋物線的對稱軸為直線x=1，則圖象關(guān)于直線x=1對稱，正確，故本選項不符合題意；
B、觀察圖象，可知拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，?4），又拋物線開口向上，所以函數(shù)ax2+bx+c（a≠0）的最小值是?4，正確，故本選項不符合題意；
C、由圖象可知拋物線與x軸的一個交點為（?1，0），而對稱軸為直線x=1，所以拋物線與x軸的另外一個交點為（3，0），則?1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個根，正確，故本選項不符合題意；
D、由拋物線的對稱軸為x=1，所以當(dāng)xx＜1時，y隨x的增大而減小，錯誤，故本選項符合題意．
故選D．
點評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想解題．
　
11．（3分）（2013?南寧）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，且AE=CD=8，∠BAC= ∠BOD，則⊙O的半徑為（　　）
　A．4 B．5C．4D．3
考點：垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．
專題：探究型．
分析：先根據(jù)∠BAC= ∠BOD可得出 = ，故可得出AB⊥CD，由垂徑定理即可求出DE的長，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．
解答：解：∵∠BAC= ∠BOD，
∴ = ，
∴AB⊥CD，
∵AE=CD=8，
∴DE= CD=4，
設(shè)OD=r，則OE=AE?r=8?r，
在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8?r，
∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8?r）2，解得r=5．
故選B．
點評：本題考查的是垂徑定理及圓周角定理，熟知平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．
　
12．（3分）（2013?南寧）如圖，直線y= 與雙曲線y= （k＞0，x＞0）交于點A，將直線y= 向上平移4個單位長度后，與y軸交于點C，與雙曲線y= （k＞0，x＞0）交于點B，若OA=3BC，則k的值為（　�。�
　A．3B．6C． D．
考點：反比例函數(shù)綜合題．
專題：探究型．
分析：先根據(jù)一次函數(shù)平移的性質(zhì)求出平移后函數(shù)的解析式，再分別過點A、B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點F，再設(shè)A（3x， x），由于OA=3BC，故可得出B（x， x+4），再根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy為定值求出x
解答：解：∵將直線y= 向上平移4個單位長度后，與y軸交于點C，
∴平移后直線的解析式為y= x+4，
分別過點A、B作AD⊥x軸，BE⊥x軸，CF⊥BE于點F，設(shè)A（3x， x），
∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x軸，
∴CF= OD，
∵點B在直線y= x+4上，
∴B（x， x+4），
∵點A、B在雙曲線y= 上，
∴3x? x=x?（ x+4），解得x=1，
∴k=3×1× ×1= ．
故選D．
點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)題意作出輔助線，設(shè)出A、B兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)k=xy的特點求出k的值即可．
　
二、題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．（3分）（2013?南寧）若二次根式 有意義，則x的取值范圍是　x≥2�。�
考點：二次根式有意義的條件．
分析：根據(jù)二次根式有意義的條件，可得x?2≥0，解不等式求范圍．
解答：解：根據(jù)題意，使二次根式 有意義，即x?2≥0，
解得x≥2；
故答案為x≥2．
點評：本題考查二次根式的意義，只需使被開方數(shù)大于或等于0即可．
　
14．（3分）（2013?南寧）一副三角板如圖所示放置，則∠AOB=　105　°．
考點：角的計算．
分析：根據(jù)三角板的度數(shù)可得：∠1=45°，∠2=60°，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠AOB=∠1+∠2，進(jìn)而算出角度．
解答：解：根據(jù)三角板的度數(shù)可得：∠1=45°，∠2=60°，
∠AOB=∠1+∠2=45°+60°=105°，
故答案為：105．
點評：此題主要考查了角的計算，關(guān)鍵是掌握角之間的關(guān)系．
　
15．（3分）（2013?南寧）分解因式：x2?25=　（x+5）（x?5）�。�
考點：因式分解-運用公式法．
分析：直接利用平方差公式分解即可．
解答：解：x2?25=（x+5）（x?5）．
故答案為：（x+5）（x?5）．
點評：本題主要考查利用平方差公式因式分解，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．
　
16．（3分）（2013?南寧）某中學(xué)規(guī)定：學(xué)生的學(xué)期體育綜合成績滿分為100分，其中，期中考試成績占40%，期末考試成績占60%，小海這個學(xué)期的期中、期末成績（百分制）分別是80分、90分，則小海這個學(xué)期的體育綜合成績是　86　分．
考點：加權(quán)平均數(shù)．
分析：利用加權(quán)平均數(shù)的公式直接計算．用80分，90分分別乘以它們的百分比，再求和即可．
解答：解：小海這學(xué)期的體育綜合成績=（80×40%+90×60%）=86（分）．
故答案為86．
點評：本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的求法．本題易出現(xiàn)的錯誤是求80、90這兩個數(shù)的平均數(shù)，對平均數(shù)的理解不正確．
　
17．（3分）（2013?南寧）有這樣一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…an，滿足以下規(guī)律： ， （n≥2且n為正整數(shù)），則a2013的值為　?1　（結(jié)果用數(shù)字表示）．
考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
專題：規(guī)律型．
分析：求出前幾個數(shù)便不難發(fā)現(xiàn)，每三個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用過2013除以3，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定答案即可．
解答：解：a1= ，
a2= =2，
a3= =?1，
a4= = ，
…，
依此類推，每三個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
∵2013÷3=671，
∴a2013為第671循環(huán)組的最后一個數(shù)，與a3相同，為?1．
故答案為：?1．
點評：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，根據(jù)計算得到每三個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．
　
18．（3分）（2013?南寧）如圖，在邊長為2的正三角形中，將其內(nèi)切圓和三個角切圓（與角兩邊及三角形內(nèi)切圓都相切的圓）的內(nèi)部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為　 ? π　．
考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．
分析：連接OB，以及⊙O與BC的切點，在構(gòu)造的直角三角形中，通過解直角三角形易求得⊙O的半徑，然后作⊙O與小圓的公切線EF，易知△BEF也是等邊三角形，那么小圓的圓心也是等邊△BEF的重心；由此可求得小圓的半徑，即可得到四個圓的面積，從而由等邊三角形的面積減去四個圓的面積和所得的差即為陰影部分的面積．
解答：解：如圖，連接OB、OD；
設(shè)小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的切點為G；過G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F，
則∠BEF=∠BFE=90°?30°=60°，所以△BEF是等邊三角形．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°，
則OD=BD?tan30°=1× = ，OB=2OD= ，BG=OB?OG= ；
由于⊙P是等邊△BEF的內(nèi)切圓，所以點P是△BEF的內(nèi)心，也是重心，
故PG= BG= ；
∴S⊙O=π×（ ）2= π，S⊙P=π×（ ）2= π；
∴S陰影=S△ABC?S⊙O?3S⊙P= ? π? π= ? π．
故答案為 ? π．
點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相切兩圓的性質(zhì)以及圖形面積的計算方法，難度適中．
　
三、（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
19．（6分）（2013?南寧）計算：20130? +2cos60°+（?2）
考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
分析：分別進(jìn)行零指數(shù)冪、二次根式的化簡，然后代入特殊角的三角函數(shù)值合并即可得出答案．
解答：解：原式=1?3 +2× ?2=?3 ．
點評：本題考查了實數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握零指數(shù)冪的運算法則及一些特殊角的三角函數(shù)值．
　
20．（6分）（2013?南寧）先化簡，再求值： ，其中x=?2．
考點：分式的化簡求值．
專題：計算題．
分析：先算括號里面的，再把除式的分母分解因式，并把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后進(jìn)行約分，最后把x的值代入進(jìn)行計算即可得解．
解答：解：（ + ）÷
= ÷
= ?
=x?1，
當(dāng)x=?2時，原式=?2?1=?3．
點評：本題考查了分式的化簡求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統(tǒng)一為乘法運算．
　
四、本大題共2小題，每小題8分，共16分
21．（8分）（2013?南寧）如圖，△ABC三個定點坐標(biāo)分別為A（?1，3），B（?1，1），C（?3，2）．
（1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以原點O為位似中心，將△A1B1C1放大為原來的2倍，得到△A2B2C2，請在第三象限內(nèi)畫出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．
考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-軸對稱變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于y軸的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）連接A1O并延長至A2，使A2O=2A1O，連接B1O并延長至B2，使B2O=2B1O，連接C1O并延長至C2，使C2O=2C1O，然后順次連接即可，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答．
解答：解：（1）△A1B1C1如圖所示；
（2）△A2B2C2如圖所示，
∵△A1B1C1放大為原來的2倍得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比為 ，
∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（ ）2= ．
點評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵，還利用了相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質(zhì)．
　
22．（8分）（2013?南寧）2013年6月，某中學(xué)結(jié)合廣西中小學(xué)素養(yǎng)評估活動，以“我最喜愛的書籍”為主題，對學(xué)生最喜愛的一種書籍類型進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，收集整理數(shù)據(jù)后，繪制出以下兩幅未完成的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖1和圖2提供的信息，解答下列問題：
（1）在這次抽樣調(diào)查中，一共調(diào)查了多少名學(xué)生？
（2）請把折線統(tǒng)計圖（圖1）補(bǔ)充完整；
（3）求出扇形統(tǒng)計圖（圖2）中，體育部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；
（4）如果這所中學(xué)共有學(xué)生1800名，那么請你估計最喜愛科普類書籍的學(xué)生人數(shù)．
考點：折線統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．
專題：圖表型．
分析：（1）用文學(xué)的人數(shù)除以所占的百分比計算即可得解；
（2）根據(jù)所占的百分比求出藝術(shù)和其它的人數(shù)，然后補(bǔ)全折線圖即可；
（3）用體育所占的百分比乘以360°，計算即可得解；
（4）用總?cè)藬?shù)乘以科普所占的百分比，計算即可得解．
解答：解：（1）90÷30%=300（名），
故，一共調(diào)查了300名學(xué)生；
（2）藝術(shù)的人數(shù)：300×20%=60名，
其它的人數(shù)：300×10%=30名；
補(bǔ)全折線圖如圖；
（3）體育部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為： ×360°=48°；
（4）1800× =480（名）．
答：1800名學(xué)生中估計最喜愛科普類書籍的學(xué)生人數(shù)為480．
點評：本題考查的是折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，折線統(tǒng)計圖表示的是事物的變化情況，扇形統(tǒng)計圖中每部分占總部分的百分比等于該部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360°的比．
　
五、（本大題滿分8分）
23．（8分）（2013?南寧）如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點E、F分別是邊BC、AD的中點．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B=60°，AB=4，求線段AE的長．
考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．
分析：（1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，結(jié)合點E、F分別是邊BC、AD的中點，即可證明出△ABE≌△CDF；
（2）首先證明出△ABC是等邊三角形，結(jié)合題干條件在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，即可求出AE的長．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，
∵點E、F分別是邊BC、AD的中點，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
∵ ，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵點E是邊BC的中點，
∴AE⊥BC，
在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，
sin60°= = ，
解得AE=2 ．
點評：本題主要考查菱形的性質(zhì)等知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)、全等三角形的證明以及等邊三角形的性質(zhì)，此題難度不大，是一道比較好的中考試題．
　
六、（本大題滿分10分）
24．（10分）（2013?南寧）在一條筆直的公路上有A、B兩地，甲騎自行車從A地到B地；乙騎自行車從B地到A地，到達(dá)A地后立即按原路返回，如圖是甲、乙兩人離B地的距離y（km）與行駛時x（h）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象解答以下問題：
（1）寫出A、B兩地直接的距離；
（2）求出點M的坐標(biāo)，并解釋該點坐標(biāo)所表示的實際意義；
（3）若兩人之間保持的距離不超過3km時，能夠用無線對講機(jī)保持聯(lián)系，請直接寫出甲、乙兩人能夠用無線對講機(jī)保持聯(lián)系時x的取值范圍．
考點：一次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：（1）x=0時甲的y值即為A、B兩地的距離；
（2）根據(jù)圖象求出甲、乙兩人的速度，再利用相遇問題求出相遇時間，然后求出乙的路程即可得到點M的坐標(biāo)以及實際意義；
（3）分相遇前和相遇后兩種情況求出x的值，再求出最后兩人都到達(dá)B地前兩人相距3千米的時間，然后寫出兩個取值范圍即可．
解答：解：（1）x=0時，甲距離B地30千米，
所以，A、B兩地的距離為30千米；
（2）由圖可知，甲的速度：30÷2=15千米/時，
乙的速度：30÷1=30千米/時，
30÷（15+30）= ，
×30=20千米，
所以，點M的坐標(biāo)為（ ，20），表示 小時后兩車相遇，此時距離B地20千米；
（3）設(shè)x小時時，甲、乙兩人相距3km，
①若是相遇前，則15x+30x=30?3，
解得x= ，
②若是相遇后，則15x+30x=30+3，
解得x= ，
③若是到達(dá)B地前，則15x?30（x?1）=3，
解得x= ，
所以，當(dāng) ≤x≤ 或 ≤x≤2時，甲、乙兩人能夠用無線對講機(jī)保持聯(lián)系．
點評：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了路程、速度、時間三者之間的關(guān)系，難點在于（3）要分情況討論．
　
七、（本大題滿分10分）
25．（10分）（2013?南寧）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點D，DE⊥AC于點E，BE交⊙O于點F，連接AF，AF的延長線交DE于點P．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求線段AP的長．
考點：切線的判定；圓周角定理；解直角三角形．
專題：證明題．
分析：（1）連結(jié)AD、OD，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形的直線得DC=DB，所以O(shè)D為△BAC的中位線，則OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，
這樣根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）易得四邊形OAED為正方形，然后根據(jù)正切的定義計算tan∠ABE的值；
（3）由AB是⊙O的直徑得∠AFB=90°，再根據(jù)等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，則tan∠EAP=tan∠ABE= ，在Rt△EAP中，利用正切的定義可計算出EP，然后利用勾股定理可計算出AP．
解答：（1）證明：連結(jié)AD、OD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，即DC=DB，
∴OD為△BAC的中位線，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴四邊形OAED為矩形，
而OD=OA，
∴四邊形OAED為正方形，
∴AE=AO，
∴tan∠ABE= = ；
（3）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠FAB=90°，
而∠EAP+∠FAB=90°，
∴∠EAP=∠ABF，
∴tan∠EAP=tan∠ABE= ，
在Rt△EAP中，AE=2，
∵tan∠EAP= = ，
∴EP=1，
∴AP= = ．
點評：本題考查了圓的切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了圓周角定理和解直角三角形．
　
八、（本大題滿分10分）
26．（10分）（2013?南寧）如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，?1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，?2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求證：AO=AM；
（3）探究：
①當(dāng)k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時 的值；
②試說明無論k取何值， 的值都等于同一個常數(shù)．
考點：二次函數(shù)綜合題．
專題：代數(shù)幾何綜合題．
分析：（1）把點C、D的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a、c，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點A的坐標(biāo)，然后求出AO、AM的長，即可得證；
（3）①k=0時，求出AM、BN的長，然后代入 + 計算即可得解；
②設(shè)點A（x1， x12?1），B（x2， x22?1），然后表示出 + ，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1?2，并求出x12+x22，x12?x22，然后代入進(jìn)行計算即可得解．
解答：（1）解：∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，?1），
∴ ，
解得 ，
所以，拋物線的解析式為y= x2?1；
（2）證明：設(shè)點A的坐標(biāo)為（m， m2?1），
則AO= = m2+1，
∵直線l過點E（0，?2）且平行于x軸，
∴點M的縱坐標(biāo)為?2，
∴AM= m2?1?（?2）= m2+1，
∴AO=AM；
（3）解：①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，
∴AM=BN=0?（?2）=2，
∴ + = + =1；
②k取任何值時，設(shè)點A（x1， x12?1），B（x2， x22?1），
則 + = + = = ，
聯(lián)立 ，
消掉y得，x2?4kx?4=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=4k，x1?x2=?4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2?2x1?x2=16k2+8，
x12?x22=16，
∴ + = = =1，
∴無論k取何值， + 的值都等于同一個常數(shù)1．


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