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九年級數學競賽幾何的定值與最值輔導教案
編輯:
逍遙路
關鍵詞:
九年級
來源:
高中學習網
【例題就解】
【例1】 如圖,已知AB=10,P是線段AB上任意一點,在AB的同側分別以AP和PB為邊作等邊△APC和等邊△BPD,則CD長度的最小值為 .
思路點撥 如圖,作CC′⊥AB于C,DD′⊥AB于D′,DQ⊥CC′,CD2=DQ2+CQ2,DQ= AB一常數,當CQ越小,CD越小,本例也可設AP= ,則PB= ,從代數角度探求CD的最小值.
注:從特殊位 置與極端位置的研究中易得到啟示,常能找到解題突破口,特殊位置與極端位置是指:
(1)中點處、垂直位置關系等;
(2)端點處、臨界位置等.
【例2】 如圖,圓的半徑等于正三角形ABC的高,此圓在沿底邊AB滾動,切點為T,圓交AC、BC于M、N,則對于所有可能的圓的位置而言, MTN為的度數( )
A.從30°到60°變動 B .從60°到90°變動
C.保持30°不變 D.保持60°不變
(湖北賽區(qū)選拔賽試題);
思路點撥 先考慮當圓心在正三角形的頂點C時,其弧的度數,再證明一般情形,從而作出判斷.
注:幾何定值與最值問題,一般都是置于動態(tài)背景下,動與靜是相對的,我們可以研究問題中的變量,考慮當變化的元素運動到特定的位置,使圖形變化為特殊圖形時,研究的量取得定值與最值.
【例3】 如圖,已知平行四邊形ABCD,AB= ,BC= ( > ),P為AB邊上的一動點,
直線DP交CB的延長線于Q,求AP+BQ的最小值.
(永州市競賽題)
思路點撥 設AP= ,把AP、BQ分別用 的代數式表示,運用不等式 (當且僅當 時取等號)來求最小值.
【例4】 如圖,已知等邊△ABC內接于圓,在劣弧AB上取異于A、B的點M,設直線AC與BM相交于K, 直線CB與AM相交于點N,證明:線段AK和BN的乘積與M點的選擇無關.
思路點撥 即要證AK?BN是一個定值,在圖形中△ABC的邊長是一個定值,說明AK?BN與AB有關,從圖知AB為△ABM與△ANB的公共邊,作一個大膽的猜想,AK?BN=AB2,從而我們的證明目標更加明確.
注:只要探求出定值,那么解題目標明確,定值問題就轉化為一般的幾何證明問題.
【例5】 已知△XYZ是直 角邊長為1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的三個頂點分別在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三邊上,求△ABC直角邊長的最大可能值.
( “宇振杯”上海市初中數學競賽題)
思路點撥 頂點Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上,當頂點Z在斜邊AB上時,取xy的中點,通過幾何不等關系求出直角邊的最大值,當頂點Z在(AC或CB)上時,設CX= ,CZ= ,建立 , 的關系式,運用代數的方法求直角邊的最大值.
注:數形結合法解幾何最值問題,即適當地選取變量,建立幾何元素間的函數、方程、不等式等關系,再運用相應的代數知識方法求解.常見的解題途徑是:
(1)利用一元二次方程必定有解的代數模型,運用判別式求幾何最值;
(2)構造二次函數求幾何最值.
學力訓練
1.如圖,正方形ABCD的邊長為1,點P為邊BC上任意一點(可與B點或C 點重合),分別過B、C、D作射線AP的垂線,垂足分別是B′、C′、D′,則BB′+CC′+DD′的最大值為 ,最小值為 .
(江蘇省競賽題)
2.如圖,∠AOB=45°,角內有一點P,PO=10,在角的兩邊上有 兩點Q,R(均不同于點O),則△PQR的周長的最小值為 .
(湖北省黃岡市競賽題)
3.如圖,兩點A、B在直線MN外的同側,A到MN的距離AC=8,B到MN的距離BD=5,CD=4,P在直線MN上運動,則 的最大值等于 .
( “希望杯”邀請賽試題)
4.如圖,A點是半圓上一個三等分點,B點是弧AN的中點,P點是直徑MN上一動點,⊙O的半徑為1,則AP+BP的最小值為( )
A.1 B. C. D.
(湖北省荊州市中考題)
5.如圖,圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形,動點P從A點出發(fā),沿看圓柱的側面移動到BC的中點S的最短距離是( )
A. B. C. D.
(貴陽市中考題)
6.如圖、已知矩形ABCD,R,P戶分別是DC、BC上的點,E,F分別是AP、RP的中點,當P在BC上從B向C移動而R不動時,那么下列結論成立的是( )
A.線段EF的長逐漸增大 B.線段EF的長逐漸減小
C.線段EF的長不改變 D.線段EF的長不能確定
(桂林市中考題)
7.如圖,點C是線段AB上的任意一點(C點不與A、B點重合),分別以AC、BC為邊在直線AB的同側作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,AE與CD相交于點M,BD與CE相交于點N.
(1)求證:MN∥AB;
(2)若AB的長為l0cm,當點C在線段AB上移動時,是否存在這樣的一點C,使線段MN的長度最長?若存在,請確定C點的位置并求出MN的長;若不存在,請說明理由.
(2002年云南省中考題)
8.如圖,定長的弦ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動,M是ST的中點,P是S對AB作垂線的垂足,求證:不管ST滑到什么位置,∠SPM是一定角.
(加拿大數學奧林匹克試題)
9.已知△ABC是⊙O的內接三角形,BT為⊙O的切線,B為切點,P為直線AB上一點,過點P作BC的平行線交直線BT于點E,交直線AC于點F.
(1)當點P在線段AB上時(如圖),求證:PA?PB=PE?PF;
(2)當點P為線段BA延長線上一點時,第(1)題的結論還成立嗎?如果成立,請證明,如果不成立,請說明理由.
10.如圖,已知;邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一點P,使矩形PNDM有最大面積,則矩形PNDM的面積最大值是( )
A.8 B.12 C. D.14
11.如圖,AB是半圓的直徑,線段CA上AB于 點A,線段DB上AB于點B,AB=2;AC=1,BD=3,P是半圓上的一個動點,則封閉圖形ACPDB的最大面積是( )
A. B. C. D.
12.如圖,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在邊AB、AC上分別取點D、E,使線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分,試求這 樣線段的最小長度.
(全國初中數學聯賽試題)
13.如圖,ABCD是一個邊長為1的正方形,U、V分別是AB、CD上 的點,AV與DU相交于點P,BV與CU相交于點Q.求四邊形PUQV面積的最大值.
( “弘晟杯”上海市競賽題)
14.利用兩個相同的噴水器,修建一個矩形花壇,使花壇全部都能噴到水.已知每個噴水器的噴水區(qū)域是半徑為l0米的圓,問如何設計(求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、寬),才能使矩形花壇的面積最大?
(河南省競賽題)
15.某住宅小區(qū),為美化環(huán)境,提高居民生活質量,要建一個八邊形居民廣場(平面圖如圖所示).其中,正方形MNPQ與四個相同矩形(圖中陰影部分)的面積的和為 800平方米.
(1)設矩形的邊AB= (米),AM= (米),用含 的代數式表示 為 .
(2)現計劃在正方 形區(qū)域上建雕塑和花壇,平均每平方米造價為2100元;在四個相同的矩形區(qū)域上鋪設花崗巖地坪,平均每平方米造價為105元;在四個三角形區(qū)域上鋪設草坪,平均每平方米造價為40元.
①設該工程的總造價為S(元),求S關于工的函數關系式.
②若該工程的銀行貸款為235 000元,僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設任務?若能,請列出設計方案;若不能,請說明理由.
③若該工程在銀行貸款的基礎上,又增加資金73000元,問能否完成該工程的建設任務?若能,請列出所有可能的設計方案;若不能,請說明理由.
(鎮(zhèn)江市中考題)
16.某房地產公司擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE,邊長和方向如圖,欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓,請劃出這塊地基,并求地基的最大面積(精確到1m2).
(北京市數學知識應用競賽試題)
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