注：設(shè)Rt△ABC的各邊長分別為a、b、c (斜邊)，運用切線長定理、面積等知識可得到其內(nèi)切圓半徑的不同表示式：
(1) ；
(2) ．
請讀者給出證
【例題求解】
【例1】 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°°，BC=5，⊙O與Rt△ABC的三邊AB、BC、AC分相切于點D、E、F，若⊙O的半徑r＝2，則Rt△ABC的 周長為 ．
思路點撥 AF=AD，BE=BD，連OE、OF，則OECF為正方形，只需求出AF(或AD)即可．


【例2】 如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點(異于A、B)，過點P作半圓O的切線分別交過A、B兩點的切線于D、C，AC、BD相交于N點，連結(jié)ON，NP，下列結(jié)論：①四邊形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP?P C為定值；④ FA為∠NPD的平分線，其中一定成立的是( )
A ．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④

思路點撥 本例綜合了切線的性質(zhì)、切線長定理、相似三角形，判定性質(zhì)等重要幾何知識，注意基本輔助線的添出、基本圖形識別、等線段代換，推導(dǎo)出NP∥AD∥BC是解本例的關(guān)鍵．


【例3】 如圖，已知 ∠ACP=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，過A、C、D三點的圓交AB于F，求證：F為△CDE的內(nèi)心．
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
思路點撥 連CF、DF，即需證F為△CDE角平分線的交點，充分利用與圓有關(guān)的角，將問題轉(zhuǎn)化 為角相等問題的證明．

【例4】 如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB為直徑作半圓O切CD于E，連結(jié)OE，并延長交AD的延長線于F．
(1)問∠BOZ能否為120°，并簡要說明理由；
(2)證明△AOF∽△EDF，且 ；
(3)求DF的長．

思路點撥 分解出基本圖形，作出基本輔助線．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把計算與推理融合；(3)把相應(yīng)線段用DF的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立關(guān)于DF的一元二次方程．


注： 如圖，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，則可得到應(yīng)用廣泛的兩個性質(zhì)：
(1)以邊AB為直徑的圓與邊CD相切；
(2)以邊CD為直徑的圓與邊AB相切．
類似地，三角形三條中線的交點叫三角形的重心，三角形三邊高所在的直線的交點叫三角形的垂心．外心、內(nèi)心、垂心、重心統(tǒng)稱三角形的四心，它們處在三角而中的特殊位置上，有著豐富的性質(zhì)，在解題中有廣泛的應(yīng)用．
【例5】 如圖，已知Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，O、O1、O2分別是△ABC；△ACD、△BCD的角平分線的交點，求證：(1) O1O⊥C O2；(2)OC= O1O2．
(武漢市選拔賽試題)
思路點撥 在直角三角形中，斜邊上的高將它分成 的兩個直角三角形和原三角形相似，得對應(yīng)角相等，所以通過證交角為90°的方法得兩線垂直，又利用全等三角形證明兩線段相 等．


學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，已知圓外切等腰梯形ABCD的中位線EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周長等于= cm．
2．如圖，在直角，坐標(biāo)系中A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，4)，則Rt△ABO內(nèi)心的坐標(biāo)是 ．
3．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC， DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB為直徑的⊙O與DC相切于E，則DC= ． (云南省曲靖市中考題)



4．如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，A O的延長線交BC于點D，AC=4，CD=1，則⊙O的半徑等于( )
A． B． C． D．
(重慶市中考題)

5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD為直徑的半圓O切AB于點E，這個梯形的面積為21cm2，周長為20cm，那么半圓O的半徑為( )
A．3cm B．7cm C ．3cm或7cm D． 2cm
6．如圖，△ABC中，內(nèi)切圓O和邊B、CA、AB分別相切于點D、EF，則以下四個結(jié)論中，錯誤的結(jié)論是( )
A．點O是△DEF的外心 B．∠AFE= (∠B+∠C)
C．∠BOC=90°+ ∠A D．∠DFE=90°一 ∠B
7．如圖，BC是⊙O的直徑，AB、AD是⊙O的切線，切點分別為B、P，過C點的切線與AD交于點D，連結(jié)AO、DO．
(1)求證：△ABO∽△OCD；
(2)若AB、CD是關(guān)于x的方程 的兩個實數(shù)根，且S△ABO+ S△OCD=20，求m的值．



8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點D，連結(jié)AD并延長，BC相交于點E．
(1)若BC= ，CD=1，求⊙O的半徑；
(2)取BE的中點F，連結(jié)DF，求證：DF是⊙O的切線；
(3)過D點作DG⊥BC于G，OG與DG相交于點M，求證：DM＝GM．
9．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB為⊙O的直徑，動點P沿AD方向從點A開始向點D以1cm／秒的速度運動，動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2cm／秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點停止時，另一點也隨之停止運動．
(1)求⊙O的直徑；
(2)求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時，四邊形PQCP的面積；
(3)是否存在某時刻t，使直線PQ與⊙O相切，若存在，求出t 的值；若不存在，請說明理由． (2002年煙臺市中考題)
10．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD為AB上的高，Ol、O2分別為△ACD、△BCD的內(nèi)心，則OlO2= ．
11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分線相交于P點，又PE⊥AB于點E，若BC=2，AC=3，則AE?EB= ．
12．如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個三角形的( )
A．內(nèi)心 B．外心 C．圓心 D．重心
13．如圖，AD是△ABC的角平分線，⊙O過點AB和BC相切于點P，和AB、AC分別交于點E，F(xiàn)，若BD=AE，且BE=a，CF=b，則AF的長為( )
A． B． C． D．

14．如圖，在矩形ABCD中，連結(jié)AC，如果O為△ABC的內(nèi)心，過O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為( )
A． B． C． D．不能確定
(《學(xué)習(xí)報》公開賽試題)
15．如圖，AB是半圓的直徑，AC為半圓的切線，AC=AB．在半圓上任取一點D，作DE⊥CD，交直線AB于點F，BF⊥AB，交線段AD的延長線于點F．
(1)設(shè)AD是x°的弧，并要使點E在線段BA的延長線上，則x的取值范圍是 ；
(2)不論D點取在半圓什么位置，圖中除AB=AC外，還有兩條線段一定相等，指出這兩條相等的線段，并予證明．

16．如圖，△ABC的三邊滿足關(guān)系BC= (AB+AC)，O、I分別為△ABC的外心、內(nèi)心，∠ BAC的外角平分線交⊙O于E，AI的延長線交⊙O于D，DE交BC于H．
求證：(1)AI=BD；(2)OI= AE．

17．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點F，問EP與PD是否相等?證明你的結(jié)論．


18．如圖，已知點P在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的AB(不含端點)上運動，PH⊥OA于H，△OPH的重心為G．
(1)當(dāng)點P在AB上運動時，線段GO、GP、GH中有無長度保持不變的線段?如果有，請指出并求出其相應(yīng)的長度；
(2)設(shè)PH= x，GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出自變量x的取值范圍；

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