19.7相似三角形的應(yīng)用

目的：利用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題．
中考基礎(chǔ)知識(shí)
通過(guò)證明三角形相似
線段成比例

備考例題指導(dǎo)
例1．如圖，P是△ABC的BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且四邊形ADPE是平行四邊形．
（1）求證：△DBP∽△EPC；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在什么位置時(shí)，S ADPE= S△ABC，說(shuō)明理由．
分析：
（1）證明兩個(gè)三角形相似，常用方法是證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，題目中有 ADPE 平行線 角相等，命題得證．
（2）設(shè) =x，則 =1-x，
ADPE DP∥AC， EP∥AB，
△BDP∽△BAC △CPE∽△CBA
∴ =（ ）2=（1-x）2， =（ ）2=x2
∴ =x2+（1-x）2．
∵S ADPE= S△ABC，即 = ．
∴x2+（1-x）2= （轉(zhuǎn)化為含x的方程）
x= ，
∴ = ．
即P應(yīng)為BC之中點(diǎn)．
例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又關(guān)于x的方程 x2-2（n-1）x+m2-12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差的平方小于192，求m，n為整數(shù)時(shí)，一次函數(shù)y=mx+n的解析式．
分析：這是一個(gè)幾何、代數(shù)綜合題，由條件發(fā)現(xiàn)，建立關(guān)于m，n的方程或不等式，求出m，n再寫出一次函數(shù)．
抓條件：AC2：BC2=2：1做文章（轉(zhuǎn)化到m，n上）．
雙直角圖形 有相似形 比例式（方程）
∠ACB=90°，CD⊥AB Rt△BCD∽R(shí)t△BAC
BC2=BD?BA，同理有AC2=AD?AB，
∴ = =m=2n ①
抓條件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．
由（x1-x2）2<192 配方 （x1+x2）2-4x1x2<192．
64（n-1）2-16（m2-12）<192，
4n2-m2-8n+4<0． ②
①代入② n> ．
又由△≥0得4（n-1）2-4× （m2-12）≥0，
①代入上式得n≤2． ③
由n> ，n≤2得 ∵n為整數(shù)，∴n=1，2．
∴m=2，4
∴y=2x+1，或y=4x+2．
遇根與系數(shù)關(guān)系題目則用韋達(dá)定理，但必須考慮△≥0．

備考鞏固練習(xí)
1．如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c．關(guān)于x的一元二次方程x2-2b（a+ ）x+（a+b）2=0的兩根之和與兩根之積相等，D為AB上一點(diǎn)，DE∥AC交BC于E，EF⊥AB，垂足是F．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若BF=6，F(xiàn)D=4，CE= CD，求CE的長(zhǎng)．

2．某生活小區(qū)的居民籌集資金1600元，在一塊上、下底分別為10m，20m的梯形空地上,種植花木如圖1
（1）他們?cè)凇鰽MD和△BMC地帶上種植太陽(yáng)花，單價(jià)為8元/m2，當(dāng)△AMD地帶種滿花后，共花了160元，請(qǐng)計(jì)算種滿△BMC地帶所需的費(fèi)用．
（2）若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價(jià)分別為12元/m2和10元/m2，應(yīng)選擇種哪種花木，剛好用完后籌集的資金？ （3）若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變（如圖2），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)花壇圖案，即在梯形內(nèi)找到一點(diǎn)P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并說(shuō)出你的理由．


3．（1）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E為AD邊上的任意一點(diǎn)，EF∥AB，且EF交于點(diǎn)F，某學(xué)生在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：
①當(dāng) =1時(shí)，有EF= ；②當(dāng) =2時(shí)，有EF= ；③當(dāng) =3時(shí)，有EF= ．當(dāng) =k時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用k表示DE的一般結(jié)論，并給出證明；
（2）現(xiàn)有一塊直角梯形田地ABCD（如圖2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m， DC=120cm，AD=70m，若要將這塊分割成兩塊，由兩位農(nóng)戶來(lái)承包，要求這兩塊地均為直角梯形，且它們的面積相等，請(qǐng)你給出具體分割方案．
答案:
1．（1）由x1+x2=x1x2
得2b（a+ ）=（a+b）2
2ab+c2=a2+b2+2ab
∴△ABC是直角三角形．
∴c2=a2+b2
（2）易證△EFD∽△EDB，
∴EF2=DF?DB=40． 設(shè)CE=x，則CD= x，
∴DE=（ x）2-x2=40 x=4 ．
2．（1）∵四邊形ABCD是梯形（見(jiàn)圖）．
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB， ∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，∴ =（ ）2= ．
∵種植△AMD地帶花帶160元．
∴ =2（m2） ∴S△OMB=80（m2）
∴△BMC地帶的花費(fèi)為80×8=640（元）
（2）設(shè)△AMD的高為h1，△BMC的高為h2，梯形ABCD的高為h
∵S△AMD= ×10h2=20 ∴h1=4
∵ = ∴h2=8
∴S梯形ABCD= （AD+BC）?h= ×30×12=180
∴S△AMB + S△DMC =180-20-80=80（m2）
∴160+160+80×12=1760（元）
又：160+640+80×10=1600（元）
∴應(yīng)種值茉莉花剛好用完所籌集的資金．
（3）點(diǎn)P在AD、BC的中垂線上（如圖），
此時(shí)，PA=PD，PB=PC．∵AB=DC
∴△APB≌△DPC．
設(shè)△APD的高為x，則△BPC高為（12-x），
∴S△APD = ×10x=5x，
S△BPC = ×20（12-x）=10（12-x）．
當(dāng)S△APD =S△BPC即5x=10（12-x）=8．
∴當(dāng)點(diǎn)P在AD、BC的中垂線上且與AD的距離為8cm時(shí)，S△APD =S△BPC．
3．解：（1）猜想得：EF=
證明：過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交AB于G，交CD的延長(zhǎng)線于H．
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴ ．
又EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴ =k，可得EF= ．
（2）在AD上取一點(diǎn)EF∥AB交BC于點(diǎn)F，
設(shè) =k，則EF= ，DE= ，
若S梯形DCFE=S梯形ABFE，則S梯形ABCD=2S梯形DCFE
∵梯形ABCD、DCEF為直角梯形
∴ ×70=2× （170+ ）× ，
化簡(jiǎn)得12k2-7k-12=0，解得k1= ，k2=- （舍去）

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/chusan/75344.html

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